Chapitre 3 Théorèmes Fondamentaux PDF

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14 May 2005 Montrer que l'ensemble des sous-ensembles finis de N est dénombrable. Solution de l'exercice 9. Polynômes `a coefficients entiers. A chaque ...

Annexe A - Ensembles dénombrables

On dit que E est infini s'il n'est pas fini. Il est intuitivement clair qu'une partie d'un ensemble fini est elle-même finie de cardinal plus petit. Si l

Chapitre 4 : Ensembles finis et infinis 1 Ensembles finis

Pour montrer que R n'est pas dénombrable l'idée est de montrer que R est en bijection avec P(N) en utilisant le développement décimal des nombres réels. Ceci

Cardinalité des ensembles finis

Un ensemble est dénombrable s'il est fini ou s'il est en bijection N. Montrer que les ensembles suivants sont dénombrables : N {0} est dénombrable par la

Exercices cardinalité

Montrer que l'ensemble des rééls compris entre 0 largement et 1 strictement n'est pas dénombrable. Exercice 3. On se propose d'énumérer les éléments de NxN

Exercices corrigés pour le cours de Licence de Mathématiques

Montrer que M est la tribu engendrée par une partition dénombrable. On a X = ?n?NXn car pour x ? X f(x) > 0 et par conséquent f(x) > 1/(n + 1) pour.

Analyse hilbertienne

Dans un espace topologique séparé toute partie dénombrable est A U

Chapitre 3 Théorèmes Fondamentaux

toute famille dénombrable de sous-ensembles ouverts et denses dans E est dense dans E. Montrer que : (1) Tout fermé de E est un espace de Baire.

DM corrigé

Exercice # . Montrer que N[X] est dénombrable. Solution (TT). On rappelle que N[X] dénote l'ensemble de polynômes en

Université Paris-Dauphine DUMI2E Année 2015-2016 ALGEBRE

Pour montrer une proposition P on suppose que P est fausse

Chapitre3

ThéorèmesFondamentaux

3.1ThéorèmedeB aireet sesc onséquences

Théorème3.1.1(ThéorèmedeBa ire(1874-1932)) Si(E,d)estunesp acemétr iquecomplet(!="),alors l'intersectionde toutefamille dénombrabledesous-ensemblesouverts etdensesdansEest densedansE. (Autrementdit,si(V n n estune suited'ensemblesouver tsdensesdans E, alors# n V n estdensedans E). Remarque3.1. 2LeTh éorèmedeBairea!rmequel'i ntersectio ndesV n est dense.Cetteinter sectionn 'estpasnécessairementouverte. Commelemontre l'exemplesuivant :

Exemple.Soitl'espac emétriquecompletR,|.|.

PuisqueQestdénombrable, Q={r

n ;n$0}. SoitV n =R\{r n }.AlorsV n estouvert etdensedansR.ParleThéorèmede Baire n!0 V n n!0 (R\{r n })=R\Q, estbiendense dansR.MaisR\Q,n'estniouvertnifermé. Unénon cééquivalentduThéo rèmedeBaire Théorème3.1.3Si(E,d)estunesp acemétr iquecomplet(!="),alors la réuniondetoutefami lledén ombrabledesous- ensemblesfermésdeE,d'in- terieurvideestd'interieur vide. (Autrementdit,si(A n n estune suited'ensemblesfer méstelque pourtout n, A n =",alors n A n 31

32CHAPITRE3.THÉORÈMESFOND AMENTAU X

Remarque3.1 .4(1)S ouventleThéorèmede Baireest utilisésouslaforme suivante: Soit(E,d)estunespace métriqu ecomplet(!=").Soit (E n n!1 une suited'ensemble sdefermésdeEtelqu eE=% n E n ,alorsilexiste n 0 $1telqu e E n 0 (2)Sans l'hypothèsedéno mbrable,leThé orèmedeBairepeutêtrefaux. Exemple.Soitl'espac emétriquecomplet(R,|.|).AlorsR=% x#R {x},or{x} estfermé d'intérieurvideparc ontreRn'estpasd'in térieurvi de. Remarque3.1 .5(1)L aconclusionduThéor èmedeBaireestapp eléela espacedeBaire(oues pace desecondcatégorie). Exercice3.1Soit(E,d)estunesp acemétr iquecomplet(!=").Montrer que: (1)Tout fermédeEestunesp acede Baire. (2)Tout ouvertdeEestunesp acede Baire. Applications:LeThéor èmedeBaireestunoutil trèsi mportantenAna- lyse.Voiciquelq uesexemplesspe ctaculairesd'applicatio nsdeceThéorème.

Exercice3.2Soitf:R&Runefonctionde classeC

vérifiant: 'x(R,)n(N,f (n) =0.

Montrerquefestunp olynôme.

Exercice3.3Soit!([0,1])= {f(C([0,1]);festnulle partdérivablesur [0,1]}.

Montrerque!([0,1])estdensedans C([0,1]),.

Exercice3.4Soit(f

n n unesuitede fonctionscontinues d'uninterval le (1)Montrer quefestc ontinuesurunensembledensedans I. (2)Endé duireque siunefonctionestdérivablealorssa dérivée estc ontinue surunensemble dense.

Exercice3.5(I)SoitEunespac edeBanach.Montrerque

Eadmetuneb asealgèbrique dénombrablesietseulementsi dimE<+. (II)En déduire queR[X](ouC[X])l'espacedespolynômessurRouCn'est pasBan achpouraucunenorme.

3.1.THÉORÈMEDEBA IREETSESCONSÉQU ENCES33

Exercice3.6SoitE=!

(N)l'espacedeBanachdessuitesx=(x n n ,C bornées.Eseramunidelanor me*.*

SoitT:E&Cuneapplication linéairevérifiant:

'x=(x n n (E,)n(NtelqueTx=x n (1)Montr erqueTestcontinue etcalculersanorme. (2)Pourn(NposonsE n ={x(E;Tx=x n }.MontrerqueE n estun sous-espacefermédeE. (3)Montr erqu'ilexisten 0 (Ntelque Tx=x n 0 ,'x(E.

Surles fonctionsdi scontinues

Donnonsd'abordquelque sdéfinitions:

•SoitEunespace topologique etAunsous- ensembledeE. (1)Ondiraque AestunensembleF deEsiilest réuniondénombrable defermésde E. (2)Ondira queAestunensembleG deEsiilest intersectiondénom brable d'ouvertsdeE.

Remarque3.1 .6(1)Aestunensemble F

sietseulement siA c estun ensembleG

Demême

(2)Aestunensemble G sietseulement siA c estunensemble F •SoitEunespace topologique etf:E&R.Soitx(EetV x l'ensemble desvo isinagedex.Onappellel'oscillationdefenxlaquan titésuivante w f (x)=in f V#Vx sup y,z#V |f(y)-f(z)| (R Alors (1)festcontin ueenxsietseulemen tsi w f (x)=0. (2)festdiscontin ueenxsietseulemen tsiw f (x)>0. Remarque3.1. 7Danslec asoùEestun espace métrique,alors: w f (x)=inf >0 sup y,z#B(x,#) |f(y)-f(z)| Pourunefon ctionf:E&R,notonsparD(f)l'ensembledespo intsde discontinuitésdef. SiD n (f)={x(E;w f (x)$ 1 n ,n$1},alors D(f)= n!1 D n (f).

34CHAPITRE3.THÉORÈMESFOND AMENTAU X

Enfinnoton sparC(f)=D(f)

c ,l'ensembledespointsdecontinuitésdef.

OnaleTh éor èmesui vant:

Théorème3.1.8 SoitEunespac etopologiqueetf:E&R.Alors (1)D(f)estunensemble F (2)C(f)estunensemble G

Preuve:PuisqueD(f)=

n!1 D n (f),ilsu!tdemontrerquepourchaque n$1,D n (f)estfermé. Soitx/(D n (f),alorsw f (x)< 1 n .Pardéfinition w f (x),ilexisteV(V x telquesup y,z#V |f(y)-f(z)|< 1 n .Alors 'u(V,w f (u).sup y,z#V |f(y)-f(z)|< 1 n

D'où,V,D

n (f) c etdoncx( D n (f) c .Puisquexestarbitrairedans D n (f) c onam ont réqueD n (f) c estun ouvert.et doncD n (f)estun fermé.(2) s'obtientparpassage aucomplémentaire. Exercice3.7(1)Montr erquel'ensembledesnombres irrationnels n'estp as unensembleF deR. (Onpour rautiliserleThéorèmedeBaire). (2)Endé duirequ'il n'existepasdefonctionf:R&RtelqueD(f)=R\Q.

Solution(1)Supposo nsaucontrairequeR\Q=

n!1 A n avecA n fermé. Alors

R=(R\Q)%Q=(

n!1 A n r#Q {r}). PuisqueRestunespa cemétr iquecomplet,parle ThéorèmedeBaire,il existen 0 A n 0 !="(onremarqueraque {r}=").D'où, ilexisteuninterv alle ouvert]a,b[,A n 0 ,R\Q.Con tradiction,puisqueparladensitédeQdans

R,]a,b[#Q!=".

(2)estune conséquen ceduThéor ème2.1.6etlaquestionprécédente.

Exercice3.8MontrerqueQn'estpasunens embleG

deR. •Exemplesdefonctionsdis continues : (1)Soitf=" Q :R&Rlafonctio ncaractéristiquedeQi.e. f(x)=

1six(Q

0six/(Q.

3.2.APPLICATIONS LINÉAIRESCONTINUES35

AlorsD(f)=R(autrementditfn'apa sdepoints decon tinuités). Demême pourlaf onctioncaracté ristiquede f=" R\Q =1-" Q (2)Soitf:]0,++[&Rlafonctio ndéfiniepar f(x)=

0six(R\Q

1 q six= p q (Qaveclafrac tion p q estirréductible.

Alorsfestcontin uesurR\Qetdiscontin uesurQ;

i.e.D(f)=QetC(f)=R\Q. (3)Soitf:R&Rlafonctio ndéfiniepar f(x)= xsix(Q

0six/(Q

Alorsfestcontin ueen0etdiscontin uesurR

i.e.D(f)=R etC(f)={0}.

3.2Applicat ionslinéairescontinues

SoitE,.

E etF,*.* F deuxespaces normésetT:E&Funeapplica tion linéaire. Définition3.2.1Uneapplication linéaireT:E&Festdite bornéesiil existe#>0telque *Tx* F .#*x* E Remarque3.2. 2Attentiond'habitude,dans lecadredesfonctions,leterme "borné"traduit,pourune fonctionfàvaleursréeloucomplexe,|f(x)|.#. Maisdansle cadre desapplications linéaires,ona*Tx* F .#,'x(E sietseulement siT=0.Ene"et,puisqueT($x)=$T(x),onapourtout $!=0,*Tx* F

Théorème3.2.3Soit(E,.

E )et(F,*.* F )deuxespac esnormésetT: E&Funeapplication linéaire.Alors lesconditionssuivantessontéquiva- lentes: (1)Testcontinue ; (2)Testcontinue enunpointdeE; (3)Testcontinue enzéro; (4)Testbor née.

36CHAPITRE3.THÉORÈMESFOND AMENTAU X

Lemma3.2.4 SoitE,.

E etF,*.* F deuxespac esnormésetT:E&F uneapplication linéaire.Soitlesq uantitéssuivantes: A=inf >0;*Tx* F .#*x* E ,x(E ;B=sup *Tx* F *x* E ,0!=x(E C=sup *Tx* F ;x(E,*x* E =1 ;D=sup *Tx* Fquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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