[PDF] Dénombrement Exercice 2 En utilisant la

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Biblioth`eque d"exercices´Enonc´es

L1Feuille n◦5D´enombrementExercice 1En utilisant la fonctionx?→(1 +x)n, calculer : n k=0C kn;n? k=1kC kn;n? k=11k+ 1Ckn. Exercice 2En utilisant la formule du binˆome, d´emontrer que : 1. 2 n+ 1 est divisible par 3 si et seulement sinest impair; 2. 3

2n+1+ 24n+2est divisible par 7.

Exercice 3Calculer le module et l"argument de (1 +i)n. En d´eduire les valeurs de S

1= 1-C2n+C4n-C6n+···

S

2=C1n-C3n+C5n- ···

Exercice 4PourA,Bdeux ensembles deEon noteAΔB= (A?B)\(A∩B). PourEun ensemble fini, montrer :

CardAΔB= CardA+ CardB-2CardA∩B.

Exercice 5SoitEun ensemble `an´el´ements, etA?Eun sous-ensemble `ap´el´ements. Quel est le nombre de parties deEqui contiennent un et un seul ´el´ement deA? 1

Biblioth`eque d"exercicesIndications

L1Feuille n◦5D´enombrementIndication 1´Evaluer (1+x)nenx= 1, d"une part directement et ensuite avec la formule du

binˆome de Newton. Pour la deuxi`eme ´egalit´e commencer par d´eriverx?→(1 +x)n.

Indication 2Commencer par 2n= (3-1)n.

Indication 31 +i=⎷22e2iπ4

Indication 4Tout d"abord faire un dessin (avec des patates!). Ensuite siPetQsont deux ensembles finis disjoints on a bien ´evidemment CardP?Q= CardP+ CardQ. Il faut donc essayer d"´ecrireAΔBcomme union de deux ensembles disjoints. Indication 5Combien y-a-t"il de choix pour l"´el´ement deA? Combien y-a-t"il de choix pour le sous-ensemble deE\A? 1

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

L1Feuille n◦5D´enombrementCorrection 1Soitf:R-→Rla fonctionf(x) = (1 +x)n. Par la formule du binˆome de

Newton nous savons que

f(x) = (1 +x)n=n? k=1C knxk.

1. En calculantf(1) nous avons 2n=?n

k=1Ckn.

2. Maintenant calculonsf?(x) =n(1 +x)n-1=?n

k=1kCknxk-1.´Evaluonsf?(1) =n2n-1=?n k=1kCkn.

3. Il s"agit ici de calculer une primitiveFdef:F(x) =1n+1(1 +x)n+1=?n

k=11k+1Cknxk+1.

EnF(1) =1n+12n+1=?n

k=11k+1Ckn. Correction 2L"astuce consiste `a ´ecrire 2 = 3-1 (!) 2 n= (3-1)n= 3×p+ (-1)n O`u 3×p(p?Z) repr´esente lesnpremiers termes de?n k=0Ckn3k(-1)n-ket (-1)nest le dernier terme. Donc 2 n-(-1)n= 3p. Sinest impair l"´egalit´e s"´ecrit 2n+ 1 = 3pet donc 2n+ 1 est divisible par 3. Sinest pair 2n-1 = 3pdonc 2n+ 1 = 3p+ 2 qui n"est pas divisible par 3.

Pour l"autre assertion regarder 3 = 7-4.

Correction 3A= (1+i)na pour module 2n/2et pour argumentnπ4(etBest son conjugu´e).

On en tire grˆace `a la formule du binˆome, et en s´eparant partie r´eelle et partie imaginaire :

S

1= 2n/2cosnπ4et etS2= 2n/2sinnπ4. On a aussiS1=A+B2etS2=B-A2i.

Correction 4Tout d"abord si deux ensembles finisPetQsont disjoints alors CardP?Q= CardP+ CardQ. L"id´ee est donc d"´ecrireAΔBcomme union de deux ensembles disjoints. AΔB= (A?B)\(A∩B) = (A\(A∩B))?(B\(A∩B)). Ces deux ensemblesA\(A∩B) etB\(A∩B) sont disjoints. En utilisant que pourR?S nous avons CardS\R= CardS-CardR, nous obtenons : CardAΔB= CardA\(A∩B) + CardB\(A∩B) = CardA+ CardB-2Card(A∩B). Correction 5Fixons un ´el´ement deA; dansE\A(de cardinaln-p), nous pouvons choisir C kn-pensembles `ak´el´ements (k= 0,1,...,n). Le nombre d"ensembles dans le compl´ementaire deAest doncn-p? k=0C kn-p= 2n-p. Pour le choix d"un ´el´ement deAnous avonspchoix, donc le nombre total d"ensembles qui v´erifie la condition est : p2n-p. 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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