[PDF] Le théor`eme des six exponentielles restreint `a lirrationalité par

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mise a jour :08/11/2020 Le theoreme des six exponentielles restreint a l'irrationalite par

Michel Waldschmidt

R esume.Sip,q,rsont trois nombres rationnels positifs multiplicativement independants etuun nombre reel positif tel que les trois nombrespu,qu,rusoient rationnels, alorsuest aussi rationnel. Pour demontrer ce resultat, on introduit un parametreLet une matrice carreeLLdont les coecients sont des fonctions(ps1qs2rs3)(t0+t1u)x. Le determinant (x)de cette matrice s'annule en un point reelx6= 0si et seulement siuest rationnel. Les hypotheses impliquent que(1)est un nombre rationnel, dont on majore facilement un denominateur. Pour majorerj(1)j, on montre que lesL(L1)=2premiers coecients de Taylor de(x)a l'origine sont nuls. Abstract.Letp,q,rbe three multiplicatively independent positive rational numbers andua positive real number such that the three numberspu,qu,ruare rational; thenu is also rational. We prove this result by introducing a parameterLand a squareLL matrix, the entries of which are functions(ps1qs2rs3)(t0+t1u)x. The determinant(x)of this matrix vanishes at a real pointx6= 0if and only ifuis rational. From the hypotheses, it follows that(1)is a rational number; one easily estimates a denominator of it. An upper bound forj(1)jfollows from the fact that theL(L1)=2rst Taylor coecients of(x)at the origin vanish.

Mots{cl

es :nombres rationnels; irrationalite; theoreme des six exponentielles; conjec- ture des quatre exponentielles; independance multiplicative de nombres reels; determinant; serie de Taylor

2010 Mathematics Subject Classification :11J86

Dans [

S ], Omar Sonebi fait appel au cas particulier suivant du theoreme des six exponentielles : (?)Siuest un nombre reel positif tel quexusoit rationnel pour toutxrationnel positif, alorsuest entier. L'auteur ajoute ce commentaire :Ce probleme est en fait particulierement complique, il necessite des resultats assez forts pour ^etre resolu. C'est un fait que les demonstrations (voir notamment [ Lan Lau R W1 W2 ]) du theoreme de transcendance des six exponentielles cite dans [ S , p. 61] necessitent des outils de theorie algebrique des nombres (pour demontrer une inegalite de Liouville permettant de minorer un nombre algebrique non nul), d'analyse complexe (pour majorer la valeur d'une fonction analytique ayant de nombreux zeros) et m^eme quelquefois d'algebre commutative (pour demontrer un lemme de zeros). Nous allons montrer que ce commentaire est moins justie pour le cas particulier (?). 1 Un autre cas particulier du theoreme des 6 exponentielles, qui a fait l'objet de la competition Putnam en 1971

1(voir [H]), consiste a montrer

que sixuest entier pour toutxentier positif, alorsuest entier. On peut demontrer assez facilement cet enonce en utilisant le calcul des dierences nies (voir [ H ] et [ W1 , Chapitre I Exercice 6, p. I-12 | I-13]). Mais, comme me l'a fait remarquer Alain Tissier, cela ne sut pas pour demontrer (?). Disposer d'une demonstration du m^eme genre pour l'enonce (?) pourrait ^etre interessant, mais l'auteur n'en connait pas. Nous allons nous contenter de montrer comment simplier la preuve du theoreme des six exponentielles quand on se restreint a l'irrationalite. Voici la version du theoreme des six exponentielles restreinte a l'irratio- nalite (la version non restreinte [ S , p. 61] concerne la transcendance). On dit que trois nombres positifsp,q,rsont multiplicativement independants si une relationpaqbrc= 1 aveca,b,centiers impliquea=b=c= 0. Theoreme.Soientp,q,rtrois nombres rationnels positifs multiplicative- ment independants etuun nombre reel positif tel que les trois nombrespu, q uetrusoient rationnels. Alorsuest rationnel. Il est facile de voir que siuest un nombre rationnel etpun nombre premier tel quepuest aussi rationnel, alorsuest entier. Il est clair aussi que trois nombres premiers distincts sont multiplicativement independants, par le theoreme fondamental de l'arithmetique. Par consequent on deduit du theoreme le corollaire suivant [ H , Theorem 2] : Corollaire.Soientp,q,rtrois nombres premiers distincts etuun nombre reel positif tel que les trois nombrespu,quetrusoient rationnels. Alorsu est un entier. On peut choisiruirrationnel etppremier tel quepusoit egalement entier, par exempleu= (logq)=(logp). On ne conna^t pas d'exemple deu irrationnel et de nombres rationnelspetqmultiplicativement independants avecpuetqurationnels : montrer qu'il n'y en a pas est le probleme des quatre exponentielles restreint a l'irrationalite, qui est toujours ouvert. En notantpu=retqu=s, on aurait u=logrlogp=logslogq Le probleme est donc celui de montrer qu'une matrice 22logplogq logrlogs1. 32nd Putnam 1971 question A6https://prase.cz/kalva/putnam/putn71.html 2 a un rang egal a 2 quandp;q;r;ssont des nombres rationnels positifs avec p;qmultiplicativement independants etp;regalement multiplicativement independants. L'idee de la demonstration du theoreme est la suivante : si les six nombres p,q,r,pu,quetrusont rationnels, alors les trois fonctions de variable reelle p x,qxetrxprennent des valeurs rationnelles en tous les pointst=t0+t1u avect= (t0;t1)2Z2. Pours= (s1;s2;s3)2Z3, il en est donc de m^eme de la fonctionfs(x) = (ps1qs2rs3)x. On choisit un entierNsusamment grand (on precisera cette condition tout a la n), on poseS=N2,T=N3,

L=N6, de sorte queL=S3=T2. Le determinant2

= det f s(t) 0sj6STfs(t) = (Dp)s1t0(Dq)s2t0(Dr)s3t0(Dpu)s1t1(Dqu)s2t1(Dru)s3t1 sont entiers, doncD6LST est un entier rationnel. La demonstration va consister a majorerjj, en particulier pourNsusamment grand on aura jj< D6LST, donc = 0; on montrera aussi que la condition = 0 implique queuest rationnel. Commencons par ce dernier point. Dire que le determinant est nul signie qu'il existe des nombres rationnelsas, non tous nuls, tels que la fonction

F(x) =SX

s 1=0S X s 2=0S X s 3=0a sf s(x) verie (1)F(t) = 0 pour 0t0;t1< T: Les trois nombres logp;logq;logrsont lineairement independants surQcar p,q,rsont multiplicativement independants. Le lemme suivant, applique a fw1;:::;wng=s1logp+s2logq+s3logrj0s1;s2;s3< S avecn=Lmontre que les conditions (1) impliquent que les nombrestne

sont pas deux a deux distincts, donc queuest rationnel.2. Ce determinant est bien deni au signe pres, dependant de l'ordre que l'on choisit

pour l'ensemble desset pour celui dest. 3 Lemme 1.Soientw1;:::;wndes nombres reels deux a deux distincts et a

1;:::;andes nombres reels non tous nuls. Alors le nombre de zeros reels

de la fonction

F(x) =a1ew1x++anewnx

estn1. Demonstration.On va utiliser le theoreme de Rolle sous la forme suivante : si une fonction reelle de variable reelle contin^ument derivable amzeros reels, alors sa derivee en a au moinsm1.

La demonstration du lemme

1 se fait par r ecurrencesur n. L'enonce est vrai pourn= 1 : la fonctiona1ew1xn'a pas de zero. Supposons l'enonce vrai pourn1 avecn2. On suppose aussia1;:::;an1non tous nuls { ce n'est pas restrictif. La deriveeG(x) de la fonction ewnxF(x) s'ecrit

G(x) =a1(w1wn)ew1x++an1(wn1wn)ewn1x

avec des coecientsa1(w1wn);:::;an1(wn1wn) qui ne sont pas tous nuls. L'hypothese de recurrence montre queG(x) a au plusn2 zeros.

Le theoreme de Rolle implique que la fonction e

wnxF(x), donc la fonction

F(x) aussi, a au plusn1 zeros.Il ne reste plus qu'a majorerjj. Cette majoration n'utilise pas les hy-

potheses arithmetiques : elle est valable pour sans supposerp,q,r,pu,qu etrurationnels.

On introduit la fonction

(x) = det f s(tx) 0sj0ti de sorte que = (1), et on developpe le determinant pour ecrire (x) =X

2SL()ewx;

on a noteSLl'ensemble desL! bijections:s!(t0;(s) ;t1;(s) ) de l'en- semble dess= (s1;s2;s3) (0sj< S,j= 1;2;3) sur l'ensemble des t= (t0;t1), (0ti< T; i= 1;2),() est la signature de(dependant de l'ordre choisi pour lesset pour lest) et, pour2SL, w =S1X s

1=0S1X

s

2=0S1X

s

3=0(s1logp+s2logq+s3logr)(t0;(s)

+t1;(s) u): 4

On utilisera la majoration

(2)jwj LST(1 +u)log(pqr): On considere le developpement de Taylor de a l'origine : (x) =X m0 mxm:

Le lemme suivant montre que l'on a

0=1==M1= 0

avecM=L(L1)=2. Rappelons qu'une fonction analytique en 0 est une fonction qui est la somme au voisinage de 0 d'une serie entiere convergente; cette serie est alors sa serie de Taylor. Lemme 2.Soientf1;:::;fLdes fonctions analytiques en0et1;:::;Ldes nombres complexes. Le developpement de Taylor de la fonction

F(x) = det

f (x) 1;L; s'ecrit

F(x) =X

m0 mxm avec

0=1==M1= 0:

Demonstration.Gr^ace a la multilinearite du determinant, il sut de montrer ce resultat quand chaquef(x) est un mon^omexn. Si le determinant det (x)n

1;L=xn1+n2++nLdet

n 1;L n'est pas nul, alorsn1;:::;nLsont deux a deux distincts, donc n

1+n2++nL0 + 1 ++ (L1) =M:Pour obtenir la majoration attendue dejj, on introduit un nombre

R1 { on choisiraR= e, la base des logarithmes neperiens, mais on pourrait prendre n'importe quelle constante absolue>1 pour conclure. 5 Lemme 3.Soientw1;:::;wJ,a1;:::;aJdes nombres reels. Si le developpement de Taylor a l'origine de la fonction

F(x) =JX

j=1a jewjx s'ecrit

F(x) =X

m0 mxm avec

0=1==M1= 0;

alors jF(1)j RMJX j=1jajjejwjjR:

Demonstration.On a

F(x) =JX

j=1a jX m0w mjm!xm=X m0J X j=1a jwmjm!xm; donc m=JX j=1a jwmjm!quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47