Corrigé du TD no 11
Montrer que l'équation x5 = x2 + 2 a au moins une solution sur ]0 2[. Si x appartient à ]0
Corrigé du TD no 9
1. Montrer à partir de la définition donnée en cours
Nombres réels
8 nov. 2011 Une partie I de R est un intervalle si dès qu'elle contient deux ... Nous allons montrer que tout réel x tel que a < x < b appartient à I.
Nombres réels
Démonstration : Nous allons démontrer que si n inférieure à ? ce qui équivaut à dire que x appartient à l'intervalle ]a ? ?
Trigonométrie
Montrer que ?cos(±a1 ±a2 ±. Résoudre dans R l'équation 24cos2 x+1 +16.24sin2 x?3 = 20. Correction ? ... L'image par f de chacun des six intervalles.
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
Montrer que si · est une norme sur E alors l'application d : (x y) ?? x ? y est une distance sur E. Exercice 14. Pour x
Espaces vectoriels
Indication pour l'exercice 13 ?. Soit. G = {x ?? ax+b
Trigonométrie circulaire
On part de x et on se dirige vers l'intervalle [0 2?[ en faisant des pas de longueur 2?. Quand on arrive juste en dessous de 0 (ou juste au-dessus de 2? si
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
x ? x0. Rappelons l'interprétation géométrique de la dérivée : si f est dérivable en x0 alors la courbe représentative de la fonction f admet une tangente
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
? > 0 tel que si x est `a une distance inférieure `a ? de x0
3.1 Fonctions d´erivables
Dans tout ce chapitre,d´esigne un intervalle non vide deR. D´efinition 3.1.1.Soit:Rune fonction, et soit0. On dit queest d´erivable en0si la limite lim0(0+)(0)
existe, et est finie. Cette limite s"appelle la d´eriv´ee deen0, on la note(0). Bien sˆur, il revient au mˆeme de regarder la limite lim0()(0)
0Rappelons l"interpr´etation g´eom´etrique de la d´eriv´ee : siest d´erivable en0, alors
la courbe repr´esentative de la fonctionadmet une tangente au point (0(0)), de coefficient directeur(0).En fait, la fonction(0+)(0)
dont on consid`ere ici la limite en 0, n"est pasd´efinie en ce point. Dans ce cas, l"existence de la limite ´equivaut `a l"´egalit´e des limites `a
gauche et `a droite. C"est pourquoi on introduit les d´eriv´ees `a gauche et `a droite. D´efinition 3.1.2.Soit:Rune fonction, et soit0. 27(1) On dit queest d´erivable `a gauche en0si la limite lim
00(0+)(0)
existe, et est finie. Cette limite s"appelle la d´eriv´ee de`a gauche en0, on la note (0). (2) On d´efinit de mˆeme la d´eriv´ee `a droite, que l"on note(0).Proposition 3.1.3.Soit: []Rune fonction.
(1)Soit0][. Alorsest d´erivable en0si et seulement siest d´erivable `a droite et `a gauche en0et(0) =(0). (2)est d´erivable ensi et seulement siest d´erivable `a droite en. (3)est d´erivable ensi et seulement siest d´erivable `a gauche en. Les notions de d´eriv´ee `a droite et `a gauche ne sont pas tr`es importantes. Elles per- mettent cependant de v´erifier qu"une fonction est (ou n"est pas)d´erivable en un point. Proposition 3.1.4.Siest d´erivable en0, alorsest continue en0. D´emonstration.Supposonsd´erivable en0, alors la limite lim0=0()(0)
0 existe, et est finie. En multipliant par la fonction (0), qui tend vers 0, on en d´eduit que lim0=0()(0) = 0
c"est-`a-dire lim0=0() =(0)
ce qui montre queest continue en0. La r´eciproque est fausse. Par exemple, la fonction: est continue en 0, mais n"est pas d´erivable en ce point. En effet,(0) =1 et(0) = 1. Proposition 3.1.5.Soit:Rune fonction, et soit0. Alorsest d´erivable en0, de d´eriv´ee(0), si et seulement si il existe une fonctiontelle quelim0() = 0,
satisfaisant (0+) =(0) +(0) +() pour touttel que0+. 28D´emonstration.. Supposonsd´erivable en0. Alors il suffit de d´efinir () =(0+)(0) (0) pour= 0, et(0) = 0.. Supposons qu"il existe une fonctiontelle que lim0() = 0, satisfaisant (0+) =(0) ++() pour un certain r´eel. On peut ´ecrire : (0+)(0) Quandtend vers 0, le membre de droite tend vers. Doncest d´erivable en0et (0) =. Cons´equences imm´ediates de cette proposition : - siest d´erivable en0, et siest un r´eel, alorsest d´erivable en0, de d´eriv´ee (0). - une fonction constante est partout d´erivable, de d´eriv´eenulle. - une fonction affine:+est partout d´erivable, et(0) =pour tout0.
Voici deux exemples bien connus.
Exemples.a) Soit1 un entier, nous allons d´eriver la fonction:. Soit0 un r´eel fix´e, alors d"apr`es la formule du binˆome de Newton nous avons, pour tout, (0+) = (0+)=? =0? 0 =0+(10) +2? =2? 20? et le dernier terme est une fonction de la forme(). Ainsi,est d´erivable en0, et (0) =10. b) Soit la fonction:1 , et soit0= 0. Alors, pour toutnous avons (0+)(0) =10+10=0(0+)
d"o`u lim0(0+)(0)
=120Doncest d´erivable en0, et(0) =1
20. 29C"est Blaise Pascal qui, au d´ebut du 17esi`ecle, a le premier men´e des ´etudes sur la notion de tangente `a une courbe.
D`es la seconde moiti´e du 17
esi`ecle, le domaine math´ematique de l"analyse num´erique connaˆıt une avanc´ee prodigieuse grˆace aux travaux de Newtonet de Leibniz en mati`ere de calcul diff´erentiel et int´egral. Le marquis de l"Hˆopital participe aussi, `a la fin du 17 esi`ecle, `a ´etoffer cette nouvelle th´eorie, notamment en utilisant la d´eriv´ee pour calculerune limite dans le cas de formesind´etermin´ees particuli`eres (c"est la r`egle de L"Hˆopital, ´enonc´ee `a la fin du chapitre).
Finalement, d"Alembert introduit la d´efinition rigoureuse dunombre d´eriv´e en tant que limite du taux d"accroissement - sous une forme semblable `a celle qui est enseign´ee de nos jours. Cependant, `a l"´epoque de d"Alembert, c"est la notion de limite qui pose probl`eme. C"est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du 19esi`ecle que le concept de d´eriv´ee sera enti`erement formalis´e.C"est Lagrange (fin du 18
esi`ecle) qui a introduit la notation(0) pour d´esigner la d´eriv´ee deen0. Leibniz notait (0) et Newton (0). Ces trois notations sont encore usit´ees de nos jours.3.2 Op´erations sur les d´eriv´ees
Commen¸cons par les op´erations alg´ebriques sur les d´eriv´ees. Th´eor`eme 3.2.1.Soient:Rdeux fonctions, et soit0. On suppose que etsont d´erivables en0. Alors (1)+est d´erivable en0, et (+)(0) =(0) +(0) (2)est d´erivable en0, et ()(0) =(0)(0) +(0)(0) (3)si(0)= 0, alors est d´erivable en0, et (0) =(0)(0)(0)(0)(0)2D´emonstration.(1) Il suffit d"´ecrire
(() +())((0) +(0))0=()(0)0+()(0)0
30et de passer `a la limite quand0. (2) Il suffit d"´ecrire ()()(0)(0)
0=()(0)0() +(0)()(0)0
et de passer `a la limite quand0, en se servant de la continuit´e deen0. (3) Nous avons 1 ()1(0)0=1()(0)()(0)0
Par passage `a la limite, on en d´eduit que la fonction 1 est d´erivable en0, de d´eriv´ee ?1 (0) =(0)(0)2On applique alors le point (1) qui donne
(0) =(0)1(0)+(0)? (0)(0)2? d"o`u le r´esultat.Cons´equences de ce th´eor`eme :
- une fonction polynˆome est d´erivable surR, et sa d´eriv´ee est un polynˆome. - une fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est d´erivable sur son ensemble de d´efinition, et sa d´eriv´ee est une fonction rationnelle. En effet, nous avons vu que les fonctions de la formesont d´erivables sur toutR. On en d´eduit que les monˆomessont d´erivables, puis que les sommes demonˆomes, c"est-`a-dire les polynˆomes, sont d´erivables surR. Le r´esultat pour les fonctions
rationnelles en d´ecoule, par d´erivation d"un quotient. Apr`es les op´erations alg´ebriques, passons `a la composition des fonctions. Th´eor`eme 3.2.2(D´erivation des fonctions compos´ees).Soient:Ret:R deux fonctions telles que(), et soit0. Siest d´erivable en0, et siest d´erivable en(0), alorsest d´erivable en0et ()(0) =((0))(0) D´emonstration.Il existe des fonctions1et2telles que lim01() = 0 = lim02()
satisfaisant, pour tout, (0+) =(0) +(0) +1() 31et, pour tout, ((0) +) =((0)) +((0)) +2()
Prenons en particulier
=((0) +1())Alors nous avons
((0+)) =((0) +) =((0)) +((0)) +2() =((0)) +((0) +1())((0)) +((0) +1())2(((0) +1())) =((0)) +(0)((0)) +3() o`u l"on a pos´e3() =1()((0)) + ((0) +1())2(((0) +1()))
Il est clair que lim
03() = 0, d"o`u le r´esultat.
On voudrait `a pr´esent calculer les d´eriv´ees des fonctions usuelles. Montrer que lesfonctions trigonom´etriques sin et cos sont d´erivables (et calculer leurs d´eriv´ees) n"est pas
´evident, et d´epend des d´efinitions que l"on donne pour ces fonctions. Pour log et exp, c"est plus facile... si on d´efinit log comme l"unique primitive de1 sur ]0+[ qui s"annule en 1. Mais encore faut-il montrer qu"une telle primitive existe : ce sera un r´esultat important du chapitre consacr´e `a l"int´egration. La fonction exp est ensuite d´efinie comme la r´eciproque de la fonction log, et pour la d´eriver on se sert du r´esultat suivant. Th´eor`eme 3.2.3(D´erivation des fonctions r´eciproques).Soit:Rune fonction continue strictement monotone. Alors : (1)L"ensemble:=()est un intervalle, dont les bornes sont les limites deaux bornes de. La fonctionr´ealise une bijection entreet. (2)La bijection r´eciproque1:est continue strictement monotone, de mˆeme sens de variations que. (3)Siest d´erivable en un point0, et si(0)= 0, alors1est d´erivable au point0=(0)et (1)(0) =1 (0)=1(1(0)) D´emonstration.(1) et (2) : c"est le th´eor`eme de la bijection (voir le chapitre 2). (3). Supposonsd´erivable en0. Soit0=(0) et soit, on s"int´eresse `a la quantit´e1()1(0)
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