Corrigé du TD no 11
Montrer que l'équation x5 = x2 + 2 a au moins une solution sur ]0 2[. Si x appartient à ]0
Corrigé du TD no 9
1. Montrer à partir de la définition donnée en cours
Nombres réels
8 nov. 2011 Une partie I de R est un intervalle si dès qu'elle contient deux ... Nous allons montrer que tout réel x tel que a < x < b appartient à I.
Nombres réels
Démonstration : Nous allons démontrer que si n inférieure à ? ce qui équivaut à dire que x appartient à l'intervalle ]a ? ?
Trigonométrie
Montrer que ?cos(±a1 ±a2 ±. Résoudre dans R l'équation 24cos2 x+1 +16.24sin2 x?3 = 20. Correction ? ... L'image par f de chacun des six intervalles.
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
Montrer que si · est une norme sur E alors l'application d : (x y) ?? x ? y est une distance sur E. Exercice 14. Pour x
Espaces vectoriels
Indication pour l'exercice 13 ?. Soit. G = {x ?? ax+b
Trigonométrie circulaire
On part de x et on se dirige vers l'intervalle [0 2?[ en faisant des pas de longueur 2?. Quand on arrive juste en dessous de 0 (ou juste au-dessus de 2? si
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
x ? x0. Rappelons l'interprétation géométrique de la dérivée : si f est dérivable en x0 alors la courbe représentative de la fonction f admet une tangente
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
? > 0 tel que si x est `a une distance inférieure `a ? de x0
Trigonométrie
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1*ITRésoudre dansRpuis dans[0;2p]les équations suivantes : 1. sin x=0, 2. sin x=1, 3. sin x=1, 4. cos x=1, 5. cos x=1, 6. cos x=0, 7. tan x=0, 8. tan x=1. 1. sin x=12 2. sin x=1p2 3. tan x=1, 4. tan x=1p3 5. cos x=p3 2 6. cos x=1p2 1. sin (2x) =12 ;I= [0;2p], 2. sin x2 =1p2 ;I= [0;4p], 3. tan (5x) =1;I= [0;p], 14.cos (2x) =cos2x;I= [0;2p],
5. 2 cos2x3cosx+1=0;I= [0;2p],
6. cos (nx) =0(n2N),7.jcos(nx)j=1,
8. sin (nx) =0,9.jsin(nx)j=1,
10. sin x=tanx;I= [0;2p], 11. sin (2x)+sinx=0;I= [0;2p], 12.12 cos
2x8sin2x=2;I= [p;p].
1. cos x612 ;I= [p;p], 2. sin x>1p2 ;I=R, 3. cos x>cosx2 ;I= [0;2p], 4. cos2x>cos(2x);I= [p;p],
5. cos 2x612 ;I= [0;2p], 6. cos x36sinx3
;I= [0;2p]. p8 et sinp8 p12 et sinp12 åcos(a1a2:::an) =2ncosa1cosa2:::cosan(la somme comporte 2ntermes).Õnk=1cosa2
kpouraélément donné de]0;p[(penser à sin(2x) =2sinxcosx). 2.Déterminer lim
n!+¥ånk=1lncos(a2 k). 2 et1p3 1.Calculer tan (3q)en fonction de tanq.
2.Résoudre dans Rl"équation :
3xx313x2=3aa313a2:
On trouvera deux méthodes, l"une algébrique et l"autre utilisant la formule de trigonométrie établie en
1). 1.Calculer tan (5x)en fonction de tanx.
2. En déduire un polynôme de de gré4 dont les racines sont tan 9 ,tan27,tan63et tan81puis la valeur deS. tanx+tan(2x)+tan(3x)+tan(4x) =0; possède-t-elle de solutions dans[0;p]? 2p5 et sin2p5 . Pour cela, on posea=2cos2p5 ,b=2cos4p5 etz=e2ip=5. 1.Vérifier que a=z+z4etb=z2+z3.
2.Vérifier que 1 +z+z2+z3+z4=0.
3.En déduire un polynôme de de gré2 dont les racines sont aetbpuis les valeurs exactes de cos2p5
et sin2p51.x7!cos2x,
2.x7!cos4x,
33.x7!sin4x,
4.x7!cos2xsin2x,
5.x7!sin6x,
6.x7!cosxsin6x,
7.x7!cos5xsin2x,
8.x7!cos3x.
p=6cos4xsin6x dxetJ=Rp=3 p=6cos4xsin7x dx. 1.1cosxsinx=tanx2
2. sin x2p3 +sinx+sinx+2p3 =0, 3. tan p4 +x+tanp4 x=2cos(2x), 4.1tanxtanx=2tan(2x).
1.Etudier les v ariationsde fk:x7!sinxp12kcosx+k2.
2.Calculer
Rp0fk(x)dx.
1. ånk=0cos(kx)etånk=0sin(kx), (x2Retn2Ndonnés). 2. ånk=0cos2(kx)etånk=0sin2(kx), (x2Retn2Ndonnés). 3.ånk=0n
k cos(kx)etånk=0n k sin(kx), (x2Retn2Ndonnés). cosa+cosb+cosc=0 sina+sinb+sinc=0oùa,betcsont trois réels. 4Montrer que cos
4p8 +cos43p8 +cos45p8 +cos47p8 =32 2. En déduire les v aleursde sin xet cosxpourxélément dep10 ;p5 ;3p10 Correction del"exer cice1 N1.sin x=0,x2pZ. De plus,S[0;2p]=f0;p;2pg. 2. sin x=1,x2p2 +2pZ. De plus,S[0;2p]=p2 3. sin x=1,x2 p2 +2pZ. De plus,S[0;2p]=3p2 4. cos x=1,x22pZ. De plus,S[0;2p]=f0;2pg. 5. cos x=1,x2p+2pZ. De plus,S[0;2p]=fpg. 6. cos x=0,x2p2 +pZ. De plus,S[0;2p]=p2 ;3p2 7. tan x=0,x2pZ. De plus,S[0;2p]=f0;p;2pg. 8. tan x=1,x2p4 +pZ. De plus,S[0;2p]=p4 ;5p4 .Correction del"exer cice2 N1.sin x=12 ,x2p6 +2pZ[5p6 +2pZ. De plus,S[0;2p]=p6 ;5p6 2. sin x=1p2 ,x2p4 +2pZ[3p4 +2pZ. De plus,S[0;2p]=p4 ;3p4 3. tan x=1,x2 p4 +pZ. De plus,S[0;p]=3p4 4. tan x=1p3 ,x2p6 +pZ. De plus,S[0;p]=p6 5. cos x=p3 2 ,x2p6 +pZ[p6 +pZ. De plus,S[0;2p]=p6 ;11p6 6. cos x=1p2 ,x23p4 +pZ[3p4 +pZ. De plus,S[0;2p]=3p4 ;5p4 .Correction del"exer cice3 N1.sin (2x)=12 ,2x2p6 +2pZ[5p6 +2pZ,x2p12 +pZ[5p12 +pZ. Deplus,S[0;2p]=p12 ;5p12 ;13p12 ;17p12 2. sin x2 =1p2 ,x2 25p4+2pZ[7p4 +2pZ,x25p2 +4pZ)[(7p2 +4pZ. De plus,S[0;4p]=5p2 ;7p2 3. tan (5x) =1,5x2p4 +pZ,x2p20 +p5
Z. De plus,S[0;p]=p20
;p4 ;9p20 ;13p20 ;17p20 4. cos (2x) =cos2x,cos(2x) =12 (1+cos(2x)),cos(2x) =1,2x22pZ,x2pZ. De plus,S[0;2p]= f0;p;2pg. 5. 2 cos2x3cosx+1=0,(2cosx1)(cosx1) =0,cosx=12
ou cosx=1,x2p3 +2pZ[p3 +2pZ[2pZ. De plus,S[0;2p]=0;p3 ;5p3 ;2p. 6. cos (nx) =0,nx2p2 +pZ,x2p2n+pn Z.7.jcos(nx)j=1,nx2pZ,x2pn
Z. 8. sin (nx) =0,nx2pZ,x2pn Z.9.jsin(nx)j=1,nx2p2
+pZ,x2p2n+pn Z. 10. sin x=tanx,sinxsinxcosx=0,sinxcosx1cosx=0,sinx=0 ou cosx=1,x2pZ. De plus,S[0;2p]= f0;p;2pg. 6 11. sin(2x)+sinx=0,sin(2x) =sin(x+p),(9k2Z=2x=x+p+2kp)ou(9k2Z=2x=x+2kp) ,(9k2Z=x=p+2kp)ou(9k2Z=x=2kp3De plus,S[0;2p]=f0;2p3
;p;4p3 ;2pg. 12. 12cos2x8sin2x=2,6cos2x4(1cos2x) =1,cos2x=12
,cosx=1p2 ou cos=1p2 ,x2 p4 +pZ [p4 +pZ ,x2p4 +p2 Z:Correction del"exer cice4 N1.Pour x2[p;p], cosx612 ,x2p;p3 [p3 ;p. 2.Pour x2R, sinx>1p2
,x2[ k2Z p4 +2kp;5p4 +2kp 3.Pour x2[0;2p],
cosx>cosx2 ,2cos2x2 cosx21>0,(2cosx2
+1)(cosx21)>0,2cosx2
+1<0 et cosx2 6=1 ,cosx2 <12 etx2 =22pZ,x2 2[ k2Z 2p3 +2kp;4p3 +2kp etx=24pZ ,x2[ k2Z 4p3 +4kp;8p3 +4kp etx=24pZ,x2]4p3 ;2p] 4.Pour x2[p;p], cos2x>cos(2x),12
(1+cos(2x))>cos(2x),cos(2x)61,x2[p;p]. 5.Pour x2[0;2p], cos2x612
, 1p26cosx61p2
,x2p4 ;3p4 [5p4 ;7p4 6.Pour x2[0;2p],
cos x36sinx3
,1p2 sinx3 1p2 cosx3 >0,sinx3 p4 >0, 9k2Z=2kp6x3 p46p+2kp
, 9k2Z=3p4 +6kp6x63p+3p4 +6kp,3p46x62pCorrection del"exer cice5 Ncos
2p8 =121+cos(2p8
)=12 1+p2 2 =2+p2 4 , et puisque cosp8 >0, cos p8 =12 p2+p2.De même, puisque sin
p8 >0, sinp8 =q1 21cos(2p8
)et 7quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que xn 1 axn
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