[PDF] Devoir Surveillé n?5 Pour tout réel x

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Nom : .......DS n°5 - Cinquième - Janvier 2014

Devoir Surveillé n°5

Fractions, niveau 1

Durée 1 heure - Coeff. 4

Noté sur 20 points

L"usage de la calculatrice est interdit. La rédaction et la présentation rapporteront 1 point sur les 20 points de ce devoir.

Exercice 1. Étude de fonctions (5 points)

Commun à tous les candidats

Soitfla fonction dérivable, définie sur l"intervalle]0 ; +∞[parf(x) =ex+1 x.

1. Étude d"une fonction auxiliaire

1. a.Soit la fonctiongdérivable, définie sur[0 ; +∞[parg(x) =x2ex-1.

Étudier le sens de variation de la fonctiong.

Pour tout réelxde[0 ; +∞[, la fonctiongest dérivable comme produit de fonctions dérivable et :

g ?(x) =?x2??ex+x2(ex)? g ?(x) = 2xex+x2ex g ?(x) =?2x+x2?ex

Doncg?(x)>0sur]0 ; +∞[puisque :

ex>0 ;?x?]0 ; +∞[

2x+x2>0 ;?x?]0 ; +∞[

La fonctiongest donc strictement croissante sur[0 ; +∞[

1. b. Démontrer qu"il existe un unique réelaappartenant à[0 ; +∞[tel queg(a) = 0.

•Dressons le tableau de variations deg: x0a1 +∞ g(x) -10e- 1 Avec g(0) =-1<0etg(1) =e-1>0 •Sur l"intervalle[1 ; +∞[.

La fonctiongest strictement croissante sur l"intervalle[1 ; +∞[avecg(1) =e-1>0. L"équationg(x) = 0n"admet

donc pas de solution sur cet intervalle. •Application du TVI sur l"intervalle[0 ; 1]. Sifest une fonction définie,continueet strictementmonotonesur un intervalle[a;b], alors, pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équationf(x) =kadmet une unique solution dans l"intervalle [a;b]. Théorème 1(Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires) www.math93.com / M. Duffaud1/9 Nom : .......DS n°5 - Cinquième - Janvier 2014

Remarque: Le première démonstration rigoureuse de ce théorème est due au mathématicien autrichien Bernard Bol-

zano (1781-1848,Prague, Empire d"Autriche).Bernhard Placidus Johann NepomukBolzano est le fils d"une germano-

phone et d"un émigré italien en Bohême, alors dans l"Empire d"Autriche. Dans son premier ouvrageRein analytischer

Beweis...(1817) il démontre le théorème des valeurs intermédiaires sans utiliser l"évidence géométrique comme on le

faisait alors. -La fonctiongestcontinueetstrictement croissantesur l"intervalle[0 ; 1]; -L"image pargde l"intervalle[0 ; 1]est[-1 ;e-1]d"après le tableau de variations. -Le réelk= 0appartient à l"intervalle image[-1 ;e-1].

Donc, d"après lecorollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationg(x) =k= 0admet une solution

uniqueasur l"intervalle[0 ; 1].

En conclusion:

Il existe un unique réelaappartenant à[0 ; +∞[tel queg(a) = 0 •Démontrer queaappartient à l"intervalle [0,703; 0,704[. Pour avoir un encadrement dea, on peut utiliser la fonction TABLE de la calculatrice.

Avec un pas deΔ = 0,1on obtient :?

g(0,7)≈ -0,013<0

Avec un pas deΔ = 0,01on obtient :?

g(0,7)≈ -0,013<0

Avec un pas deΔ = 0,001on obtient :?

g(0,703)≈ -0,0018<0 Pour conclure: la solutionade l"équationg(x) = 0appartient à l"intervalle ]0,703; 0,704[

1. c. Déterminer le signe deg(x)sur[0 ; +∞[.

D"après le tableau de variations deg:?

g(x)<0sur[0;a[ g(x)>0sur]a;+∞[

2. Étude de la fonctionf

2. a. Déterminer les limites de la fonctionfen0et en+∞.

On a :

limx→0ex= 1 lim x→0 x>01 x= +∞??????? =?limx→0 x>0ex+1x= +∞ soit lim x→0 x>0f(x) = +∞

On a :

limx→+∞ex= +∞ lim x→+∞1 x= 0??? =?limx→+∞ex+1x= +∞ et donc limx→+∞f(x) = +∞

2. b. On notef?la fonction dérivée defsur l"intervalle]0 ; +∞[.

Démontrer que pour tout réel strictement positifx, f?(x) =g(x) x2. ?x?]0 ; +∞[, f(x) =ex+1 x www.math93.com / M. Duffaud2/9 Nom : .......DS n°5 - Cinquième - Janvier 2014 soit f ?(x) =ex-1 x2=x2ex-1x2=g(x)x2

2. c. En déduire le sens de variation de la fonctionfet dresser son tableau de variation sur l"intervalle]0 ; +∞[.

Pour toutxde]0 ; +∞[,x2>0doncf?(x)est du signe deg(x). On dresse le tableau de variation def: x0a+∞ g(x)-1---0 +++ f?(x)---0 +++ f(x) f(a)

2. d. Démontrer que la fonctionfadmet pour minimum le nombre réel.

D"après son tableau de variation, la fonctionfadmet le nombref(a)comme minimum sur son intervalle de définition.

f(a) =ea+1 a

Oraest la solution de l"équationg(x) = 0donc

g(a) = 0??a2ea-1 = 0??a2ea= 1??ea=1 a2

On en déduit que

f(a) =1 a2+1a et on a donc démontré que : la fonctionfadmettait pour minimum sur]0 ; +∞[le nombre réelm=1 a2+1a.

2. e. Justifier que3,43< m <3,45.

m=1 a2+1a=a+ 1a2=1a2(a+ 1)

On a successivement (en valeurs approchées) :

?0,703< a <0,704

0,4942< a2<0,4957: car la fonction carré est croissante surR+

1

0,4957<1a2<10,4942: car la fonction inverse est décroissante surR?+

2,017<1

a2<2,024 ?0,703< a <0,704 1

0,704<1a<10,703: car la fonction inverse est décroissante surR?+

1,420<1

a<1,423 donc par somme :

2,017 + 1,420<1

a2+1a<2,024 + 1,423 et donc :

3,43< m <3,45

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Exercice 2. Suite (5 points)

Commun à tous les candidats

Soient deux suites(un)et(vn)définies paru0= 2etv0= 10et pour toutn?Npar : u n+1=2un+vn

3etvn+1=un+ 3vn4

Partie A

Variables :Nest un entier

U,V,Wsont des réels

Kest un entier

Début :Affecter0àK

Affecter 2 àU

Affecter 10 àV

SaisirN

Tant queK < N

AffecterK+ 1àK

AffecterUàW

Affecter2U+V3àU

AffecterW+ 3V4àV

Fin tant que

AfficherU

AfficherV

Fin

État des variables :

KWUV

0—210

1214/38

214/352/943/6

Partie B

1. 1. a. Montrer que pour tout entier natureln, vn+1-un+1=5

12(vn-un).

Pour tout entier natureln,

v n+1-un+1=un+ 3vn

4-2un+vn3=3(un+ 3vn)12-4(2un+vn)12

3un+ 9vn-8un-4vn

12=5vn-5un12=512(vn-un)

?n?N, vn+1-un+1=5

12(vn-un)

1. b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un.

Montrer que pour tout entier natureln, wn= 8?5

12? n

D"après la question précédente, on peut dire que la suite(wn)est géométrique de raison5

12et de premier termew0=

v

0-u0= 10-2 = 8.

On a donc d"après le cours :

?n?N, wn= 8?5 12? n

2. 2. a. Démontrer que la suite(un)est croissante et que la suite(vn)est décroissante.

Pour tout entier naturelnon a :un+1-un=2un+vn

3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3

On a vu que, pour toutn,wn= 8?5

12? n ; on peut en déduire que pour toutn,wn>0et donc que, ?n?N, un+1-un=wn 3=83? 512?
n >0 www.math93.com / M. Duffaud4/9 Nom : .......DS n°5 - Cinquième - Janvier 2014

Donc la suite(un)est croissante.

?n?N, vn+1-vn=un+ 3vn

4-4vn4=un+ 3vn-4vn4=un-vn4=-wn4

Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0pour toutn.

Donc la suite(vn)est décroissante

2. b. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturelnon aun?10etvn?2.

On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0c"est-à -direvn> un. La suite(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10.

Pour tout entier natureln,vn> un

v n?10? =? ?n?N, un?10 La suite(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2.

Pour tout entier natureln,vn> un

u n?2? =? ?n?N, vn?2

2. c. En déduire que les suites(un)et(vn)sont convergentes.

•La suite(un)est croissante majorée par 10 donc, d"après le théorème de laconvergence monotone, la suite(un)est

•La suite(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théorème, la suite(vn)est convergente vers un

3. Montrer que les suites(un)et(vn)ont la même limite.

•La suite(wn), définie parwn=vn-un, est convergentecomme différence de deux suites convergentes,et sa limite est

égale à?2-?1.

•Or la suite(wn)est géométrique de raison5

12avec-1<512<1; donc la suite(wn)est convergentevers 0.

•La limite d"une suite est unique donc?2-?1= 0et?2=?1. Les suites(un)et(vn)ont donc la même limite notée?.

4. Montrer que la suite(tn)définie partn= 3un+ 4vnest constante.

Pour tout entiernon a :

t n+1= 3un+1+ 4vn+1 = 3×2un+vn

3+ 4×un+ 3vn4

= 2un+vn+un+ 3vn t n+1= 3un+ 4vn=tn donc la suite(tn)est constante. t

0= 3u0+ 4v0= 3×2 + 4×10 = 6 + 40 = 46

Comme la suite(tn)est constante, pour toutn,tn=t0= 46; la suite(tn)est donc convergentevers 46.

Les suites(un)et(vn)sont toutes les deux convergentes vers?donc la suite(tn)définie partn= 3un+ 4vnest convergente

vers3?+ 4?= 7?. La limite d"une suite est unique donc7?= 46???=46 7.

La limite commune des suites(un)et(vn)est donc46

7. www.math93.com / M. Duffaud5/9 Nom : .......DS n°5 - Cinquième - Janvier 2014

Exercice 3. Probabilités (5 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Montrer qu"une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu"une bille soit hors norme est 0,0124. On pourra

utiliser la table de valeurs donnée en annexe.

Une bille est dans la norme si son diamètre est entre 9 et 11 mm;donc la probabilité qu"une bille soit dans la norme est

P(9?X?11) =P(X?11)-P(X?9)

La probabilité que la bille soit hors norme est donc :

1-(P(X?11)-P(X?9)) = 1-(0,99379034-0,00620967) = 1-0,98758067 = 0,01241933; donc une valeur

approchée à 0,0001 de la probabilité qu"une bille soit hors norme est 0,0124

2. 2. a.On construit un arbre pondéré qui réunit les données de l"énoncé :

N

0,9876?A

0,99 A0,01 N

0,0124?A

0,02 A0,98

2. b. Calculer la probabilité de l"évènementA.

D"après la formule des probabilités totales :

P(A) =P(N∩A) +P?

N∩A?

P(A) =P(N)×PN(A) +P?

N?×PN(A)

= 0,9876×0,99 + 0,0124×0,02 = 0,977724+ 0,000248 = 0,977972 La probabilité deAarrondie au dix-millième est :

P(A)≈0,9780

2. c. Quelle est la probabilité pour qu"une bille acceptée soit hors norme?

On cherche :PA?

N?=P?A∩N?

P(A)=0,0002480,977972≈0,0003

La probabilité qu"une bille acceptée soit hors norme est 0,0003 (arrondie au dix-millième)

Partie B

1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoireY?

La probabilité qu"une bille soit hors norme est 0,0124 : on admet que prendre au hasard un sac de 100 billes revient à effectuer

un tirage avec remise de 100 billes dans l"ensemble des billes fabriquées.

Donc la variable aléatoireYqui, à tout sac de 100 billes, associe le nombre de billes horsnorme, suit une loi binomiale de

paramètresn= 100etp= 0,0124.

2. Quels sont l"espérance et l"écart-type de la variable aléatoireY?

L"espérance mathématique et l"écart type d"une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètresnetpsont respecti-

vementnpet? np(1-p). Donc

E(Y) =np= 100×0,0124 = 1,24

www.math93.com / M. Duffaud6/9 Nom : .......DS n°5 - Cinquième - Janvier 2014 etσ(Y) =?np(1-p) =?100×0,0124×0,9876≈1,1066soit

σ(Y)≈1,1066

3.La probabilité pour qu"un sac de100billes contienne exactement deux billes hors norme estP(Y= 2).

P(Y= 2) =?n

2? p

2(1-p)n-2=?100

2?

×0,01242×0,987698≈0,02241.

P(Y= 2)≈0,02241

4. Quelle est la probabilité pour qu"un sac de100billes contienne au plus une bille hors norme?

Un sac de billes contient au plus une bille hors norme est l"événement(Y?1).

P(Y?1) =P(Y= 0) +P(Y= 1)

=?100 0?

×0,01240×0,9876100+?100

1?

×0,01241×0,987699

P(Y?1)≈0,2871+ 0,3605≈0,6476

www.math93.com / M. Duffaud7/9 Nom : .......DS n°5 - Cinquième - Janvier 2014 Exercice 4. Vrai/Faux sur les complexes (5 points) Pour les candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct?

O,-→u ,-→v?

On noteCl"ensemble des nombres complexes.

1. VRAIE

Pour tout entier natureln: (1 +i)4n= (-4)n.

Proposition 1

On a pour tout entiern:

(1 +i)4n=? (1 +i)4?net(1 +i)4=? (1 +i)2?2 or (1 +i)2= 1 + 2i+i2= 1 + 2i-1 = 2i donc (1 +i)4= (2i)2= 4i2=-4 (1 +i)4n= (-4)n:la proposition 1 est vraie

2. FAUSSE

Soit (E) l"équation(z-4)?z2-4z+ 8?= 0oùzdésigne un nombre complexe.

Les points dont les affixes sont les solutions, dansC, de (E) sont les sommets d"un triangle d"aire 8.

Proposition 2

On cherche les solutions de l"équation (E) :(z-4)?z2-4z+ 8?= 0.

Il y az= 4qui annulez-4.

Pourz2-4z+ 8 = 0:Δ = (-4)2-4×1×8 = 16-32 =-16<0 L"équation admet deux solutions complexes conjuguées : z

1=-(-4) +i⎷

16

2=4 + 4i2= 2 + 2i etz2= 2-2i

L"équation (E) admet pour solutions

4,2 + 2i,2-2i?

Représentons les points dont les affixes sont solutions de (E) : ?u?v ?O ABCH ?Le triangle ABC est isocèle en A car les points B et C sontsymétriques par rapport à l"axe

O,-→u?

et A appartient à cet axe; donc le milieu H de [BC] est aussi le pied de la hauteur issue de A dans le triangle. Hapouraffixe2doncAH=2;deplus BC=|2 + 2i-2 + 2i|=|4i|=

L"aire de ce triangle vaut donc :

BC×AH

2=4×22= 4

La proposition 2 est donc fausse.

3. VRAIE

www.math93.com / M. Duffaud8/9 Nom : .......DS n°5 - Cinquième - Janvier 2014 Pour tout nombre réelα,1 +e2iα= 2eiαcos(α).

Proposition 3

Soitαun nombre réel quelconque; on sait que1 = cos2α+ sin2α.

1 +e2iα= 1 +?eiα?2= 1 + (cosα+isinα)2= 1 + cos2α+ 2isinαcosα+i2sin2α

= cos

2α+ sin2α+ cos2α+ 2isinαcosα-sin2α= 2cos2α+ 2isinαcosα

= 2(cosα+isinα)cosα= 2eiαcosα

La proposition 3 est donc vraie.

4. VRAIE

Soit A le point d"affixezA=12(1+i)etMnle point d"affixe(zA)noùndésigne un entier naturel supérieur ou égal

à2.

Sin-1est divisible par 4, alors les points O, A etMnsont alignés.

Proposition 4

Le nombre complexezAa pour argumentπ

4donc le nombre complexe(zA)na pour argumentnπ4(argument d"un produit).

Les points O, A etMnsont alignés si et seulement si l"argu- ment de l"affixe deMnestπ

4ouπ+π4à2πprès.

?u?v OA 4

π+π4

On suppose quen-1est divisible par 4; le nombren-1peut alors s"écrire4kaveckentier et doncns"écrit4k+ 1.

L"argument de l"affixe deMnqui estnπ

4peut s"écrire(4k+ 1)π4=kπ+π4qui est bien équivalent àπ4ouπ+π4à2πprès;

donc sin-1est divisible par 4, alors les points O, A etMnsont alignés.La proposition 4 est vraie.

5. VRAIE

Soit j le nombre complexe de module 1 et d"argument2π3. Alors :1 +j+j2= 0.

Proposition 5

Le nombre j a pour module 1 et argument

2π

3donc j2a pour module12= 1et pour argument2×2π3=4π3.

On a : j= cos2π

3+isin2π3=-12+⎷

3

2(propriétés du cercle trigonométrique).

Et : j

2= cos4π

3+isin4π3=-12-⎷

3 2.

Donc1 +j+j2= 1-1

2+⎷

3

2-12-⎷

3

2= 0.La proposition 5 est vraie.

www.math93.com / M. Duffaud9/9quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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