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Lyc´ee Dominique VillarsCOURS

ECE 1

ETUDE des SUITES RECURRENTES

On appelle suite r´ecurrente toute suite (un)nNtelle qu"il existe une fonction r´eellef:IRtelle que :

nN, un+1=f(un) *On va voir comment ´etudier le comportement de (un)nN`a partir de l"´etude de la fonctionf.

1 Intervalle stable parf- Existence et encadrement des termes de(un)nN

D´efinition - Intervalle stable parf.

Soit une fonctionf:IRavecIR. SoitJun intervalle telle queJI. On dit queJest stable parfsi et seulement sif(J)Jou autrement dit si xJ , f(x)J

Exemple :

L"intervalle [0,1] est stable parf:xx?x2.

L"intervalle [?1,1] est stable parg:xx3.

L"intervalle [0,169] est stable parh:x

x+ 47. +M´ethode : Comment montrer qu"un intervalle est stable par une fonction ?

Afin de montrer qu"un intervalleJest stable par une fonctionf, il est suffit d"´etudier les variations defcontinue

surJet d"en d´eduire les valeurs minimales et maximales prises parfsurJ.

1/ SiJ= [m,M] et que

minxJf(x)?mmaxxJf(x)?M alorsJest stable parf.

2/ SiJ=]? ,M] et que maxxJf(x)?MalorsJest stable parf.

3/ SiJ= [m,+[ et que minxJf(x)?malorsJest stable parf.

Int´erˆet 1 : Existence de tout les termes de la suite(un)nN Il est important de bien comprendre qu"il existe des suites r´ecurrentes "mal d´efinies"!!

Observons par exemple :

¬la suite (un)nNd´efinie paru0= 5 etnN,un+1= un?1. la suite (vn)nNd´efinie parv0= 2 etnN,vn+1=1 vn1.

Soient donc les fonctionsf:x

x?1 etg:x1x1d´efinies respectivement surDf= [1;+[ etDg=R?1 On a nN, un+1=f(un) etvn+1=g(vn) Calculons les premiers termes de ces deux suites : u 1= u0?1 =4 = 2u2=u1?1 =2?1 = 1u3=u2?1 =0 = 0...maisu4n"existe pas!! v 1=1 u0?1=12?1= 1...maisv2n"existe pas!!

Dans ces deux exemples, on peut observer queDfn"est pas stable parfet de mˆemeDgn"est pas stable parg.

Ainsi il est possible d"obtenir `a partir d"un ´el´ementxDf(respect.Dg) une image parf(respect. parg),

f(x)/Df(respect.g(x)/Dg) ?ATTENTION ce n"est pas parce queDfn"est pas stable parfqu"une suite (un)nNtelle que pour tout nN,un+1=f(un), est "mal d´efinie"!!

En effet, ce probl`eme d"existence des termes de la suite d´epends ´egalement de la valeur du premier termeu0!!!

ExempleModifions la valeur du premier terme de la suite (vn)nNd´efinie ci-dessus. En d´efinissant la suite (wn)nNparw0=?1 et pour toutnN,wn+1=1 wn1=g(wn) alors : w 1=1 ?1?1=?12w2=1?12?1=?23w3=1?23?1=?35w4=1?35?1=?58... etc On peut montrer que tout les termes de cette suite sont bien d´efinies...!!!

+M´ethode : Comment d´emontrer que tout les termes d"une suite r´ecurrente sont bien d´efinis ?

Supposons que l"intervalleJDfsoit un intervalle stable defet queu0J. On peut alors montrer par r´ecurrence quenN,unexiste etunJ. Pour le d´emontrer, posons l"hypoth`ese de r´ecurrence suivante : n: "unexiste etunJ"

0est vraie.

Supposons quenest vrai. Alorsunexiste etunJ. OrJDfest stable parfdoncf(un) existe et (par stabilit´e deJparf)f(un)f(J)J. Doncun+1=f(un) existe et appartient `aJ. Ainsin+1est vraie.

Par cons´equent,nN,nest vraie.

+Ainsi pour d´emontrer que tout les termes de la suites (un)nNsont bien d´efinis, il suffit de d´eterminer un

intervalleJstable parfcontenant la valeur deu0!!! Exercice 1: D´eterminer un intervalleJstable parg:x1x1telle quew0J.

Remarque: Il est ´egalement possible de montrer par exemple queu1existe puis de d´eterminer un intervalleJ

stable parfcontenantu1!! Exercice 2: Soit la suite (zn)nNd´efinie parz0= 3 et pour toutnN,zn+1=1 zn1. (i) Calculerz1. (ii) D´eterminer un intervalleJstable parg:x1 x1telle quez1J. Int´erˆet 2 : Encadrement des termes de la suite(un)nN

En d´emontrant queJest stable parfet queu0J, le principe de r´ecurrence nous a permis de d´emontrer que :

tout les termes de la suite existent. tout les termes de la suite sont dans l"intervalleJ. Ce deuxi`eme point assure donc un encadrement (minoration,majoration) concernantunpour toutnN.

Exemple:

Soit la suite (un)nNd´efinie paru0= 2 et pour toutnN,un+1=un+1 un. (i) on montre que l"intervalleJ= [1;+[ est stable parf:xx+1 x. (ii) on d´eduit que pour toutnN,un?1.

2 Points fixes defet limites ´eventuelles de(un)nN

D´efinition - Point fixe d"une fonction.

Soit une fonctionf:DfR. SoitxDf. On dit quexest un point fixe defsif(x) =x. ?Attention une fonctionfpeut admettre plusieurs point fixe (une infinit´e mˆeme cf.f:xx) maisfpeut ´egalement n"admettre aucun point fixe!!

Exemple - Exercice:

1 est un point fixe def:x3x2?2 carf(1) = 1. La fonctionfadmet-elle un autre point fixe?

Remarque : Point fixe et repr´esentation graphiquef

Un point fixe defcorrespond `a l"abscisse d"un point d"intersection defet de la "premi`ere bissectrice" : la droite

d"´equationy=x.

Th´eor`eme - Localisation de point fixe.

Soitfune fonction continue surI. Supposons que le segment [a,b] est stable parf. Alorsfposs`ede un point fixe appartenant dans l"intervalle [a,b].

+Ainsi (`a condition quefsoit continue) dans un intervalle stable parf, il existe n´ec´essairement un point fixe def!!

D´emonstration :

On posegtel queg(x) =f(x)?x. La fonctiongest continue sur[a,b]etg(a) =f(a)?a?0etg(b) =f(b)?b?0 (carf(a)etf(b)[a,b]).

En appliquant, le th´eor`eme des valeurs interm´ediares `agcontinue sur[a,b], il existec[a,b]tel queg(c) = 0

c"est `a diref(c) =c.

RAPPEL - Th´eor`eme:

Soitfune fonction continue en un pointl(ou sur un intervalle contenantl) etu= (un)nNune suite convergeant

versl. Alors la suite (f(un))nNconverge versf(l).

Supposons maintenant que la suite r´ecurrente (un)nN(telle queun+1=f(un)) converge vers une limite finiel:

(i) le rappel ci-dessous assure que lim n+un+1= limn+f(un) =f(l). (ii) d"autre part, lim n+un+1= limn+un=l. Ainsi par unicit´e de la limite d"une suite, on obtient quel=f(l) =lest donc un point fixe def!! Th´eor`eme du POINT FIXE - Limite ´eventuelle de la suite(un)nN Soit (un)nNune suite r´ecurrente du typeun+1=f(un). Si la suite converge verslet si la fonctionfest continue enl , alorslest un point fixe def: f(l) =l

Remarque 1 :

Sifn"admet aucun point fixe, alors toute suite r´ecurrente (un)nNdu typeun+1=f(un) n"est pas convergente!!

Exemple : (un)nNd´efinie paru0Retun+1=un+1

unn"est pas convergente!!

Remarque 2 :En g´en´eral, la fonctionfposs`ede non pas un mais plusieurs points fixes. Pour d´eterminer la

limite ´eventuelle de (un)nN, on utilise le r´esultat classique sur les suites : sinN, un[a,b]et si la suite(un)nNconverge verslalorsl[a,b]

3 Repr´esentation Graphique d"une suite r´ecurrente

En utilisant la courbefassoci´ee `af, on peut repr´esenter la suiteud´efinie parun+1=f(un) sur l"axe des

abscisses du rep`ere orthonorm´e dans lequel on a trac´ef.

La droite d"´equationy=xpermet de rapporter les points de l"axe des ordonn´ees `a l"axe des abscisses et met en

´evidence l"´eventuelle limite de la suite qui est l"abscisse d"un point d"intersection de cette droite avecf.

Ci-dessous, repr´esentation des premiers termes de la suite (un)nNd´efinie par u

0= 2un+1=un+ 4

un?5+ 2

4 Monotonie des suites4.1 Etude du signe deun+1?un

Supposons queJsoit un intervalle stable tel queu0J. On d´eduit alors quenN,unJ.

On cherche `a connaitre la monotonie de la suite (un)nN. De mani`ere g´en´erale on ´etudie pour cela le signe de

u n+1?un=f(un)?un.

Quand est-ce-que ce crit`ere permet de conclure ? R´eponse :quand le signe def(x)?xest constant surJ!!

Supposons quefest continue sur un intervalleJstable parfet contenantu0. Sipour toutxJ,f(x)?x?0alorsla suite (un)nNest croissante. Sipour toutxJ,f(x)?x?0alorsla suite (un)nNest d´ecroissante. En effet, supposons que toutxJ,f(x)?x?0. Sachant quenN,unexiste etunJalors : nN, un+1?un=f(un)?un?0

4.2 Casfcroissante.

Supposons quefest continue sur un intervalleJstable parfet contenantu0. Si de plusfest croissante surJalors la suite (un)nNest monotone.

Plus pr´ecis´ement :

·Siu1?u0alors (un)nNest d´ecroissante.

D´emonstration :

On calcule explicitementu1=f(u0)et on distingue les deux cas suivants :

Cas 1 :u0?u1

On va montrer par r´ecurrence que la suiteuest croissante. Posons ainsi, n: "un?un+1"

0est trivialement vraie (c"est la condition du cas 1!!!) Supposons quensoit vraie doncun?un+1.

Orfest croissante surJetun,un+1Jdonc :f(un)?f(un+1)un+1?un+2. Ainsin+1est vraie. Par cons´equentnN,nest vraie et la suiteuest croissante.

Cas 2 :u0?u1

On pose alors pournN

n: "un?un+1"

0est trivialement vraie. Sinest vraie c.a.d.un?un+1, et commefest croissante surJetun,un+1Jalors

:f(un)?f(un+1)un+1?un+2. Ainsin+1est vraie. Par cons´equentnN,nest vraie et la suiteuest d´ecroissante.

Exemple :

Ci-dessous sont repr´esent´es les premiers termes de la suite (un)nNd´efinie par la relationnN,un+1=

un. u0= 0,2 alorsu1=0,2> u0 u0= 1,9 alorsu1=1,9< u0

4.3 Casfd´ecroissante.

Supposons quefest continue sur un intervalleJstable parfet contenantu0.

Sifest d´ecroissante sur l"intervalleIalors les suites (u2n)nNet (u2n+1)nNsont monotones de sens contraires

(l"une croissante l"autre d´ecroissante!!) Introduisons les deux suites auxiliairesaetbd´efinies pour toutnNpar : a n=u2net bn=u2n+1

Alors on a :

a n+1=u2(n+1)=u2n+2=f(u2n+1) =f(f(u2n)) = (ff)(an) Donc la suiteav´erifie une relation de r´ecurrence donn´ee par : nN, an+1= (ff)(an) Par d´efinitionnN,an=u2nJet la fonctionffest croissante surJ. On est donc ramen´e au cas d"une fonction croissante ´etudi´e ci-dessus. Ainsi (an)nNest : croissante sia1?a0c"est `a direu2?u0. d´ecroissante sia1?a0c"est `a direu2?u0.

On v´erifie de mˆeme que la suite (bn)nNest d´efinie par la relationbn+1= (ff)(bn) donc peut ˆetre ´etudi´ee comme

(an)nN. Ainsi (bn)nNest : croissante sib1?b0c"est `a direu3?u0. d´ecroissante sib1?b0c"est `a direu3?u1. Remarque Les deux suitesaetbseront de monotonies contraires. En effet, sia0?a1u0?u2 alors par d´ecroissance def,f(u0)?f(u2)u1?u3ainsib0?b1.

Exemple:

Ci-dessous les premiers termes de la suite (un)nNd´efinie paru0=1

2et pour toutnN,un+1=1un+12.

5 Comportement asymptotique de la suite(un)nN

5.1 Cas(un)nNmonotone

Supposons que :

il existeJDftel quenN, unJ. (un)nNest monotone : croissante ou d´ecroissante.

Cas croissant

1/ Si (un)nNest major´ee (exemple, siJ= [m,M] avecmR, MR) alors elle converge vers un point fixe de

fappartenant `aJ

2/ Si (un)nNne semble

pas major´ee (par exempleJ= [m,+[).

On essaie de minorer (un)nNpar un nombrem:

nN, un?m

tel qu"il n"existe pas de point fixe pourfsur [m,+[ et on utilise le raisonnement par l"absurde suivant :

Supposons que la suite (un)nNconverge vers une limite finiel. Par suitel?metlest un point fixe def. Orf

ne poss`ede pas de point fixe sur [m,+[ : contradiction !! Donc la suite (un)nNne converge pas et puisqu"elle est croissante, elle divergevers +.

Cas d´ecroissant

1/ Si (un)nNest minot´ee (exemple, siJ= [m,M] avecmR, MR) alors elle converge vers un point fixe de

fappartenant `aJ

2/ Si (un)nNne semble

pas minor´ee (par exempleJ=]? ,M[).

On essaie de majorer (un)nNpar un nombreM:

nN, un?M

tel qu"il n"existe pas de point fixe pourfsur ]? ,M] et on utilise le raisonnement par l"absurde suivant :

Supposons que la suite (un)nNconverge vers une limite finiel. Par suitel?Metlest un point fixe def. Orf

ne poss`ede pas de point fixe sur ]? ,M] : contradiction !! Donc la suite (un)nNne converge pas et puisqu"elle est d´ecroissante, elle diverge vers?.

5.2 Cas(un)nNn"est pas monotone

Il s"agit du cas ´etudi´e dans la sectionfd´ecroissante. Les suites (u2n)nNet (u2n+1)nNsont monotones donc on

peut leur appliquer le raisonnement de la section pr´ec´edente pour d´eterminer leurs convergences respectives.

Puis on applique le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme

La suite (un)nNconverge verslsi et seulement si les suites (u2n)nNet (u2n+1)nNconvergent toutes les deux

vers le r´eell. *Dans ce cas les suites (u2n)nNet (u2n+1)nNsont adjacentes!!!

5.3 M´ethode fond´ee sur l"in´egalit´e des accroissementsfinis

Une autre m´ethode, dans le cas de convergence vers le point fixel, consiste `a utiliser l"in´egalit´e des accroissements

finis : xJ ,f(x)?q

·apr`es v´erification de toutes les hypoth`eses, on appliquel"IAF aux pointsunetl, point fixe defdansJ:

f(un)?f(l)?qun?l un+1?l?qun?l

¸on montre alors par r´ecurrence que :

nN,un?l?qnu0?l ¹puisqueq <1, on conclut avec le th´eor`eme d"encadrement que limn+un?l= 0 donc limn+un=l!!quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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