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Exercices de Mécanique Ex-M1 3 Mouvement circulaire uniforme : 2) Le vecteur accélération d'un point M en mouvement rectiligne accéléré est :
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des outils mathématiques utiles à la résolution des exercices et des problèmes A titre de 5 4 Le mouvement circulaire uniformément accéléré (MCUA)
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IV- Définition du mouvement rectiligne uniforme MRU VI- Exercices Mouvement circulaire uniforme : M C U
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Pour cet observateur il s'agit simplement d'un mouvement circulaire uniforme ! Longueur de l'astroïde ??? Exercice n° 9 Une particule se déplace
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Voici quelques petits exercices dont les solutions finales se trouvent en fin de fichier Interrogation 4 : Mouvement circulaire uniforme
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Le mouvement rectiligne uniformément varié Le mouvement circulaire À la fin de ce polycopié nous proposons quelques exercices corrigés
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Exercice 1 Exercice 2 Un navire N est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme de vitesse v Un point M décrit une hélice circulaire d'axe Oz
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Un mouvement circulaire uniformément accéléré (MCUA) est caractérisé par une trajectoire circulaire et une accélération angulaire constante L'accélération
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uniformément accéléré d'accélération aa = 20 m · s?2 pendant une durée ta = 30 s ; • uniforme pendant une durée Exercice 13 : Mouvement circulaire
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Exercice 1 : disque Un disque est animé d'un mouvement de rotation uniforme lui fait subir un mouvement circulaire uniformément accéléré
3ème os CINEMATIQUE VECTORIELLE Théorie
P. Rebetez/MCUA.doc/17.9.2007 1 MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT ACCELERE (MCUA)Définition
Un mouvement circulaire uniformément accéléré (MCUA) est caractérisé par une trajectoire
circulaire et une accélération angulaire constante.L'accélération centripète
Dans un MCU, rappelons que le vecteur accélération est toujours de norme constante et dirigé
vers le centre de la trajectoire, raison pour laquelle on l'appelle accélération centripète (
r a C). L'horaire de ses coordonnées polaires est donné par :πωθωtraCaC
2 Dans le cas d'un mouvement circulaire où la norme du vecteur vitesse n'est pas constante,cette accélération centripète existe aussi. En effet, on vérifie facilement que la démonstration
qui a permis d'obtenir l'horaire ci-dessus reste valable dans ce cas. L'accélération centripète
est due à une variation de l'orientation du vecteur vitesse au cours du temps et non à une variation de sa norme.Cependant, dans le cas d'un MCUA, nous allons montrer qu'à cette accélération centripète,
s'ajoute une accélération tangentielle due à une variation de la norme du vecteur vitesse au
cours du temps.L'accélération tangentielle
Dans un MCUA, l'accélération angulaire est constante et est donc égale à son accélération
moyenne qui par définition vautαm=Δω
Δt≡ω2-ω1
Δt. En exprimant la vitesse angulaire en
fonction de la vitesse linéaire par la relationω=v
r, on obtient :αm=
v2 r-v1 r Δt =1 rv2-v1 Δt ≡1 rΔv Δt aTm{3ème os CINEMATIQUE VECTORIELLE Théorie
P. Rebetez/MCUA.doc/17.9.2007 2 où le terme
Δv Δt ci-dessus est une accélération due à la variation de la norme du vecteurvitesse au cours du temps. Le vecteur vitesse étant toujours tangent à la trajectoire, il en va de
même pour la direction de cette accélération, raison pour laquelle on l'appelle accélération
tangentielle moyenne, que l'on note aTm. On peut ainsi écrire :αm=1
raTmL'accélération angulaire moyenne
αm est égale à l'accélération angulaire instantanée α (celle-ci étant supposée constante dans un MCUA). D'après l'équation ci-dessus, il en va de même
pour les accélérations tangentielles moyenne et instantanée. L'équation ci-dessus reste donc
valable pour les accélérations instantanées :α=1
raT ou encore : aT=rαOn reconnaît la même relation de proportionnalité valable pour les deux autres variables
angulaires que sont la position angulaire (ou orientation)θ et la vitesse angulaire ω. Ci-
dessous sont récapitulées les relations entre les grandeurs cinématiques linéaires et angulaires
du mouvement circulaire : l=rθ v=rω aT=rαLe vecteur accélération dans un MCUA
D'après ce qui précède, le vecteur accélération dans un MCUA est la somme du vecteur accélération centripète r a C (dirigé vers le centre de la trajectoire circulaire) et de l'accélération tangentielle r a T (tangent à la trajectoire) (c.f. fig. ci-contre) : r a =r a C+r a T On voit sur la figure ci-contre que l'on obtient par le théorème dePythagore, la norme du vecteur
r a en fonction de celles des vecteur r a C et r a T : a=aC2+aT2
=rω2( )2+rα( )
2 =rω4+α2 r a P r a C r a T3ème os CINEMATIQUE VECTORIELLE Théorie
P. Rebetez/MCUA.doc/17.9.2007 3 De plus, l'orientation θa du vecteur r a est égale à l'orientation du vecteur r a T (qui est égale à l'orientation θvdu vecteur vitesse) à laquelle il faut ajouter l'angle (aigu) ? formé par les vecteurs r a et r a T :θa=θv+?
=ωt+π/2+? où ?=arctanaC a TOn obtient finalement :
θa=ωt+arctanaC
a T ) ) ) +π/2 Les coordonnées polaires du vecteur accélération dans un MCUA sont donc données par : a=rω4+α2θa=ωt+arctanaC
a T ) ) ) +π/2Horaires des variables angulaires
θ, ω et α
Rappelons que dans un MRUA, les horaires du déplacementΔx, de la vitesse v et de
l'accélération a, sont donnés par :Δx=v0t+
1 2at2 v=v0+at a=cte Ces horaires restent valables pour les grandeurs cinématiques tangentielles ( l, v et aT) dans le cas d'un mouvement curviligne : l=v0t+ 1 2aTt2 v=v0+aTt a T=cte En substituant dans ces équations, les relations trouvées précédemment :3ème os CINEMATIQUE VECTORIELLE Théorie
P. Rebetez/MCUA.doc/17.9.2007 4
l=rθ v=rω aT=rα on obtient :θ=θ0t+1
2αt2
ω=ω0+αt
α=cte
où le sens dans lequel θ est positif, est le même que celui où ω et α sont positifs. Les dernières équations ci-dessus sont l'analogue pour les variables angulaires du MCUA, deséquations horaires du MRUA.
Remarques
Les différentes relations obtenues dans ce chapitre montrent que dans un MCUA : • La norme de l'accélération centripète r a C dépend du temps. • La norme de l'accélération tangentielle r a T est constante. • La norme de l'accélération r a =r a C+r a T dépend du temps. • Les orientations de ces trois vecteurs dépendent du temps.quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] mouvement d une voiture
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