[PDF] Simulation numérique des mouvements orbitaux

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Projet de Physique P6

STPI/P6/2015-046

Simulation numérique des

mouvements orbitaux

Étudiants :

Rachel BLIN

Maxime JUMELLE

Colette PONCHELMédéric DOUSSELIN

Savinien PERTANT

Noël ZABLOCKIEnseignant responsable

Jérôme YON

Date de remise du rapport :15/06/15

Référence du projet :STPI1/P6/2015 - 046

Intitulé du projet :Simulation numérique des mouvements orbitaux

Type de projet :Calcul, modélisation

Objectifs du projet :

Il s"agissait d"étudier et simuler différents mouvements orbitaux, tout en comprenant les méthodes utilisées par les scientifiques qui étudient ces mouvements. Nous avions aussi pour objectif d"utiliser des méthodes différentes pour aboutir au résultat en fonction du

problème, c"est à dire de résoudre analytiquement le problème quand c"est possible ou bien

utiliser une méthode numérique avec le logiciel Scilab quand les équations ne peuvent être

résolues à la main. Enfin, nous devions aussi présenter des applications de tels calculs dans

le domaine de l"astronomie.1.INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUÉES DEROUEN DÉPARTEMENTSCIENCES ETTECHNIQUESPOUR L"INGÉNIEUR

685 AVENUE DE L"UNIVERSITÉBP 08- 76801 SAINT-ETIENNE-DU-ROUVRAY

TÉL: 33 2 32 95 66 21 - FAX: 33 2 32 95 66 312

Table des matières

Notations5

Introduction6

1 Méthodologie, organisation du travail

7

2 Calcul de la trajectoire d"un corps en fonction de son énergie mécanique

8

3 Les frondes gravitationnelles

11

3.1 Définition de l"effet de fronde.

11

3.2 L"équation polaire de la trajectoire

11

3.3 Calculs des valeurs de e et p

12

3.4 Calcul de l"angle de déviation

13

3.5 Exemple de calcul de la trajectoire

14

4 Problème à deux corps:les exoplanètes15

4.1 Définition et méthodes de détection des exoplanètes.

15

4.2 Détail du calcul de la résolution du problème à deux corps.

15

4.2.1 Détermination deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

4.2.2 Détermination dee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

4.2.3 Détermination deV0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

4.2.4 Retour à un problème à deux corps

18

4.3 Calcul de la période du problème à 2 corps et application

18

4.4 Application à la détection d"exoplanètes

19

5 Problème à trois corps

21

5.1 Résolution

21

5.1.1 Application du principe fondamental de la dynamique

21

5.1.2 PFD surM1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

5.2 Modélisation

22

Conclusion et perspectives

24

Bibliographie27

A Documentation technique

28
A.1 Détail du calcul de la trajectoire en fonction de l"énergie mécanique d"un sys- tème. 28

A.2 Problème à trois corps

31
A.2.1 PFD surM1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 A.2.2 PFD surM2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 A.2.3 PFD surM3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 3

TABLE DES MATIÈRES

A.3 Détermination deepour les exoplanètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 A.4 Calcul de l"amplitude a pour les exoplanètes 32
A.5 Evolution deen fontion du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 A.6 Calcul de la vitesse pour les frondes gravitationnelles 32 4

Notations et Acronymes

Cette partie a pour but d"introduire les bases du problème que nous allons résoudre tout

le long de cette étude, et de fixer certaines notations. Pour cela, nous étudierons différents

systèmes dans l"espace. Les systèmes que l"on va résoudre seront chacun schématisés dans leur partie respective. Leur référentiel est notéR. On noteM1etM2, les positions respectives de chacun des deux corps, et de la même façonm1etm2leurs masses. Puisque dans le problème des exoplanètes

on aura besoin de poser un point fictif, M, pour se ramener à la résolution d"un problème à

un seul corps, on pose r la distance entre le centre de gravité du système, G, et le point fictif

M et L la distance entreM1etM2. La masse fictive du point M, qui s"exprime en fonction des massesm1etm2des deux corps du système, est notéeet a pour valeur : =m1m2m 1+m2 La vitesse du corps 1 par rapport au référentielRest notéeV(M1=R)ou encoreV1, les notations suivent la même logique pour le corps 2 ainsi que pour le corps fictif qui servira

à résoudre le système.F12est la force d"attraction gravitationnelle exercée par le corps 1 sur

le corps 2, et a pour formule : F

12=Gm1m2r

2!u Dans cette formule, G est la constante gravitationnelle, et !ule vecteur allant deM1versM2.

On utilisera pour la résolution du système la formule de l"anomalie vraie qui est la suivante :

r=p1+ecos() Ici,ereprésente l"excentricité de l"ellipse et p le paramètre de l"ellipse.

Pour la résolution du système d"une exoplanète, on aura recours à la formule de Binet rela-

tive à l"accélération qui est : a=c2u2[u+d2ud 2]!ur

On au=1r

et c la constante des airs qui vautr2_. 5

Introduction

Tout au long de ce semestre, nous avons élaboré ce projet ayant pour thème la simula- tion des mouvements orbitaux. Ce thème couvre un domaine très vaste, ce pourquoi dès

la première séance nous avons commencé par réfléchir tous ensemble afin de déterminer

quelles étaient les applications que nous pouvions traiter. Nous avons ainsi ciblé le domaine dans lequel nous voulions travailler. D"un commun accord, nous avons trouvé qu"il serait Deux thèmes actuels sont rapidement sortis du lot : les exoplanètes et l"effet de fronde gravitationnelle, qui en plus étaient des cas abordables compte tenu de notre niveau de connaissance. En effet, de nos jours les connaissances scientifiques et les moyens d"obtenir des informations ont considérablement évolué. Nous sommes capables de déterminer de

nombreuses caractéristiques sur des planètes situées à des années-lumières, et d"envoyer

des sondes ou autres objets dans l"espace tout en contrôlant leur trajectoire par rapport aux objets cosmiques. Nous nous sommes donc tournés vers la résolution de problèmes à deux

le cas des frondes gravitationnelles, il s"agit d"étudier la déviation de la trajectoire d"un corps

lorsqu"il passe à proximité d"un autre dans l"espace, phénomène que les physiciens utilisent

lors du lancement de satellites dans l"espace. En revanche, dans le cas des exoplanètes nous sommes confrontés à un corps en orbite autour d"un autre, lui induisant un mouvement de rotation; mouvement qui permet aux physiciens de les détecter dans l"espace.

avaient pour même point de départ le calcul de l"énergie mécanique explicité dans ce rap-

port. Cette cohérence dans notre projet nous a encouragé à continuer dans ces voies. Après

projet. Nous voulions principalement résoudre les problèmes à deux corps des exoplanètes

et des frondes, dans l"idée de les simuler, et surtout de comprendre les méthodes appliquées

par les scientifiques spécialisés pour en découvrir plus sur notre univers et pour concrétiser

la " conquête spatiale ». Cependant, les problèmes que nous avons résolu se rapprochaient

beaucoup de la mécanique que nous avons étudié jusqu"à présent. C"est pourquoi nous nous

avons décidé d"aller encore plus loin et de résoudre un problème à trois corps. Nous avons

donc relevé le défi d"y répondre car actuellement la résolution de problèmes à trois corps et

plus pose encore beaucoup de difficultés aux physiciens. Ainsi, au-delà des phénomènes physiques concrets que nous avons voulu comprendre et modéliser, nous avons exploré une nouvelle facette de la mécanique en se penchant sur un problème qui est une parfaite illustration des limites de la mécanique actuelle. La simu-

lation a ensuite pris une place importante dans le projet, à ce moment, il a été question de

concrétiser notre travail. 6

Chapitre 1

Méthodologie, organisation du travail

Pour travailler efficacement tout au long du semestre, nous avons divisé notre groupe en deux sous groupes afin que chacun d"entre eux traite un thème différent. Noël, Savinien et

Médéric ont travaillé sur les frondes gravitationnelles tandis que Colette, Maxime, Savinien

et Rachel ont travaillé sur les exoplanétes. Chacun a pu participer à la résolution d"un ou

plusieurs problèmes et apporter du contenu au projet. D"autres tâches ont été réparties au

sein du groupe. Savinien, Noël et Médéric ont réalisé les modélisations d"une fronde gravi-

tationnelle, ainsi que celles de trois corps à l"aide du logiciel SciLab. Maxime a réalisé des

simulations de qualité avec le logiciel Unity 3D. Rachel et Colette se sont chargées de rédiger

le rapport en Latex.7

Chapitre 2

Calcul de la trajectoire d"un corps en

fonction de son énergie mécanique Dans cette partie, nous allons expliquer les grandes étapes du calcul de la trajectoire d"un

corps en fonction de l"énergie mécanique du système. Les calculs détaillés se trouvent en an-

nexe du dossier.FIGURE2.1 - Schéma de deux corps dans l"espace Pour résoudre ce problème on part de la formule de l"attraction gravitationnelle du corps

2 sur le corps 1 et on obtient le résultat suivant :

F

12=dEpdr

!u12(1)(2.1)

Ici,Ep(r) =kr

est l"énergie potentielle d"intéraction. k est une constante qui dépend du est répulsive. En remplaçant la valeur deEp(r)dans l"équation(1), on obtient une nouvelle 8 CHAPITRE 2. CALCUL DE LA TRAJECTOIRE D"UN CORPS EN FONCTION DE SON ÉNERGIE MÉCANIQUEexpression deF12qui est : F 12=kr

2(2.2)

En exprimantdEPen fonction des forces d"attraction gravitationnelles et des vecteurs!OM1 dEP=d(12 m1v12)d(12 m2v22)(2.3)

En passant toute l"expression du même côté de l"égalité, on se rend compte que la dérivée

de l"expression est nulle, on en déduit que l"expression est constante, et on pose la notation suivante :

Em=Ep+12

m1v12+12 m2v22=cte(2)(2.4) On définit G le barycentre du système, et on en déduit quem1!GM1+m2!GM2= 0, et on obtient une expression du vecteur!M1M2en fonction du centre de gravité du système et des masses des 2 corps :!M1M2=m1+m2m

1!GM2(3)(2.5)

Une autre façon d"exprimer la force d"attraction gravitationnelle entre deux corps est de l"exprimer en fonction de la dérivée seconde de la distanceOM1en fonction du temps, soit :

F12=d2!OM1dt

2(2.6)

En injectant l"expression obtenue dans l"équation(3)on obtient une autre expression de la force d"intéraction gravitationnelle qui est :

F21=d2!rdt

2(2.7)

On appellela masse réduite du système, et qui a pour expression=m1m2m 1+m2. On reprend maintenant l"expression de l"énergie mécanique obtenue dans l"équation(2), et introduit l"expression!GM1=m2m

1+m2!rainsi qu"une expression similaire pour!GM2, et en

l"injectant dans l"équation(2)on obtient une nouvelle expression de Em : Em=12 (d!rdt )2+Ep(r)(2.8) qui a pour expression simplifiée après calcul :

G=!r^d!rdt

(2.9) Lorsque l"on calcule la dérivée du moment cinétique, on remarque qu"elle est nulle, ce qui

nous permet de conclure qu"il est constant, et on pose pour la suite du problème que!G=!o=!cte. On retrouve la valeur deogrâce à la loi des aires :

o=r2_(2.10) On remplace la valeur deoobtenue dans l"expression de l"énergie mécanique. En dérivant

la nouvelle expression, on trouve que la dérivée de l"énergie mécanique est nulle. On obtient9

CHAPITRE 2. CALCUL DE LA TRAJECTOIRE D"UN CORPS EN FONCTION DE

SON ÉNERGIE MÉCANIQUEpar la même occasion une équation différentielle. La résolution de l"équation différentielle

nous permet de trouver le résultat suivant : 1r =k

2o+Acos(o)(2.11)

On décide de se placer l"origine du repère, ainsio= 0. De plus, on aA=ep

Si k<0, alorsk

2o=1p , donc1rquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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