[PDF] Mouvement dune particule dans un champ magnétique uniforme

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Chapitre 2

Mouvement d"une particule dans un champ magnétique uniforme : les niveaux de Landau Sommaire1 Le mouvement cyclotron classique . . . . . . . . . . . .2

1-1 Mouvement circulaire uniforme . . . . . . . . . .

2

1-2 Le courant de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Le spectre d"énergie en physique quantique . . . . . .

3

2-1 Le spectre obtenu par la méthode algébrique . . .

3

2-2 États et énergies propres en jauge symétrique . .

4

2-3 Le niveau de Landau fondamental (LLL) . . . . .

6

2-4 Dégénérescence du LLL. . . . . . . . . . . . . . .

8

3 Jauge de Landau et courant de probabilité . . . . . . . .

8

3-1 Séparation de l"hamiltonien en jauge de Landau .

8

3-2 Le spectre de Landau retrouvé . . . . . . . . . . .

9

3-3 Courant de probabilité dans un état de Landau .

10

3-4 L"originalité de la structure en niveaux de Landau

10

4 États de bord et applications . . . . . . . . . . . . . . . .

11

4-1 Modélisation d"un échantillon de taille finie . . .

11

4-2 Les états de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

4-3 Le courant de bord pour des fermions àT= 0. .13

4-4 Circuiterie à effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4-5 Un interféromètre de Mach-Zender électronique

16 4-6 États de bords avec des atomes froids? . . . . . .17

5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 Ce chapitre est consacré à un problème essentiel dans l"étude du ma-

gnétisme, le mouvement d"une particule chargée dans un champ ma- gnétique uniforme. Après avoir rappelé brièvement les résultats obtenus en physique classique (dynamique newtonienne), nous passerons au cas quantique, que nous traiterons de plusieurs manières correspondant à dif- de Landau pour les sous-espaces propres de l"hamiltonien; nous verrons que ces niveaux ont une dégénérescence macroscopique, qui croît linéai- rement avec l"aire de l"échantillon. Nous nous intéresserons tout particu- lièrement au niveau de Landau fondamental (LLL pourLowest Landau Le- d"états propres. La dernière partie du chapitre sera consacrée à quelques effets phy- siques particulièrement importants qui apparaitront comme une consé- quence directe de cette quantification en niveaux de Landau. Nous déga- gerons en particulier la notion d"état de bord, qui joue un rôle central dans la physique de l"effet Hall quantique. Nous illustrerons cette notion en dé- crivant une expérience d"interférométrie entre deux circuits électroniques 1

MOUVEMENT D"UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE UNIFORME:LES NIVEAUX DELANDAU§1. Le mouvement cyclotron classiquemenée par Ji et al. (2003). Enfin, nous présenterons une proposition d"expé-

rience permettant de mettre en évidence ces états de bord pour des atomes froids confinés dans un réseau optique (Goldman et al. 2013).

1 Le mouvement cyclotron classique

1-1 Mouvement circulaire uniforme

Quand une particule de masseMet de chargeq, décrite par la physique newtonienne, est plongée dans un champ magnétique, son mouvement s"analyse en résolvant l"équation fondamentale de la dynamiqueMr=FL oùFLest la force de Lorentz [voir par exemple Jackson (1998), chapitre 12] : F

L=qvB:(2.1)

Prenons le champBaligné avec l"axez,B=Buz. Le mouvement se- lon l"axezest alors un mouvement de translation uniformez= 0et nous pouvons restreindre notre analyse au mouvement projeté dans le planxy. Dans ce plan, l"équation du mouvement s"écrit : M _v=qvB: x=!c_y;y=!c_x;(2.2) où on a introduit lapulsation cyclotron c=qBM :(2.3) Le système différentiel à deux équations (2.2) se résout simplement en x(t) =X0v0! ccos(!ct); y(t) =Y0+v0! csin(!ct);(2.4) ce qui correspond à un mouvement circulaire uniforme de pulsation!c, parcouru dans le sens des aiguilles d"une montre si!c>0. Dans (2.4), l"origine des temps a été choisie à un instant où le vecteur vitesse est pa- rallèle à l"axey. Le centre(X0;Y0)de ce cercle est quelconque, et son rayon vaut r

0=v0=!c:(2.5)

BB FFIGURE2.1.Gauche : orbite cyclotron dans un champ magnétique uniforme. Droite : mouvement de dérive le long deyen présence d"une force extérieureF parallèle à l"axex. Cette relation se retrouve en égalant force de Lorentz et force centrifuge : qv

0B=Mv20=r0.

L"invariance par translation du problème est manifeste sur le résultat général (2.4) : pour une vitesse initiale donnée, les paramètres de la trajec- toire circulaire (rayon et pulsation) seront les mêmes quelle que soit la po- sition initiale dans le plan. On peut donc considérer que le fait d"appliquer un champ magnétique sur la particule revient à la localiser dans l"espace des phases associé au mouvement dans le planxy, sa position et sa vitesse étant confinées dans une région centrée en(X0;Y0)et d"extension [rp]2[r0(Mv0)]2avecr0=v0=!c:(2.6) Pour une vitesse initialev0donnée, cette région est d"autant plus faible que le champ magnétiqueBest grand. La mécanique quantique, avec sa contrainte liée à l"inégalité de Heisenbergripi~=2(i=x;y), va venir modifier ce résultat simple.

Cours 2 - page 2

MOUVEMENT D"UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE UNIFORME:LES NIVEAUX DELANDAU§2. Le spectre d"énergie en physique quantique1-2 Le courant de Hall

Supposons maintenant qu"une force uniformeF, indépendante de la position et de la vitesse, vient s"ajouter à la force de LorentzFL. Cette force peut par exemple être créée par un champ électrique uniforme. Pour sim- plifier les notations, prenons cette force parallèle à l"axex:F=Fux. Cette force ne change pas le caractère uniforme du mouvement selonzet l"équa- tion du mouvement projetée sur le planxydevient

Mx=qB_y+F; My=qB_x:(2.7)

En absence de champ magnétique, l"effet de la force est bien sûr d"accélérer la particule le long de l"axex. En présence de champ magnétique, la nature du mouvement change radicalement. La solution générale de l"équation du mouvement (2.7) est x(t) =X0v0! ccos(!ct); y(t) =Y0+v0! csin(!ct)FqB t:(2.8) Cette solution représentée en figure 2.1 correspond à la composition du mouvement cir culaireuniforme corr espondantau mouvement cy- clotron trouvé en l"absence de forceF, du mouvement de translation uniforme (mouvement de dérive) à vi- tesseF=(qB), dans la directionyperpendiculaireà la forceF. Quand la forceFest due à un champ électrique extérieur (F=qE), ce mouvement de dérive est appelécourant de Hall.

2 Le spectre d"énergie en physique quantique

Avant de passer à la description quantitative du mouvement d"une par- ticule chargée dans un champ magnétique, on peut utiliser les résultats classiques précédents en les associant à l"inégalité de Heisenberg pour pré- voir les échelles de position et de vitesse du problème. Partons de la rela- tion entre position et vitesse indiquée en (2.5),!cr0=v0; en utilisant le fait que dans un état fondamental du mouvement quantique, on a en général Mxv~;(2.9)on en déduit les échelles de longueur et de vitesse pertinentes pour une orbite cyclotron en physique quantique : `=r~ M! c=s~ qB ; vm=r~!cM :(2.10) La longueur`est appeléelongueur magnétique. Pour un électron libre1dans un champ magnétique de 1 Tesla, on trouve!c=2= 28GHz,`26nm et v m4000m/s. Il existe de multiples chemins pour passer au stade quantitatif et trou- ver les énergies et les états propres de l"hamiltonien d"une particule dans un champBuniforme :

H=(^pqA(^r))22M;avecrA=Buz:(2.11)

Une des raisons de cette grande variété de techniques réside dans l"inva- riance de jauge : des potentiels vecteursAa prioritrès différents (jauge de Landau ou jauge symétrique par exemple) peuvent donner lieu à des cal- culs eux aussi éloignés, même si ils conduisent au final au même spectre d"énergie et aux mêmes sous-espaces propres. Dans la mesure où nous au- rons besoin de ces techniques pour décrire des situations plus complexes dans la suite du cours (en présence d"un potentiel extérieur par exemple), nous allons maintenant les passer en revue.

2-1 Le spectre obtenu par la méthode algébrique

Cette méthode permet de trouver le spectre de l"hamiltonien sans faire de choix de jauge particulier. Considérons pour commencer l"opérateur hermitienquantité de mouvement: j= ^pjqAj(^r); j=x;y;^p=i~r;(2.12) avec lequel on peut réécrire l"hamiltonien

H=12M^2x+^2y

(2.13)1. Pour un électron dans la bande de conduction de GaAs, la masseMet donc la pulsation cyclotron!csont considérablement modifiées :Mb0:07M. Pour une discussion détaillée, incluant les effets magnétiques de spin, voir par exemple Eisenstein (2005).

Cours 2 - page 3

MOUVEMENT D"UNE PARTICULE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE UNIFORME:LES NIVEAUX DELANDAU§2. Le spectre d"énergie en physique quantiqueContrairement à ce qui se passe pour les deux composantesx;yde l"opé-

rateur position ^rou de l"impulsion^p, les deux composantes de l"opérateur^ne commutent pas : ^x;^y] = i~qB:(2.14) La recherche des états propres de(^2x+^2y)=2M, sachant que le com- mutateur de ces deux opérateurs hermitiens est une constante, est un pro- blème très similaire à celui de la diagonalisation de l"hamiltonien d"un os- cillateurharmonique(^P2+^X2)=2avec[^X;^P] = i. Nousallons doncutiliser une méthode similaire à celle développée par Dirac pour résoudre le pro- blème de l"oscillateur harmonique. Introduisons les deux opérateurs annihilation et création ^a=1p2~qB^x+ i^y ;^ay=1p2~qB^xi^yquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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