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DERNIÈRE IMPRESSION LE11 janvier 2014 à 16:55

Chapitre 7

Quantité de mouvement etmouvements de planètes

Table des matières

1 La quantité de mouvement2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Conservation de la quantité de mouvement, propulsion par réaction2

2 Mouvement d"une planète autour du Soleil3

2.1 Expression de la vitesse de la planète. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Période de révolution de la planète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3 Les lois de Képler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

PAUL MILAN1 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALES

1 LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT

1 La quantité de mouvement

1.1 Définition

Définition 1 :Soit un système de massemet de vecteur vitesse?v, on appelle quantité le mouvement du système, le vecteur ?pdéfini par : p=m?v Variation de la quantité de mouvement :Lorsque le système possède une masse constante, on a :d?p dt=md?vdt

1.2 Conservation de la quantité de mouvement, propulsion par

réaction Leprincipe d"inertiepeut s"exprimer comme :∑--→Fext=-→0?d?pdt=-→0 Dans un système isolé, la quantité de mouvement se conserve. Expérience :Un patineur sur glace se tient immobile sur la patinoire avec un ballon dans les mains. À l"instantt=0, le patineur lance le ballon de massemb avec une vitesse horizontal?vb. Le patineur de massemppart alors dans l"autre sens avec une vitesse ?vp. Explication :Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen. On considère le système composé du patineur et du ballon. On néglige les forces de et l"action de la piste sur les patins. Ces deux forces se compensent, le système est donc pseudo-isolé. D"après le principe d"inertie, la quantité demouvement?pse conserve. •Avantt=0 s, le patineur et le ballon sont immobiles donc :-→p=-→0 •Aprèst=0 s, on a :?p=mb?vb+mp?vp Comme la quantité de mouvement se conserve :mb?vb+mp?vp=-→0

On projettant sur un axe horizontal, on a :

m bvb+mpvp=0?vp=-mb mpvb Le patineur part bien dans le sens contraire du ballon. Comme la masse du bal- lon est beaucoup plus petite que la masse du patineur, la vitesse de celui-ci est beaucoup plus petite que la vitesse du ballon. Remarque :La conservation de la quantité de mouvement explique ainsi le recul d"une arme à feu ainsi que la propulsion d"une fusée.

PAUL MILAN2 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALES

2 Mouvement d"une planète autour du Soleil2.1 Expression de la vitesse de la planètePour étudier le mouvement d"une pla-nète autour du soleil, on se situe dansunréférentiel héliocentriqueconsi-

déré comme galiléen.

On suppose que la trajectoire de la pla-

nète est uncercle1de centre O et de rayond.

Pour étudier le mouvement, on prend

unrepère de Frenet( O",-→N,-→T).

La planète n"est sousmis qu"à une seule

force, laforce de gravitationdu Soleil.

On pose :ms: masse du Soleil

m p: masse de la planète O? O"

Soleil

-→N-→

T-→F

d ?v Comme le référentiel héliocentrique est considéré comme galiléen, et que la seule force en présence est la force de gravitation, d"après le PFD, on a : -→F=mp?a?Gmpms d2-→N=mp?a??a=Gmsd2-→N Comme la force de gravitation est dirigé vers le centre du Soleil, l"accélération est normale et donc l"accélération tangentielle est nulle. On endéduit donc que : d ?v dt=0. La vitesse est donc constante et donc le mouvement de la planète est un mouvement circulaire uniforme. Dans un mouvement circulaire uniforme, l"accélération vaut :a=v2 d. On en déduit alors que : Gm s d2=v2d?v=? Gms d

2.2 Période de révolution de la planète

SoitTla période de révolution de la planète autour du soleil. Comme durantla périodeT, la planète parcourt la circonférence du cercle de rayondà la vitesse constantev, on a : v=2πd T?? Gms d=2πdT?T=2πd? d

Gms=2π?

d3 Gms Remarque :On constate que le carré de la période de révolution est proportion- nelle au cube du rayon du cercle (troisième loi de Képler)

1. en réalité, il s"agit d"une ellipse très proche d"un cercle

PAUL MILAN3 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALES

2 MOUVEMENT D"UNE PLANÈTE AUTOUR DU SOLEIL

2.3 Les lois de Képler

Lois de Képler

•1reloi :Les planètes décrivent autour du Soleil des orbites elliptiques dont le

Soleil occupe un des foyers.

•2eloi :Le segment qui relie le Soleil et la planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. •3eloi :Les carrés des périodes de révolution sont proportionnels aux cubes des demi-grands axes des orbites : T 2 a3=constante avec?T: période de révolution a: demi-grand axe de l"ellipse

Remarque :L"aire comprise entre A1et

A

2est égale à l"aire comprise entre B1et

B 2.

La relation de la 3

eloi revêt une impor- tance que n"avait pas prévue Képler : elle permet de peser les corps (car la constante est inversement proportion- nelle à la masse du corps central, ici le

Soleil)

S? F"A 1A 2B1 B 2 2a ?visualisation du mouvement d"une planète sur son orbite elliptique

2.4 Application

La Terre est assimilé à une sphère homogène de masse MT, de centre T et de rayon R

T=6 380 km.

La période de rotation de la Terre sur elle-même dans le référentiel géocentrique appelée jour sidéral vautT=86 164 s. On considére que le champ de pesanteur terrestre ?g0au niveau du sol est égal à G

0champ de gravitation à la surface de la Terre etG0=9,80 N.kg-1

I - Pour lancer un satellite et le mettre sur orbite, on utilise une fusée. Cette fusée de centre d"inertie I, de massem=300 tonnes, est propulsée vertica- lement à partir du sol terrestre. Ses moteurs exercent une force de poussée de valeur F=4,30×106N. Dans un référentiel à préciser, établir l"expression de l"accélération initiale de la fusée si l"on néglige l"effet des forces de frottement. Calculer sa valeur numérique. II - La fusée amène en quelques minutes le satellite hors de l"atmosphère et après passage sur une orbite de tranfert, la satellite se retrouve sur son or- bite circulaire.

PAUL MILAN4 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALES

2.4 APPLICATION

1) Faire un schéma (sans respecter l"échelle) sur lequel apparaîtra le vecteur

champ de gravitation terrestre-→Gen I.

2) Montrer que l"expression de la valeur de ce champ de gravitationG(h)à

l"altitudehpeut se mettre sous la forme :

G(h) =g0R2T

(RT+h)2

Faire une application numérique pourh=820 km.

3) Montrer que dans le référentiel géocentrique, le mouvement de cesatel-

lite est uniforme.

4) Établir l"expression de la vitesse de ce satellite sur son orbiteainsi que

celle de sa période, en fonction deg0, RTeth. III - La fusée peut libérer plusieurs types de satellites artificiels,les données re- latives à 2 de ces satellites figure dans le tableau c-dessous :

MétéosatSpot

Altitudehen km35 800820

PériodeTen min1 436

Vitesseven m.s-1

1) Calculer les valeurs manquantes du tableau.

2) L"undesdeuxsatellitesestditgéostationnaire.Indiquerlequeletjustifier

la réponse.

3) Expliquer pourquoi la trajectoire de ce satellite géostationnaireest néces-

sairement dans le plan équatorial I - Comme la fusée au démarage se trouve sur le sol terrestre et que la période de décollage dure peu de temps, on se trouve dans les conditions de labo- ratoire, le référentiel terrestre peut donc être considéré comme galiléen. Comme la fusée décolle verticalement, les forces en présence, le poids et la poussée de la fusée, sont situées sur la verticale du lieu. On a alors le schéma ci-contre. D"après le PFD, on a : --→Fext=m?a?-→F+-→P=m?a ?I -→F P Terre On projette sur l"axe vertical orienté vers le haut

F-P=ma?a=F-P

m=F-mg0m=Fm-g0 a=4,30×106

300×103-9,80=4,53 m.s-1

II - 1) On a le schéma suivant :

PAUL MILAN5 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALES

2 MOUVEMENT D"UNE PLANÈTE AUTOUR DU SOLEIL

T? I Terre -→N-→

Tm-→G

h R T ?v

2) En égalisant la force de gravitation avec la force de pesanteur, on a :

G MTm (RT+h)2=mG(h)

G(h) =GMT

(RT+h)2 org0=G(0) =GMT

R2TdoncGMT=g0R2T

G(h) =g0R2T

(RT+h)2

G(820×103) =9,80×63802

(6380+820)2=7,69 m.s-2

3) Dans le repère géocentrique, on étudie le système dans le repèrede Fre-

net. Comme la seule force en présence, la force de gravitation, est nor- male, l"accélération tangentielle est nulle et donc d?v dt=0. Le mouvement du satellite est donc un mouvement circulaire uniforme.

4) Dans un mouvement circulaire uniforme, l"accélération normaleG(h)

obéit à la relation :

G(h) =v2

RT+h?v=?G(h)(RT+h) =?g0R2T

RT+h

On trouve alors pour Spot :v=7 443 m.s-1

On a la relation entre la vitessevet la période de révolutionTsuivante : v=2π(RT+h) T?? g0R2T

RT+h=2π(RT+h)T?T=2π?

(RT+h)3 g0R2T

On trouve alors pour Spot :T=6 078 s

PAUL MILAN6 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALES

2.4 APPLICATION

III - 1) On obtient le tableau ci-dessous :

MétéosatSpot

Altitudehen km35 800820

PériodeTen min1 436101

Vitesseven m.s-13 0757 443

2) Pour savoir si un satellite est géostationnaire, il faut connaîtresa période

de révolution en seconde et la comparer au jour sidéral 86 164 s.

Pour Météosat : 1 436×60=86 160 s

Météosat est donc géostationnaire.

3) Si un satellite est géostationnaire, son axe de révolution doit être l"axe de

rotation de la Terre et comme le satellite tourne dans un plan passantpar le centre de la Terre, le satellite se trouve donc dans le plan équatorial. ?Animation d"un satellite géostationnaire

PAUL MILAN7 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALES

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