[PDF] Les processus AR et MA c cos(?h)d? = 0

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Les processus AR et MA

MAP-STA2 : Séries chronologiques

Yannig Goude yannig.goude@edf.fr

2020-2021

Contents

Théorème de représentation de Wold 1

Représentation spectrale2

Opérateurs retard et avance 5

Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Inversion de polynômes enL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Processus auto-régressif (AR) 7

Processus moyennes mobiles (MA) 10

Processus autorégressifs moyennes mobiles (ARMA) 13 Identification et estimation de modèles ARMA 15

Théorème de représentation de WoldCe théorème motive les résultats présentés dans ce chapitre. Nous n"en ferons pas la démonstration pour des

raisons de temps. théorème soit(Xt)t?Z)un processus centré et stationnaire du second ordre, alors on a la décomposition suivante: X t=+∞? j=0ψ jεt-j+Ct, t?Z où •ψ0= 1et?+∞ j=0|ψj|<+∞ •εtest le processus d"innovation deXt •Ctest un processus déterministe

les moyennes mobiles s"avèrent donc intéressantes pour modéliser des processus stationnaires. La question

reste alors l"estimation des coefficientsψ. Nous verrons par la suite que certaines familles de modèles

permettent une représentation parcimonieuse de cette moyenne mobile. 1

Représentation spectraleNous avons jusqu"à présent étudié les processus stationnaires du second ordre dans leur représentation

temporelle. On peut également s"intéresser à leur représentation dans le domaine des fréquences, approche

largement considérée en traitement du signal, en décomposant le processus en composantes périodiques

aléatoires. Considérons, pour simplifier, le cas des moyennes mobiles infinies. X t=? i?Zθ iεt-i,? i?Z|θi|<+∞ etεtest un bruit blanc de varianceσ2.

Ce processus a pour fonction de covariance:

γ(h) =σ2?

i?Zθ iθi-h la sérieγ(h)est absolument sommable (à vérifier). la densité spectrale du processus est la fonction définie par: f(ω) =12π? h?Zγ(h)eiωh,?ω?R cette fonction existe car la série(γ(h)eiωh)h?Zest absolument sommable. D"autre part c"est une fonction réelle carγest paire: f(ω) =12π[γ(0) ++∞? h=1γ(h)(eiωh+e-iωh)] f(ω) =γ(0)2π+1π h=1γ(h)cos(ωh) =12π+∞? h=-∞γ(h)cos(ωh) propriété

connaitre la fonction d"auto-covariance d"un processus est équivalent à connaitre sa densité

spectrale et on a:

γ(h) =?

-πf(ω)cos(ωh)dω=? -πf(ω)eiωhdω preuveà faire propriété soient(Xt)t?Zun processus moyenne mobile infinieXt=? i?Zθiεt-iet(Yt)t?Zle processus défini parYt=? j?ZθjXt-javec? i?Z|θi|<+∞alors on a la relation suivante entre les deux densités spectrales deXetY: f y(ω) =fx(ω)|? j?Zθ jeiωj|2 preuveà faire exemples 2 •bruit blanc: la densité spectrale d"un bruit blanc de varianceσ2est constante et vaut: f(ω) =12π? inversement, siXest un processus stationnaire de densité spectrale constantef(ω) =con a:

γ(h) =?

-πccos(ωh)dω= 0,sih?= 0 ce qui est la définition d"un bruit blanc faible. •moyenne mobile d"ordre 1: MA(1). SoitXt=εt+θεt-1: f(ω) =σ22π(1 +θ2+ 2θcos(ω)) •moyenne mobile infinie: MA(∞). soitXt=? j?Zθjεt-j, on a alors:

γ(h) =σ2?

j?Zθ

2j+|h|

et f(ω) =σ22π|Θ(eiω)|2 avecΘ(z) =?+∞ j=0θjzj,z?C. d"ou:

f(ω) =σ22π1|1-θeiω|=σ22π11 +θ2-2θcos(ω)ci-dessous un exemple de densités spectrales obtenues pour deux processus AR(1), de coefficientsθ= 0.3et

θ= 0.9. Le casθ= 0.9fait clairement apparaitre une prédominance des basses fréquentes.set.seed(131)

n<- 1000
sigma<- 1/2 eps<-rnorm(n,0,sd=sigma) y03<-arima.sim(n =n, list(ar =c(0.3)),innov=eps) y09<-arima.sim(n =n, list(ar =c(0.9)),innov=eps) par(mfrow=c(2,2)) plot(y03,type=?l?,ylim=range(y03,y09)) spectrum(y03,kernel("daniell",c(3,3 ))) plot(y09,type=?l?) spectrum(y09,kernel("daniell",c(3,3 ))) 3 Time y03

02004006008001000

-4 0 4

0.00.10.20.30.40.5

0.1 0.5 frequency spectrum

Series: x

Smoothed Periodogram

bandwidth = 0.00284 Time y09

02004006008001000

-4 0 4

0.00.10.20.30.40.5

0.05 5.00 frequency spectrum

Series: x

Smoothed Periodogram

bandwidth = 0.00284Un autre exemple avec le processus:Xt= 2cos(2πt/10) + cos(8πt/10) +εt: 4

020406080100

-2 0 2 4 Index X1

0.00.10.20.30.40.5

0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 frequency spectrum

Series: x

Smoothed Periodogram

bandwidth = 0.0284Opérateurs retard et avance

Définition

définition

on appelle opérateur retardLl"opérateur qui associe à un processus(Xt)t?Zle processus(Yt)t?Z

tel queYt=LXt=Xt-1. Cet opérateur est: •linéaire •inversible: son inverse estL-1=Ftel queFXt=Xt+1et est appelé l"opérateur avance

De plus on a:

L nXt=Xt-n et p? i=1a iLi)Xt=p? i=1a iXt-i séries en L

on peut définir à l"aide de cet opérateur des séries enL(ouF). Soit un processus stationnaire

(Xt)t?Zet une suite(ai)i?Zde nombres réels absolument sommable? i?Z|ai|<∞, alors le processus défini par: Y t=? i?Za iXt-i= (? i?Za iLi)Xt 5 est stationnaire (voir le cours précédant).

Inversion de polynômes enL

Avec ces notations le processus AR(1)Yt=aYt-1+εt, avec|a|<1s"écrit ainsi:

(1-aL)Yt=εtainsiYt= (1-aL)-1εtet l"écriture moyenne mobile de ce processus peut-être vue comme un problème

d"inversion du polynômex→1-ax. En se rappelant qu"au voisinage de0:

11-ax= 1 +ax+a2x2+...+akxk+...

on a: Y t= (∞? i=0a iLi)εt

Plus rigoureusement,1-aLest une application de l"ensemble des processus stationnaires dans lui même. La

série?∞ i=0aiétant absolument sommable, la série?∞ i=0aiLiest défnie (|a|<1) et nous avons: i=0a iLi)(1-aL) =∞? i=0a iLi-ai+1Li+1=L0= 1

1-aLest donc inversible et son inverse vaut(1-aL)-1=?∞

i=0aiLi. Remarquons que le processus

Xt=?∞

i=0aiYt-iest l"unique processus stationnaire satisfaisant(1-aL)Xt=Ytmais pas le seul processus. En effet, siZest une v.a. quelconque,Zatest solution (non-stationnaire!) de(1-aL)Xt= 0.

Si|a|>1,1-aL=-aL(1-1a

F),-aLest inversible et son inverse est-1a

F. D"autre part, la série?∞

i=01a iFi existe et est l"inverse de1-F/a.

On a donc:

11-aL= (-1a

F)(∞?

i=01a iFi) =∞? i=11a iFi

Dans le cas|a|= 1,1-aLn"est pas inversible. Si par exemplea= 1, tout processus constant est annulé par

l"opérateur1-L, l"application1-Ln"est donc pas injective. Plus généralement, si l"on considère un polynôme:

Φ(z) = 1 +φ1z+φ2z2+...+φpzp

de racineszj= 1/ajde modules supérieurs à 1. Alors on sait qu"il existe une série entièreΨ(z) =?

i?Zψizi telle que i=0|ψi|<∞etΦ(z)Ψ(z) = 1

En appliquant ce résultat aux séries enL,Φ(L) = 1 +φ1L+φ2L2+...+φpLpest inversible et son inverse

estΨ(L). 6 Pour déterminer les coefficientsφion utilisera une des 3 méthodes suivantes:

•expliciter la relationΦ(z)Ψ(z) = 1en identifiant les coefficients de même degré et donc résoudre le

système récursif suivant: 0= 1

1+φ1= 0

2+φ1ψ1+φ2 = 0

p+φ1ψp-1+...+φp-1φ1 +φp= 0 n+φ1ψn-1+...+φp-1ψn-p+1+φpψn-p= 0?n > p •effectuer la division de 1 parΦ(x)selon les puissances croissantes.

décomposer en éléments simples la fraction1/Φ(x), puis on écrit le développement en série de chaun

des termes de la décomposition. Ainsi, si toutes les racinesλideΦsont réelles distinctes on a:

1Φ(x)=1?

p i=1(1-λix)=p? i=1a i1-λix=p? i=1a i∞ j=0λj izj=∞? j=0[p? i=1a iλj i]zj

L"inverse deΦexiste dès que ses racines sont de module différent de 1. En effet, supposons que lesrpremières

racines soient de module supérieur à 1 et que lesp-rdernières de module inférieur à 1, on a de même que

pour1-aL:

Φ(L) =p?

i=1(1-λiL) =r? i=1(1-λiL)p? i=r+1(1-Aλ iF)p? i=r+1(-λiL) Soit:

Φ(L) = Φ1(L)Φ2(F)λLp-r

1etΦ2sont inversibles (racines de module >1) doncΦ(L)est inversible et son inverse vaut:

1Φ(L)=1Φ

1(L)1Φ

2(F)1λ

Fp-r

Processus auto-régressif (AR)

définition on appelle processus autorégressif d"ordrep, usuellement noté AR(p), un processus stationnaire (Xt)t?Zvérifiant une relation du type: X t+p? i=1φ iXt-i=εt,?t?Z avecφi?Retεtun bruit blanc de varianceσ2.

Cette relation s"écrit également:

Φ(L)Xt=εt

7 oùΦ(L) = 1 +φ1L+...+φpLp

Ecriture moyenne mobile infiniela définition du processsus AR(p) proposée n"implique pas forcément

que cette équation a une solution unique stationnaire. Pour celà, il faut relier ce problème à la question de

l"inversion du polynôme enL:Φ(L)vu précédemment.

siΦa toutes ses racines de module différent de 1 on peut inverserΦ(L)et l"équation a une unique

solution avec une écriture moyenne mobile infinie: X t= Φ(L)-1εt=+∞? j=-∞h jεt-j,+∞? j=-∞|hj|<+∞

on voit que dans ce cas la valeur deXtpeut dépendre des valeurs passées, présentes et futures deεt. Dans

le cas ou les racines deΦsont de module strictement supérieur à 1,Φ-1(L)ayant un développement ne

contenant que des puissances positives deL, la valeur deXtne dépend que des valeurs passées deεt:

X t=+∞? j=0h jεt-j,+∞? j=0|hj|<+∞, h0= 1

on voit donc queXt-1ne dépend (linéairement) que deεt-1,εt-2... Commeεest un bruit blanc,Xt-1est

donc non corrélée àεt. La projection linéaire deXtsur son passé s"écrit donc: P

M-∞

t-1(Xt) =-p? i=1φ iXt-i et X t-PM-∞ t-1(Xt) =εt

Le bruit blancεtest appelé le processus des innovations associé àX. Lorsqueεtest un bruit blanc fort,

l"indépendance des innovations implique quePM-∞ t-1(Xt)est non-seulement la régression linéaire deXtsur son passé mais aussi son espérance conditionnelle.

Modification des racines

lorsque les racines deΦsont de module différent de 1 on peut montrer que,

quitte à change de bruit blanc générateur, on peut supposer que ces racines sont de module supérieur à 1.

En utilisant la densité spectrale on a:

22π=fX(ω)|1 +p?

j=1φ jeiωj|2 et f

X(ω) =σ22π|1 +?p

en notantzjles racines deΦ, on a: f

X(ω) =σ22π|?p

j=1(1-eiωz j|2 8

supposons que lesrpremières racines deΦsoient de module supérieur à 1 et lesp-rde module inférieur à

1. On note:

?=r? j=1(1-Lz j)p? j=r+1(1-Lzj)

le polynôme construit en remplaçant les racines de module inférieur à 1 par leur inverse dansΦ.

Le processus:

t= Φ?Xt est un bruit blanc: f

η(ω) =|Φ?(eiω)|2fX(ω)

σ22πp

j=r+1|1-eiωzj|2|1-eiωz j|2=σ22πp j=r+1|zj|2 ce qui est bien indépendant deω. Doncηtest bien un bruit blanc de varianceσ2?p j=r+1|zj|2, variance

inférieure àσ2variance deε. Cette nouvelle représentation deXtfait donc intervenir un bruit blanc

s"interprétant comme l"innovation (on peut développerXten moyenne mobile infinie ne dépendant que du

passé deηt) et dont la variance est plus faible que celle du bruit blanc initial.

On voit donc qu"en choisissant une racine ou son inverse on peut obtenir de nombreuses représentations deXt.

On appelle la représentation dans laquelle toutes les racines sont de module supérieur à 1 la représentation

canonique du processusXt, celle dans laquelle le bruit blanc générateur est l"innovation. Fonction d"autocorrélation d"un AR(p)soit un processus stationnaireAR(p)défini par

Φ(L)Xt=Xt+p?

i=1φ iXt-i=εt dont les racines sont de modules>1.

Alors la fonction d"autocorrélation:

ρ(h) +p?

j=1φ jρ(h-j) = 0, h= 1,2...

est donc définie comme la solution d"une suite récurrente d"ordrep, donc racines non-nulles de l"équation:

p+p? j=1φ jλp-j= 0 soit: 9 1 + p? j=1φ

jλ-j= 0c"est à dire que1λest racine deΦdonc|λ|<1. On sait donc queρ(h)est une combinaison de différentes

composantes: exponentielles décroissantes pour les racines réelles, sinusoïdes amorties pour les racines

complexes, exponentielles décroissantes et termes polynomiaux pour les racines multiples. Par conséquent,

ρ(h)tend exponentiellement vers 0 avech.

Remarquons également qu"on a la relation matricielle (équation de Yule-Walker): (-φ1... -φp) )= [ρ(i-j)]-1( (ρ(1)

ρ(p))

Ce qui donne un algorithme d"estimation des coefficients d"un processus AR(p) en remplaçantρ(h)par leur

autocorrélation empirique. Remarquons également que la variance de ce processus vaut:

γ(0) =-p?

j=1φ jγ(j) +σ2=σ21 + ?p j=1φjρ(j) Fonction d"autocorrélation partielle d"un AR(p)soit un processus stationnaireAR(p)défini par

Φ(L)Xt=Xt+p?

i=1φ iXt-i=εt dont les racines sont à l"extérieur du disque unité.

On a que l"autocorrélation partieller(h) = 0sih≥p+ 1car la projection deXtsurM(Xt-1,...,Xt-h)est

-?p j=1φjXt-jet le coefficient associé àXt-hest nul.

Cette propriété est très utile en pratique lorsque l"on cherche à identifier l"ordre d"un processus AR. On

peut ainsi calculer les autocorrélation partielles empiriques et regarder quand celles-ci sont négligeables

(non-significativement différentes de 0). Notons également quer(p) =-φp.

Processus moyennes mobiles (MA)

définition on appelle processus moyene mobile d"ordreq, usuellement noté MA(q) (moving average), un processus(Xt)t?Zdéfini par: X où lesθisont des réels etεtest un bruit blanc de varianceσ2. De même que pour les processus autorégressifs cette relation s"écrit: X t= (1 +θ1L+...+θqLq)εt= Θ(L)εt

Contrairement à l"AR(p) la définition du MA(q) est explicite et le processusXtest stationnaire.

10

Ecriture autorégressive infiniepar analogie avec ce qu"on a vu pour les AR(p), siΘ(z)a des racines de

modules différents de 1, on peut écrire: i=-∞π iXt-i=εt,avec+∞? i=-∞|π|<+∞

si les racines sont toutes de module supérieur à 1,πi= 0pouri <0etεtest l"innovation du processusXt

(démonstration similaire à celle effectuée pour les AR, à faire en exercice). On dit dans ce cas que le processus

est inversible.

Modification des racines

siΘ(z)à certaines de ses racines à l"intérieur du disque unité, on peut, quitte à changer de bruit blanc, se ramener à une moyenne mobile inversible.

Par exemple, si

X t= Θ(L)εt= (1-z1L)(1-z2L)...(1-zqL) oùz-11,...,z-1qqont les racines deΘ. Supposons que lesrpremières racines soient de module>1.

La densité spectrale deXest donnée par:

fquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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