Attention ! Ne pas confondre la moyenne et la médiane.
Définition : C'est la somme de toutes les valeurs du caractère divisée par le nombre total des valeurs. Elle est notée ? .
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champ d'intervention de l'ANPME due en particulier à la difficulté liée à la définition de la PME si bien que la loi 53-00 formant "Charte de la PME" du 23
Physiologie : la pression artérielle moyenne
pas symétriques autour de la moyenne : reflet de la pression circulatoire moyenne. ... Enfin rappelons que la définition de valeurs.
Les processus AR et MA
c cos(?h)d? = 0 si h = 0 ce qui est la définition d'un bruit blanc faible. • moyenne mobile d'ordre 1: MA(1). Soit Xt = ?t + ??t?1:.
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définition de la moyenne mobile. De mani`ere équivalente m1 est donc le plus grand exposant de B et. ?m2 le plus petit. Vocabulaire :.
Intégrale de Riemann
Définition 1.1 (Subdivision). Soit a et b deux réels tels que a < b. Définition 1.3 (Somme de Riemann) ... Définition 2.10 (Valeur moyenne).
STATISTIQUE : ESTIMATION
Définition d'une région de confiance. 13. 2. Construction de régions de confiance Estimation de la moyenne quand la variance est inconnue.
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définition élargie de sorte que la modélisation repose sur l'ancienne mesure du salaire de rémunération moyenne ne repose ni sur le salaire moyen.
Moyenne Moyenne pondérée Définition : Pour calculer la moyenne
Définition : Pour calculer la moyenne des valeurs d'une série : ? on additionne toutes les valeurs de la série ;. ? puis on divise par l'effectif total de
Intégrale de Riemann
Aimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire
1Sommes de Riemann d"une fonction
Définitions
Exemples
2Intégrale de Riemann
Intégrabilité
Exemples
Propriétés
Formule de la moyenne
3Primitives
Théorème fondamental de l"analyse
Lien intégrale/primitive
Exemple de synthèse
Primitives des fonctions usuelles
Sommaire
1Sommes de Riemann d"une fonction
Définitions
Exemples
2Intégrale de Riemann
3Primitives
1. Sommes de Riemanna) Définitions
Définition 1.1 (Subdivision)
Soitaetbdeux réels tels quea Unesubdivisionde l"intervalle fermé borné[a;b]est une famillefiniede réels (x0;x1;:::;xn)telle que :a=x0Exemple 1.2 (Subdivision "équirépartie»)
La subdivisionéquirépartieest issue d"un découpageéquidistantde[a;b]enn intervalles de longueur identique=ban Les points de subdivision sont donnés parxk=a+kban ;06k6n(ils sont répartis selon une progression arithmétique de raison) : =a;a+ban ;a+2ban ;a+3ban ;:::;b:ax 0x 1x 2x 3:::x k1x kx k+1:::x n2x n1x nb 1 1. Sommes de Riemanna) Définitions
Définition 1.3 (Somme de Riemann)
Soitfune fonction définie sur[a;b],= (x0;:::;xn)une subdivision de[a;b], et = (1;:::;n)une famille de réels tels que :8k2 f1;:::;ng,k2[xk1;xk] (on dit alors que la familleestadaptéeà la subdivision). On appellesomme de Riemannde la fonctionfassociée àet àle nombreS(f;;) =nX
k=1(xkxk1)f(k): Ce nombre représente l"aire de la réunion des rectangles de base[xk1;xk]et de hauteurf(k).xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21. Sommes de Riemannb) Exemples
Exemple 1.4 (Subdivision équirépartie)
Considérons une subdivision "équirépartie» avec comme choix deskune des bornes de chaque sous-intervalle :8 :x k=a+kban ;06k6n k=xk1ouxk;16k6n Les sommes de Riemann correspondantes s"écrivent :S(f;;) =ban
n1X k=0f a+kban ouban n X k=1f a+kban xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 31. Sommes de Riemannb) Exemples
Exemple 1.5 (Sommes de Darboux(facultatif))Soitfune fonctioncontinuesur[a;b],= (x0;:::;xn)une subdivision de[a;b].
Introduisons les valeurs "extrémales» relatives à chacun des sous-intervalles de:8k2 f1;2;:::;ng;mk= min
[xk1;xk]fetMk= max [xk1;xk]f: Par continuité,fatteintses bornes : il existe donc des1k;2kdans[xk1;xk]tels que f(1k) =mketf(2k) =Mk. Les sommes de Riemann correspondant aux familles adaptées1= (11;:::;1n)et2= (21;:::;2n)sont appeléessommes de Darboux:
S1=S(f;;1) =nX
k=1m k(xkxk1)etS2=S(f;;2) =nX k=1M k(xkxk1):xf(x)ab x 0x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10x 11x 12x 13 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110111
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29
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211
212
213
Remarque :toutes les sommes de Riemann sont comprises entreS1etS2.4
Sommaire
1Sommes de Riemann d"une fonction
2Intégrale de Riemann
Intégrabilité
Exemples
Propriétés
Formule de la moyenne
3Primitives
2. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Définition 2.1 (Intégrabilité)
Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "
on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 52. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Définition 2.1 (Intégrabilité)
Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "
on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 52. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Définition 2.1 (Intégrabilité)
Soitf: [a;b]!Rune fonctionbornée. S"il existe un nombre réelItel que8" >0;9 >0;8subdivision de pas< ;8adaptée à;jS(f;;)Ij< "
on dit que la fonctionfestintégrable (au sens de Riemann)sur[a;b]et le nombre Iest l"intégrale defffsur[a;b][a;b][a;b]. Ce nombre est notéZb af(x)dxouZb af. Autrement dit, une fonction est intégrable ssitoutesses suites de sommes de Riemann dont le pas des subdivisions associées tend vers 0, sontconvergentes de même limite finie.xf(x)ab 52. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Remarque 2.2 (Notations/conventions)
La variable utilisée dans la notation de l"intégrale est ditemuette: Z b a f=Z b a f(x)dx=Z b a f(t)dt=Z b a f(u)du=Z b a f()d=Le nombreZb
afreprésente l""aire algébrique» entre la courbe defdans un repère orthonormal et l"axe des abscisses, en comptantnégativementles parties au-dessousde l"axe etpositivementles partiesau-dessus.xf(x)ab+Conventions : on convient queZ
a b f(x)dx=Z b a f(x)dxetZ a a f(x)dx=0.62. Intégrale de Riemanna) Intégrabilité
Théorème 2.3 (Exemples de fonction intégrable(admis)) Toute fonctioncontinuesur[a;b]estintégrablesur[a;b]. Plus généralement, toute fonctioncontinue par morceauxsur[a;b] (i.e. admettant un nombrefinide discontinuités, celles-ci étant de 1reespèce) estintégrablesur[a;b]. Plus précisément, en notantx1;x2;:::;xn1ses discontinuités et en posant x0=aetxn=b, on peut prolongerfpar continuité sur chaque intervalle
[xk1;xk],k2 f1;:::;ng. Notons~fkce prolongement. AlorsZ b a f=nX k=1Z xk x k1~ fk:xf(x)x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 ab Remarquons que si l"on modifie la valeur d"une fonction continue par morceaux en un nombre fini de points, alors la valeur de son intégrale reste la même. Toute fonctionmonotonesur[a;b]estintégrablesur[a;b].72. Intégrale de Riemannb) Exemples
Exemple 2.4 (Fonctions constante, identité, exponentielle...) À l"aide de la somme de Riemann associée à une subdivisionéquirépartie,on trouve pour une fonction intégrable lim n!+1ban n X k=1f a+kban =Z b a f(x)dx:Dans le cas d"une fonctionconstante,cela donne
82R;Zb a dx= limn!+1ban n X k=1=(ba)(aire d"un rectangle!) Dans le cas de la fonctionexponentielle,cela donne Z b a exdx= limn!+1ban n X k=1e a+kban =ebea: Dans le cas de la fonctionidentité,cela donneZb a xdx= limn!+1ban n X k=1 a+kban =12 (b2a2)(aire d"un trapèze!)
Dans le cas de la fonctioncarré,cela donneZb
a x2dx= limn!+1bann X k=1 a+kban 2 =13(b3a3):82. Intégrale de Riemannb) Exemples
Exemple 2.5 (Fonction indicatrice deQQQ)Considéronslafonction"indicatrice»(ou"caractéristique»)deQ.Ils"agitdelafonction
Q:R!Q x7!(1 six2Q
0 six=2Q
Soit une subdivision=(x0;:::;xn)d"un intervalle[a;b]de pas arbitrairement petit, =(1;:::;n)et0=(01;:::;0n)deux familles adaptées à la subdivisiontelles que8k2 f1;:::;ng; k2Qet0k2RnQ:
Les sommes de Riemann correspondantes valent
S(?Q;;) =baetS(?Q;;0) =0:
Elles ne peuvent pas tendre vers une limite commune. Ainsi, la fonction indicatrice deQn"est intégrable suraucunintervalle[a;b].Annexe (facultatif)
Entre deux réels distincts quelconques, il existe un rationnel et un irrationnel (en fait une infinité de chaque). On dit que les ensemblesQetRnQsontdensesdansR. En effet : soit(a;b)2R2tels quea2. Intégrale de Riemannc) Propriétés
Proposition 2.6 (Opérations)
1Linéarité
Soitfetgdeux fonctions intégrables sur[a;b](a6b) et;2R.La fonctionf+gest intégrable sur[a;b]et
Z b a (f(x) +g(x))dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx2Relation de ChaslesSoitfune fonction intégrable sur[a;b](a6b)
Pour toutc2[a;b],fest intégrable
sur[a;c]et[c;b]et Z b a f(x)dx=Z c a f(x)dx+Z b c f(x)dx ou encore Z c a f(x)dx=Z b a f(x)dxZ b c f(x)dxxf(x)abc Ces propriétés restent valables lorsquebProposition 2.7 (Parité)
Soitfune fonction intégrable sur[b;a][[a;b](06a6b).Sifestpaire, alors
Z a bf(x)dx=Z b a f(x)dx:xf(x)b a bf(b) af(a) OSifestimpaire, alors
Z a bf(x)dx=Z b a f(x)dx:xf(x)b f(b)a f(a)bf(b) af(a) O 112. Intégrale de Riemannc) Propriétés
Proposition 2.7 (Parité)
Cas particulier :soitfune fonction intégrable sur[a;a](a>0).Sifestpaire, alorsZa
af(x)dx=2Z a 0 f(x)dx:Autrement dit, la fonction
x2[a;a]7!Z x 0 f(t)dt estimpaire.xf(x)aquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Moyenne Du troisieme trimestre
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