les matrices sur Exo7 PDF Dans le calcul matriciel la

Chapitre 2 1 2.4. Produits matriciels

Le produit des matrices a des propriétés étranges par rapport au produit On a vu dans la premi`ere section que la multiplication des matrices est.

TP3 R - Matrices et suites

A%*%B. # produit matriciel de A et B. solve(B). # inversion matricielle. det(A). # déterminant de la matrice A. Matrices

Calcul matriciel

A+B a la même dimension que A et B. b. Multiplication par un réel. Règle de calcul. Le produit d'une matrice par un réel est

les matrices sur Exo7

Dans le calcul matriciel la matrice identité joue un rôle analogue à celui du nombre 1 pour les réels. C'est l'élément neutre pour la multiplication. En d'

Généralités sur les matrices

Matrices particulières . Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives ... Trace d'une matrice carrée d'ordre n (notée ) : .

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Néanmoins le produit matriciel est bien une matrice et non un scalaire! Oublier cette subtilité mènerait vite à des incohérences : par exemple

Calcul matriciel

8 nov. 2011 ter deux matrices de mêmes dimensions terme à terme) et d'une multiplication externe. (on peut multiplier une matrice par un réel terme à ...

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Envisageons donc le produit entre deux matrices 2 × 2 et une matrice colonne. Commençons par effectuer le second puisque nous connaissons déjà la règle à

Calcul de ? Multiplication de matrices.

L'algorithme de multiplication de matrices de Strassen(1969) est le suivant : soient a et b les matrices à multiplier et r la matrice produit. Chaque matrice

Matrices Les vecteurs Vecteurs et transposé Addition de vecteurs

Matrices. 1 / 47. Les vecteurs. Les matrices. Multiplication matricielle. Type de matrices. Propríetés. Les vecteurs. Un vecteur (colonne) : x =.

Matrices

ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.

Dans ce chapitre,Kdésigne un corps. On peut penser àQ,RouC.

1. Définition

1.1. DéfinitionDéfinition 1.

UnematriceAest un tableau rectangulaire d"éléments deK. Elle est dite detaillenpsi le tableau possèdenlignes etpcolonnes. Les nombres du tableau sont appelés lescoefficientsdeA.

Le coefficient situé à lai-ème ligne et à laj-ème colonne est notéai,j.Un tel tableau est représenté de la manière suivante :

A=0 B

BBBBB@a

1,1a1,2...a1,j...a1,p

2,1a2,2...a2,j...a2,p

a i,1ai,2...ai,j...ai,p a n,1an,2...an,j...an,p1 C

CCCCCAouA=ai,j

16i6n

16j6pouai,j.

Exemple 1.

A=12 5

0 3 7 est une matrice 23 avec, par exemple,a1,1=1 eta2,3=7.

Encore quelques définitions :Définition 2.

Deux matrices sontégaleslorsqu"elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.

L"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKest notéMn,p(K). Les éléments deMn,p(R)

MATRICES1. DÉFINITION2sont appelésmatrices réelles.1.2. Matrices particulières Voici quelques types de matrices intéressantes :

•Sin=p(même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est ditematrice carrée. On noteMn(K)au lieu de

Mn,n(K).

0 B BB@a

1,1a1,2...a1,n

2,1a2,2...a2,n............

a n,1an,2...an,n1 C CCA Les élémentsa1,1,a2,2,...,an,nforment ladiagonale principalede la matrice. Une matrice qui n"a qu"une seule ligne (n=1) est appeléematrice ligneouvecteur ligne. On la note

A=a1,1a1,2...a1,p.

De même, une matrice qui n"a qu"une seule colonne (p=1) est appeléematrice colonneouvecteur colonne. On

la note A=0 B BB@a 1,1 a

2,1...

a n,11 C CCA.

La matrice (de taillenp) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée0n,p

ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels.

1.3. Addition de matricesDéfinition 3(Somme de deux matrices).

SoientAetBdeux matrices ayant la même taillenp. LeursommeC=A+Best la matrice de taillenpdéfinie

par c ij=aij+bij.

En d"autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremmentaijoùai,jpour les

coefficients de la matriceA.

Exemple 2.

SiA=32

1 7 etB=0 5 21
alorsA+B=3 3 3 6

Par contre siB0=2

8 alorsA+B0n"est pas définie.Définition 4(Produit d"une matrice par un scalaire). Le produit d"une matriceA=aijdeMn,p(K)par un scalaire2Kest la matriceaijformée en multipliant chaque coefficient deApar. Elle est notéeA(ou simplementA).Exemple 3.

SiA=1 2 3

0 1 0 et=2 alorsA=2 4 6 0 2 0 La matrice(1)Aest l"opposéedeAet est notéeA. LadifférenceABest définie parA+(B).

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES3

Exemple 4.

SiA=21 0

45 2
etB=1 4 2 75 3
alorsAB=352 3 01 L"addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :Proposition 1. Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p(K). Soient2Ket2Kdeux scalaires. 1.

A +B=B+A : la somme est commutative,

A +(B+C) = (A+B)+C : la somme est associative,

3. A +0=A : la matrice nulle est l"élément neutre de l"addition,

4.(+)A=A+A,

5.(A+B) =A+B.Démonstration.Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général de(+)Aest égal à(+)aij. D"après

les règles de calcul dansK,(+)aijest égal àaij+aijqui est le terme général de la matriceA+A.Mini-exercices.

SoientA=

7 20114

,B=

1 2 32 3 13 2 1

,C=

2160 33 12

,D=12

1 0 10 1 01 1 1,E=

1 23 08 6

. Calculer toutes les sommes possibles de deux de ces matrices. Calculer 3A+2Cet 5B4D. Trouvertel queACsoit la matrice nulle. 2.

Montrer que si A+B=A, alorsBest la matrice nulle.

3. Que vaut0A? et1A? Justifier l"affirmation :(A) = ()A. Idem avecnA=A+A++A(noccurrences deA).2. Multiplication de matrices

2.1. Définition du produit

Le produitABde deux matricesAetBest défini si et seulement si le nombre de colonnes deAest égal au nombre de

lignes deB.Définition 5(Produit de deux matrices). SoientA= (aij)une matricenpetB= (bij)une matricepq. Alors le produitC=ABest une matricenq dont les coefficientscijsont définis par :c ij=p X k=1a ikbkjOn peut écrire le coefficient de façon plus développée, à savoir : c ij=ai1b1j+ai2b2j++aikbkj++aipbpj. Il est commode de disposer les calculs de la façon suivante. 0 B B@ 1 C CA B A!0 B

B@ 1

C CA0 B B@j j cij1 C CA AB

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES4Avec cette disposition, on considère d"abord la ligne de la matriceAsituée à gauche du coefficient que l"on veut

calculer (ligne représentée par desdansA) et aussi la colonne de la matriceBsituée au-dessus du coefficient que

l"on veut calculer (colonne représentée par desdansB). On calcule le produit du premier coefficient de la ligne par

le premier coefficient de la colonne (ai1b1j), que l"on ajoute au produit du deuxième coefficient de la ligne par le

deuxième coefficient de la colonne (ai2b2j), que l"on ajoute au produit du troisième...

2.2. Exemples

Exemple 5.

A=1 2 3

2 3 4 B=0 @1 2 1 1 1 11 A

On dispose d"abord le produit correctement (à gauche) : la matrice obtenue est de taille22. Puis on calcule chacun

des coefficients, en commençant par le premier coefficientc11=11+2(1) +31=2(au milieu), puis les autres (à droite). 0 @1 2 1 1 1 11 A 1 2 3

2 3 4

c11c12 c

21c220

@12 11 1 1 1 A 1 2 3

2 3 4

2c12 c

21c220

@1 2 1 1 1 11 A 1 2 3

2 3 4

2 7 3 11 Un exemple intéressant est le produit d"un vecteur ligne par un vecteur colonne : u=a1a2anv=0 B BB@b 1 b 2... b n1 C CCA

Alorsuvest une matrice de taille11dont l"unique coefficient esta1b1+a2b2++anbn. Ce nombre s"appelle le

produit scalairedes vecteursuetv.

Calculer le coefficientcijdans le produitABrevient donc à calculer le produit scalaire des vecteurs formés par la

i-ème ligne deAet laj-ème colonne deB.

2.3. Pièges à éviter

Premier piège. Le produit de matrices n"est pas commutatif en général.

En effet, il se peut queABsoit défini mais pasBA, ou queABetBAsoient tous deux définis mais pas de la même taille.

Mais même dans le cas oùABetBAsont définis et de la même taille, on a en généralAB6=BA.

Exemple 6.

5 1 32
2 0 4 3 =14 3 26
mais2 0 4 3 5 1 32
=10 2 292

Deuxième piège.AB=0n"implique pasA=0ouB=0.

Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul. En d"autres termes, on peut avoirA6=0etB6=0

maisAB=0.

Exemple 7.

A=01 0 5 B=23 0 0 etAB=0 0 0 0 Troisième piège.AB=ACn"implique pasB=C.On peut avoirAB=ACetB6=C.

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES5

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Matrices

1. Définition

1.1. DéfinitionDéfinition 1.

BBBBB@a

1,1a1,2...a1,j...a1,p

2,1a2,2...a2,j...a2,p

CCCCCAouA=ai,j

16j6pouai,j.

Exemple 1.

A=12 5

Encore quelques définitions :Définition 2.

Mn,n(K).

1,1a1,2...a1,n

2,1a2,2...a2,n............

A=a1,1a1,2...a1,p.

2,1...

1.3. Addition de matricesDéfinition 3(Somme de deux matrices).

Exemple 2.

SiA=32

Par contre siB0=2

SiA=1 2 3

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES3

Exemple 4.

SiA=21 0

A +B=B+A : la somme est commutative,

A +(B+C) = (A+B)+C : la somme est associative,

4.(+)A=A+A,

5.(A+B) =A+B.Démonstration.Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général de(+)Aest égal à(+)aij. D"après

SoientA=

7 20114

1 2 32 3 13 2 1

2160 33 12

1 0 10 1 01 1 1,E=

1 23 08 6

Montrer que si A+B=A, alorsBest la matrice nulle.

2.1. Définition du produit

B@ 1

2.2. Exemples

Exemple 5.

A=1 2 3

2 3 4

21c220

2 3 4

21c220

2 3 4

2.3. Pièges à éviter

Exemple 6.

Deuxième piège.AB=0n"implique pasA=0ouB=0.

Exemple 7.

MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES5

7 20114

1 2 32 3 13 2 1

2160 33 12

1 0 10 1 01 1 1,E=

1 23 08 6