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Exo7 Intégration
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Exercice 1Etudier l"existence des intégrales suivantes1) (**)
R+¥
0 x+2px2+4x+1
dx2) (**)R+¥ 1 e1+1x x dx3) (**)R+¥0lnxx+exdx
4) (***)
R+¥
03px+13px
px dx5) (**)R+¥ 1epx2xdx6) (**)R+¥
0xlnxdx
7) (**)
R+¥
0sin(5x)sin(3x)x
5=3dx8) (**)R+¥
0lnxx21dx9) (**)R+¥
¥ex2pjxjdx
10) (**)
R111(1+x2)p1x2dx11) (**)R1
013 px2x3dx12) (***)R1
01arccos(1x)dx.
Etudier l"existence des intégrales suivantes.
1) (***) I
R+¥
21xalnbxdx(Intégrales de BERTRAND)2) (**)Rp=2
0(tanx)adx
3) (**)
R+¥
1 1+1x 1+1x abx dx4) (***)R+¥ 01x a(1+xb)dx (Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes :1.(**)Z
0sinxx
dx2.(**)Z
0sinxx
adx3.(**)Z
0eix2dx
4.(**)Z
0x3sin(x8)dx
5.(**)Z
0cos(ex)dx
6.(****)Z
011+x3sin2xdx
1Existence et calcul de :
1) (** I)In=R+¥
01(x2+1)ndx2) (très long)R+¥
21(x1)3(x4+1)dx
3) (** I)R+¥
01x3+1dx4) (***)R+¥
01(x+1)(x+2):::(x+n)dx
5)(***)
R101p(1x)(1+ax)dx6) (**)R+¥
01(ex+1)(ex+1)dx
7) (**)
R+¥
015chx+3shx+4dx8) (***)R+¥
02+(t+3)lnt+2t+4dt
9) (** I)
R+¥
0xarctanx(1+x2)2dx10) (I très long)R+¥
0xlnx(x2+1)adx(calcul poura232
;2;3)11) (***)
Rp=20ptanx dx12) (*** I)R+¥
0eatebtt
dt(00ln(sinx)dx.
1) (** I)En utilisantJ=Rp=2
0ln(cosx)dx, calculerI(etJ).
2) (*** I)CalculerPn=Õn1k=1sinkp2n(commencer parP2n) et en déduireI.
11t, calculerR1
0lntt1dt.
R10t1lntdt(en écrivantRx
0t1lntdt=Rx
0tlntdtRx
01lntdt).
1) (** I)Trouver un équivalent simple quandxtend vers+¥deex2R+¥
xet2dt.2) (***)Montrer queR+¥
acosxx dxa!0lna.3) (*)Montrer queR1
01x3+a2dxa!+¥1a
2. x1lntdt.R+¥
1(1)E(x)x
dx. 21.Montrer que xf(x)tend vers 0 quandxtend vers+¥.
2.Existence et calcul de
R+¥
1x(f(x+1)f(x))dx.
0f(x)dxconverge en+¥. Montrer
queR+¥0f0(x)dxconverge en+¥si et seulement sif(x)tend vers 0 quandxtend vers+¥.
2. (a) On suppose que fest une fonction de classeC2surR+à valeurs dansRtelle quefetf00admettent des limites réelles quandxtend vers+¥. Montrer quef0tend vers 0 quandxtend vers+¥. (b)En déduire que si les intégrales R+¥
0f(x)dxetR+¥
0f00(x)dxconvergent alorsftend vers 0 quand
xtend vers+¥. intégrable surRet queR+¥¥f02(x)dx26R+¥
¥f2(x)dxR+¥
¥f002(x)dx. Cas d"égalité ?
Correction del"exer cice1 N1.Pour x>0,x2+4x+1>0 et donc la fonctionf:x7!x+2px2+4x+1 est continue sur[0;+¥[.
Quandxtend vers+¥,x+2px
2+4x+1=3x+2+px
2+4x+132x. Comme la fonctionx7!32xest
positive et non intégrable au voisinage de+¥,fn?est pas intégrable sur[0;+¥[. 2.Pour x>1, 1+1x
est défini et strictement positif. Donc la fonctionf:x7!e1+1x xest définie et continue sur[1;+¥[.Quandxtend vers+¥,1+1x
x=exln(1+1x )=e112x+o(1x )=ee2x+o1x puisf(x)x!+¥e2x. Puisque lafonctionx7!e2xest positive et non intégrable au voisinage de+¥,fn"est pas intégrable sur[1;+¥[.
3. La fonction f:x7!lnxx+exest continue et positive sur]0;+¥[. • En 0, lnxx+exlnxet doncf(x) =x!0o1px . Comme12 <1, la fonctionx7!1px est intégrable sur un voisinage de 0 et il en est de même de la fonctionf. • En+¥,f(x)lnxe x=o1x2. Comme 2>1, la fonctionx7!1x
2est intégrable sur un voisinage de+¥
et il en est de même de la fonctionf.Finalement,fest intégrable sur]0;+¥[.
4.La fonction x7!3px+13pxest continue et strictement positive sur[0;+¥[. Donc la fonctionf:x7!3px+13px
est continue sur[0;+¥[.En+¥, ln3px+13px
=13 lnx+ln1+1x 1=31 =13 lnx+ln13x+O1x 2=23 lnxln3+ O1x . Par suite,pxln3px+13px =23 pxlnxln3px+o(1).Maisalorsx2f(x) =x!+¥exp23
pxlnxln3px+2lnx+o(1)etdonclimx!+¥x2f(x)=0. Finalement f(x)est négligeable devant1x2en+¥etfest intégrable sur[0;+¥[.
5.La fonction f:x7!epx
2xest continue sur[1;+¥[.
Quandxtend vers+¥,x2f(x) =exp
px2x+2lnx
=exp(x+o(x))et doncx2f(x)!x!+¥0.f(x) est ainsi négligeable devant 1x2au voisinage de+¥et doncfest intégrable sur[1;+¥[.
6.La fonction f:x7!xlnxest continue sur]0;+¥[.
• Quandxtend vers 0,xlnx=eln2x!0. La fonctionfse prolonge par continuité en 0 et est en particulier intégrable sur un voisinage de 0. • Quandxtend vers+¥,x2f(x) =expln2x+2lnx!0. Doncfest négligeable devant1x2quandx
tend vers+¥etfest intégrable sur un voisinage de+¥.Finalement,fest intégrable sur]0;+¥[.
7.La fonction f:x7!sin(5x)sin(3x)x
5=3est continue sur]0;+¥[.
• Quandxtend vers 0,f(x)5x3xx5=3=2x
2=3>0. Puisque23
<1, la fonctionx7!2x2=3est positive et
intégrable sur un voisinage de 0 et il en est de même de la fonctionf. • En+¥,jf(x)j62x5=3et puisque53
>1, la fonctionfest intégrable sur un voisinage de+¥.Finalement,fest intégrable sur]0;+¥[.
8.La fonction f:x7!lnxx
21est continue sur]0;1[[]1;+¥[.
• En 0,f(x) lnx=o1px . Doncfest intégrable sur un voisinage de 0 à droite. • En 1,f(x)lnx2(x1)12 . La fonctionfse prolonge par continuité en 1 et est en particulier intégrable sur un voisinage de 1 à gauche ou à droite. 4 • En+¥,x3=2f(x)lnxpx =o(1). Doncf(x)est négligeable devant1x3=2quandxtend vers+¥et donc
intégrable sur un voisinage de+¥.Finalement,fest intégrable sur]0;1[[]1;+¥[.
9.La fonction f:x7!expjxjest continue sur]¥;0[[]0;+¥[et paire. Il suffit donc d"étudier l"intégrabilité
defsur]0;+¥[. fest positive et équivalente en 0 à droite à1px et négligeable devant1x2en+¥d"après un théorème de
croissances comparées.fest donc intégrable sur]0;+¥[puis par parité sur]¥;0[[]0;+¥[. On en déduit queR+¥
¥expjxjdx
existe dansRet vaut par parité 2R+¥0expjxjdx.
10.La fonction f:x7!1(1+x2)p1x2est continue et positive sur]1;1[, paire et équivalente au voisinage de
1 à droite à
12 p2 p1x.fest donc intégrable sur]1;1[. 11.La fonction f:x7!13
px2x3est continue et positive sur]0;1[, équivalente au voisinage de 0 à droite à1x
2=3 et au voisinage de 1 à gauche à1(1x)1=3.fest donc intégrable sur]0;1[.
12. La fonction f:x7!1arccos(1x)est continue et positive sur]0;1]. En 0, arccos(1x) =o(1). Donc arccos(1x)sin(arccos(1x)) =p1(1x)2=p2xx2p2 px.Doncf(x)x!01p2
pxetfest intégrable sur]0;1[.Correction del"exer cice2 N1.Pour tout couple de réels (a;b), la fonctionf:x7!1x
alnbxest continue et positive sur[2;+¥[. Etudions l"intégrabilité defau voisinage de+¥.1er cas.Sia>1,x(a+1)=2f(x) =1x
(a1)=2lnbx!x!+¥0 cara12 >0 et d"après un théorème de croissances comparées. Doncf(x) =x!+¥o1x (a+1)=2 . Commea+12 >1, la fonctionx7!1x (a+1)=2est intégrable sur un voisinage de+¥et il en est de même def. Dans ce cas,fest intégrable sur[2;+¥[.2ème cas.Sia<1,x(a+1)=2f(x) =x(1a)=2ln
bx!x!+¥+¥car1a2 >0 et d"après un théorème de croissances comparées. Doncf(x)est prépondérant devant1x (a+1)=2en+¥. Commea+12 <1, la fonctionx7!1x (a+1)=2n"est pas intégrable sur un voisinage de+¥et il en est de même def. Dans ce cas,fn"est pas intégrable
sur[2;+¥[.3ème cas.Sia=1. PourX>2 fixé , en posantt=lnxet doncdt=dxx
on obtient R X21xlnbdx=RlnX
ln2dtt b.Puisque lnXtend vers+¥quandXtend vers+¥et que les fonctions considérées sont positives, f est
intégrable sur[2;+¥[si et seulement sib>1.En résumé ,
la fonctionx7!1xalnbxest intégrable sur[2;+¥[si et seulement sia>1 ou (a=1 etb>1).(En particulier, la fonctionx7!1xlnxn"est pas intégrable sur voisinage de+¥bien que négligeable devant
1x en+¥). 52.Pour tout réel a, la fonctionf:x7!(tanx)aest continue et strictement positive sur0;p2
. De plus, pour tout réelxde0;p2 , on afp2 x=1f(x).•Etude en0à droite.f(x)x!0xa. Doncfest intégrable sur un voisinage de 0 à droite si et seulement
sia>1. •Etude enp2à gauche.f(x) =1f
(p2 x)x!p2 p2 xa. Doncfest intégrable sur un voisinage dep2 gauche si et seulement sia<1.En résumé,fest intégrable sur0;p2
si et seulement si1En+¥,1+1x
ln1+1x =1+1x 1x +O1x 2=1x +O1x2. Donc
f(x) =x!+¥(1a)+1bx +O1x 2. • Sia6=1,fa une limite réelle non nulle en+¥et n"est donc pas intégrable sur[1;+¥[. • Sia=1 etb6=1,f(x)x!+¥1bx . En particulier,fest de signe constant sur un voisinage de+¥et n"est pas intégrable sur[1;+¥[. • Sia=b=1,f(x) =x!+¥O1x2et dans ce cas,fest intégrable sur[1;+¥[.
En résumé,fest intégrable sur[1;+¥[si et seulement sia=b=1. 4. Pour tout couple (a;b)de réels, la fonctionf:x7!1x a(1+xb)est continue et positive sur]0;+¥[. •Etude en0. -Sib>0,f(x)x!01x a, et doncfest intégrable sur un voisinage de 0 si et seulement sia<1, -sib=0,f(x)x!012xa, et doncfest intégrable sur un voisinage de 0 si et seulement sia<1, -sib<0,f(x)x!01x a+b, et doncfest intégrable sur un voisinage de 0 si et seulement sia+b<1. •Etude en+¥. -Sib>0,f(x)x!01x a+b, et doncfest intégrable sur un voisinage de+¥si et seulement sia+b>1, -sib=0,f(x)x!012xa, et doncfest intégrable sur un voisinage de+¥si et seulement sia>1, -sib<0,f(x)x!01x a, et doncfest intégrable sur un voisinage de+¥si et seulement sia>1. En résumé,fest intégrable sur]0;+¥[si et seulement si ((b>0 eta<1) ou (b<0 eta+b<1)) et ((b>0 eta+b>1) ou (b60 eta>1)) ce qui équivaut à (b>0 eta+b>1 eta<1) ou (b<0 eta>1 eta+b<1).Représentons graphiquement l"ensemble des solutions. La zone solution est la zone colorée.1 2 3-1-2
12 -1 -2 ab 6Correction del"exer cice3 N1.Soient eetXdeux réels tels que 02dx=1cosXX
1cosee
+RX e1cosxx 2dx. •Lafonctionx7!1cosxx 2estcontinuesur]0;+¥[, estprolongeableparcontinuitéen0carlimx!01cosxx
2= 12 et donc intégrable sur un voisinage de 0, est dominée par1x 2en+¥et donc intégrable sur un voisinage
de+¥. La fonctionx7!1cosxx 2est donc intégrable sur]0;+¥[etRX
e1cosxx 2dxa une limite réelle quand
etend vers 0 etXtend vers+¥. •1cosXX 61X
et donc limX!+¥1cosXX =0. 1cosee
e!0e2 et donc lime!e1cosee =0. On en déduit que
R+¥
0sinxx
dxest une intégrale convergente et de plus R 0sinxx
dx=R+¥ 01cosxx
2dx=R+¥
02sin2(x=2)x
2dx=R+¥
02sin2(u)4u22du=R+¥
0sin2(u)u
2du. L"intégrale
R+¥
0sinxx
dxconverge et de plusR+¥ 0sinxx
dx=R+¥ 01cosxx
2dx=R+¥
0sin2xx
2dx.2.La fonction f:x7!sinxx
aest continue sur]0;+¥[. • Sur]0;1[, la fonctionfest de signe constant et l"existence de lime!0R1 ef(x)dxéquivaut à l"intégrabilité de la fonctionfsur]0;1]. Puisquefest équivalente en 0 à1x a1, l"intégrale impropreR1 0f(x)dxconverge
en 0 si et seulement sia>0. On suppose dorénavanta>0. • SoitX>1. Les deux fonctionx7! cosxetx7!1x asont de classeC1sur le segment[1;X]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtientquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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