[PDF] Corrigé de la premi`ere épreuve Agrégation interne 2008

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Corrig´e de la premi`ere ´epreuve

Agr´egation interne 2008

Michel Coste

Universit´e de Rennes 1

Ce document provient de la pr´eparation `a l"agr´egation de math´ematiques de l"Universit´e de Rennes 1:

http://agreg-maths.univ-rennes1.fr

Notations

On d´esigne parCle corps des nombres complexes. SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie. On d´esigne parE?l"espace vectoriel dual deE. On d´esigne parEnd(E)l"alg`ebre des endomorphismes deEet parGL(E)le groupe des endomorphismes inversibles deE. On note1El"application identique deE. Siuest un endomorphisme deE, on notetul"endomorphisme deE?transpos´e deu; siXest une partie deEnd(E), on notetXl"ensemble des transpos´es des ´el´ements deX. Soituune application lin´eaire d"un espace vectorielEdans un espace vectorielFet soitxun vecteur

deE. Pour all´eger les notations, il nous arrivera d"´ecrireuxpour d´esigner l"imageu(x)du vecteurx

par l"applicationu.

Soitnun entier≥1; on d´esigne parMn(C)l"alg`ebre des matrices carr´ees complexes `anlignes etn

colonnes. On noteEi,jla matrice deMn(C)dont tous les coefficients sont nuls except´e celui de lai-`eme

ligne etj-`eme colonne qui est ´egal `a1. Oit noteGL(n.C)le groupe des matrices inversibles et1nla

matrice unit´e deMn(C).

SoientAetBdeuxC-alg`ebres poss´edant chacune, un ´el´ement unit´e ; un morphisme unitaire d"alg`ebres

deAdansBest une applicationC-lin´eaire qui pr´eserve les produits et les ´el´ements unit´es.

Les deux premi`eres parties sont ind´ependantes. La sixi`eme partie est ind´ependante des pr´ec´edentes.

Partie I

1)SoitWunC-espace vectoriel de dimension finie. Soientp1,...,pndes endomorphismes deW.

Pouri= 1,...,n, on noteWil"image depi.

D´emontrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes : (i) L"espace vectorielWest somme directe des sous-espacesWiet, pouri= 1,...,n,piest le pro- jecteur d"imageWiparall`element `a la somme directe desWj,j?=i. (ii) Pouri= 1,...,n,, on api2=pi; pourj?=i,on apipj= 0; et on ap1+···+pn= 1W. remarques et questions bienvenues `amichel.coste@univ-rennes1.fr 1 Supposons (i). Puisquepiest un projecteur on api2=pi. Sij?=i, l"image depjest contenue dans le noyau depiet doncpipj= 0. Enfin tout vecteurx?Wse d´ecompose de mani`ere unique en x=y1+···+ynavecyi?Wi, et on ayi=pix; ceci montre que1w=p1+···+pn.

Supposons (ii). L"´egalit´epi2=piveut dire quepiest un projecteur d"imageWi, et l"´egalit´epipj= 0

veut dire queWjest contenu dans le noyau depipourj?=i. Puisque pour toutx?Won ax= p

1x+···+pnx,West la sommeW1+···+Wn. Cette somme est directe puisque si 0 =y1+···+yn

avecyi?Wi, alors pour toution ayi=pi(y1+···+yn) = 0. Enfin la somme directe desWjpour

j?=iest contenue dans le noyau depi, et elle est ´egale `a ce noyau puisque sa dimension est ´egale `a la

dimension dimw-dimWidu noyau.

2)Soit toujoursWunC-espace vectoriel de dimension finie, soitnun entier≥1et suitρ: Mn(C)→

End(W)un morphisme unitaire d"alg`ebres.

a)Pouri= 1,...,n, on notepil"endomorphismeρ(Ei,i). D´emontrer que les endomorphismespi satisfont `a la condition (ii) de la question (I.1). On a clairementE2i,i=Ei,i,Ei,iEj,j=0nsij?=ietE1,1+···+En,n=1n. En appliquant le morphisme unitaireρ, on obtient que lespiv´erifient les ´egalit´es de la condition (ii). b)Pouri= 1,...,n. on noteWil"image depi. D´emontrer que la restriction deρ(Ei,j)`aWjinduit un isomorphisme deWjsurWi.

On aρ(Ei,j)ρ(Ek,?) =δj,kρ(Ei,?) carEi,jEk,?=δj,kEi,?. En particulier,piρ(Ei,j) =ρ(Ei,j). Donc

l"image deρ(Ei,j) est contenue dansWi, et la restriction deρ(Ei,j) `aWjinduit une application lin´eaire

deWjdansWi. Commeρ(Ei,j)ρ(Ej,i) =pietρ(Ej,i)ρ(Ei,j) =pjet quepi(resp.pj) induit l"identit´e

surWi(resp.Wj),ρ(Ei,j) induit un isomorphisme lin´eaire deWjsurWi, dont l"iinverse est induit par

ρ(Ej,i).

c)Dans la suite de cette question, on fixe une base(w1,...,wr)de l"espace vectorielW1, On pose v

1=w1, v2=ρ(E2,1)w1, ..., vn=ρ(En,1)w1.

D´emontrer que la famille(v1,...,vn)est libre et que, pour tous entierss,tetkcompris entre1etn, on

a

ρ(Es,t)vk=δt,kvs,

o`u le symbole de Kroneckerδt,kvaut1lorsquet=k. et vaut0sinon. Supposons queλ1v1+···+λnvn= 0. Comme lesWisont en somme directe et queλivi?Wi, on doit avoirλivi= 0, d"o`uλi= 0 pouri= 1,...,npuisqueviest un vecteur non nul. Donc (v1,...,vn)

est une famille libre. L"´egalit´eρ(Es,t)vk=δt,kvsvient deρ(Es,t)ρ(Ek,1) =δt,kρ(Es,1).

les vecteursρ(Ek,1)wj, pourk= 1,...,n, D´emontrer queWest somme directe des sous-espacesVj, Les vecteursρ(Ek,1)wjpourj= 1,...,rforment une base deWk. CommeWest la somme directe

desWk, la famille (ρ(Ek,1)wj)k=1,...,n;j=1,...,rest une base deW. DoncWest la somme directe desVj.

e)D´emontrer qu"il existe une base de l"espace vectorielWdans laquelle, pour toute matriceM? M n(C), la matrice de l"endomorphismeρ(M)est la matrice diagonale par blocs diag(M,...,M) =0 B

BB@M0···0

0M···0

0 0···M1

C CCA.

Comme M

n(C) est engendr´e en tant qu"espace vectoriel par lesEi,j, il suffit de montrer le r´esultat pour lesEi,j. Pla¸cons nous dans la base 2

Commeρ(Ei,j)ρ(Ek,1)w?=δj,kρ(Ei,1)w?, la matrice deρ(Ei,j) dans cette base est diag(Ei,j,...,Ei,j).

Partie II

Dans cette partie, on d´esigne parEunC-espace vectoriel de dimension finie. On dit qu"une partie

XdeEnd(E)est irr´eductible si les seuls sous-espaces vectoriels deEstables par tous les ´el´ements de

Xsont{0}etE. On d´esigne parAune sous-alg`ebre irr´eductible deEnd(E)qui contient1E, et on se propose de d´emontrer qu"elle est ´egale `aEnd(E).

1)Soientuetvdes ´el´ements deEnd(E)qui commutent entre eux. D´emontrer que tout sous-espace

propre de l"un est stable par l"autre.

SoitEλle sous-espace propre pouruassoci´e `a la valeur propreλ, et soitx?Eλ. Alorsu(v(x)) =

v(u(x)) =v(λx) =λv(x), doncv(x)?Eλ. AinsiEλest stable parv.

2)SoitXune partie irr´eductible deEnd(E). D´emontrer que l"ensemble des endomorphismes deE

qui commutent avec tous les ´el´ements deXest l"ensemble des endomorphismes scalaires. Soituun endomorphisme qui commute avec tous les ´el´ements deXet soitλune valeur propre deu

(il en existe puisqu"on est surC). D"apr`es la question pr´ec´edente, l"espace propreEλpouruest stable

par tous les ´el´ements deX. Puisqu"il n"est pas r´eduit `a{0}, c"estEtout entier et doncu=λ1E.

R´eciproquement, une homoth´etie commute avec n"importe quel endomorphisme, et en particulier avec

ceux deX.

3)Rappelons queAest une sous-alg`ebre irr´eductible deEnd(E)contenant1E. D´emontrer quetAest

une sous-alg`ebre irr´eductible deEnd(E?). tAest une sous-alg`ebre de End(E?). C"est un sous-espace vectoriel cart(u+λv) =tu+λtv, et on a t(uv) =tvtu. L"alg`ebretAest unitaire cart1E=1E?. On sait qu"un sous-espaceFdeEest stable parv?End(E) si et seulement si son orthogonal E ?={??E?;?x?F ?(x) = 0}est stable partv(rappelons quetv(?)x=?(v x)). Donc les seuls sous-espaces deE?stables par tous les ´el´ements detAsont{0}?=E?etE?={0}, ce qui montre que tAest irr´eductible.

4)Soitxun vecteur non nul deE. Pr´eciser `a quoi est ´egal le sous-espace vectorielAxdeE.

Remarquons queAxest bien un sous-espace vectoriel deEcarAest un sous-espace vectoriel de End(E). Il est stable par tous les ´el´ements deAet non nul, donc c"estE.

5)Soitu?End(E)un endomorphisme de rang1. D´emontrer qu"il existe un vecteurydeEet une

forme lin´eaire??E?tels que l"on aitu(x) =?[x)ypour toutx?E. Soityun vecteur qui engendre l"image deu. Alors pour toutx?Eil existe un unique scalaire?(x) tel queu(x) =?(x)y, et la lin´earit´e deuentraˆıne que?est une forme lin´eaire.

6)D´emontrer que, si l"alg`ebreAcontient un endomorphisme de rang1, alors elle les contient tous.

En d´eduire que l"on a alorsA= End(E),

Soituun endomorphisme de rang 1 dansA, et soitvun endomorphisme de rang 1 dans End(E).

D"apr`es la question pr´ec´edente, il existe des vecteurs non nulsyetzdeEet des formes lin´eaires non

nulles?etmdeE?tels queu(x) =?(x)yetv(x) =m(x)zpour toutx?E. D"apr`es la question II.4, il existeadansAtel queay=z. En appliquant II.4 `a la sous-alg`ebre irr´eductibletAde End(E?) (II.3), on voit qu"il existebdansAtel quetb?=m, c"est-`a-direm=?b. Alorsv=aub, car (aub)x=a(?(bx)y) =a(m(x)y) =m(x)a(y) =m(x)z=v(x). On en d´eduit quevappartient `aA. DoncAcontient tous les endomorphismes de rang 1. Or n"importe quel endomorphisme deEest somme d"endomorphismes de rang 1 : si (e1,...,en) est une base deE, 3

alors pour tout endomorphismeudeEil existe des formes lin´eairesu1,...,untelles que, pour toutx?E,

on aitu(x) =u1(x)e1+···+un(x)en. Par cons´equent,A= End(E).

7)Dans cette question, on suppose queAcontient un endomorphismeudont le rangrest≥2, et

on se propose de d´emontrer qu"il existe un endomorphismeu?? A, non nul, dont le rang est strictement

plus petit quer. a)D´emontrer qu"il existexetydansEetvdansAtels que le couple de vecteurs(u(x),u(y))soit libre et que l"on aitvu(x) =y. Puisqueuest de rang≥2, on peut trouver deux vecteursxetydeEtels queu(x) etu(y) soient

lin´eairement ind´ependants. En particulier,u(x) est non nul. Donc, d"apr`es la question II.4, il existe

v? Atel quevu(x) =y. b)D´emontrer qu"il existe alorsλ?Ctel que la restriction de l"endomorphismeuv-λ1E`a l"image u(E)deune soit ni injective ni nulle. Remarquons queu(E) est stable paruv. Soitλune valeur propre de la restriction deuv`au(E).

Alors la restriction deuv-λ1E`au(E) n"est pas injective. Cette restriction n"est pas nulle non plus car

(uv-λ1E)(u(x)) =u(y)-λu(x)?= 0, caru(x) etu(y) sont lin´eairement ind´ependants. c)V´erifier que l"endomorphismeu?=uvu-λuconvient.

D"apr`es le b), la dimension deu?(E) = (uv-λ1E)(u(E)) est strictement inf´erieure `a celle deu(E),

ce qui veut dire que le rang deu?est strictement plus petit quer; par ailleursu??= 0 car on a vu que u ?x?= 0.

8)D´emontrer finalement que l"on aA= End(E).

Ane peut pas ˆetre r´eduit `a l"endomorphisme nul, pour lequel tout sous-espace est stable. D"apr`es

la question 7), le minimum des rangs des endomorphismes non nuls deAest 1. AinsiAcontient un endomorphisme de rang 1, et d"apr`es la question 6 on aA= End(E).

Partie III

Soitnun entier≥1. On appelle d´erivation deMn(C) toute application lin´eaireddeMn(C)dans M n(C)telle que, pour tousXetY?Mn(C), on ait d(XY) =d(X)Y+Xd(Y).

1]SoitA?Mn(C); d´emontrer que l"applicationdAdeMn(C)dansMn(C)d´efinie par

d

A(X) =AX-XA ,

est une d´erivation.

L"applicationdAest clairement lin´eaire, et

d A(XY) =AXY-XY A= (AX-XA)Y+X(AY-Y A) =dA(X)Y+XdA(Y).

2)Dans cette question, on se propose de d´emontrer que toute d´erivation deMn(C)est de la forme

ci-dessus. a)Soitd: Mn(C)→Mn(C)une d´erivation. D´emontrer que l"applicationρdeMn(C)dansM2n(C) d´efinie par

ρ(X) =µX d(X)

est un morphisme unitaire d"alg`ebres. 4

L"applicationρest lin´eaire cardest lin´eaire. En appliquant la formule de d´erivation au produit1n1n,

on trouved(1n) = 2d(1n), d"o`ud(1n) = 0 etρ(1n) =12n. Enfin

ρ(XY) =µXY d(XY)

=µXY Xd(Y) +d(X)Y

µX d(X)

Y d(Y)

=ρ(X)ρ(Y). b)D´emontrer qu"il existe une matrice inversibleP=µA B o`uA,B,C,Dappartiennent `a M n(C), telle que l"on ait, pour toutX?Mn(C),

P ρ(X) =µX0

P . D"apr`es la question I.2.e, on peut trouver une base deC2ndans laquelle, pour toutX?Mn(C), la matrice deρ(X) est diag(X,X). SiP=µA B est l"inverse de la matrice de changement de base, on a doncP ρ(X)P-1= diag(X,X), soit encoreP ρ(X) = diag(X,X)P c)Conclure. En comparant les blocs, il vient pour toutXde Mn(C) :AX=XA,CX=XC,Ad(X)+BX=XB etC d(X) +DX=XD. On en d´eduit queAest une matrice scalairea1n, et qued(X) =-a-1BX-

X(-a-1B). En conclusion,d=d-a-1B.

Partie IV

Soitnun entier≥1, Pour toute matriceM?Mn(C), on noteTr(M)la trace deM, somme des coefficients diagonaux deM.

1) a)D´emontrer que l"application deMn(C)×Mn(C)dansCd´efinie par

ψ(X,Y) = Tr(XY),

est une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee.

Il est clair queψest bilin´eaire, sym´etrique car Tr(XY) = Tr(Y X). Montrons que le noyau deψest

r´eduit `a{0}. SoitX= (xi,j)?Mn(C) tel que Tr(XY) = 0 pour toutY?Mn(C). En particulier, pour Y=Ej,ion axi,j= Tr(XEj,i) = 0 et doncX= 0. On conclut queψest bien une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee. b)D´emontrer que, si(X1,...,Xn2)est une base de l"espace vectorielMn(C). il existe une autre base (X?1,...,X?n2)deMn(C)telle que, pour tous entiersietjcompris entre1etn2, on ait

ψ(Xi,Xj) =δi,j(symbole de Kronecker).

Puisqueψest non d´eg´en´er´ee, l"application lin´eaireX?→(Y?→ψ(X,Y)) est un isomorphisme de

M

n(C) sur son dual. Soit (X?1,...,X?n2) l"image r´eciproque par cet isomorphisme de la base duale de

(X1,...,Xn2). Alors on a bienψ(Xi,X?j) =δi,j. 5

2)D´emontrer que, pour toute matriceA?Mn(C), on a

X iAX?i= Tr(A)1n. SoitP= (pi,j) la matrice de passage de la baseB= (X1,...,Xn2) `a la baseC= (Y1,...,Yn2) de M n(C), de sorte queYj=Pn2 i=1pi,jXi. SoitP?la matrice de passage de la baseB?= (X?1,...,X?n2) `a la baseC?= (Y?1,...,Y?n2) (toutes deux donn´ees par la question 1b). Pour toutes matricesAetBde M n(C), on doit avoir tγ δ?=ψ(A,B) =tαβ?=t(Pγ)P?δ?=tγtP P?δ?,

o`uαetβ?(resp.γetδ?) sont les vecteurs colonnes des coordonn´ees deAetBdans les basesBetB?

(resp.CetC?). DoncP?=tP-1. SiP-1= (qi,j), on a ainsiY?j=Pn2 i=1qj,iX?i.

Calculons maintenant

n 2X j=1Y jAY?j=n 2X j=10 (n 2X i=1p i,jXi)A(n 2X k=1q j,kX?k)1 A n 2X i=1n 2X k=1(n 2X j=1p i,jqj,k)XiAX?k=n 2X i=1n 2X k=1δ i,kXiAX?k n 2X i=1X iAX?i.

Ce calcul montre que la matrice

Pn2 i=1XiAX?ine d´epend pas du choix de la baseBde Mn(C). On peut

donc la calculer pour la base form´ee par lesEi,j, en remarquant queψ(Ei,j,Ek,?) =δj,kδi,?. On obtient

donc, siA= (ai,j) : n 2X i=1X iAX?i=nX i=1n X j=1E i,jAEj,i=nX i=1n X j=1a j,jEi,i= Tr(A)1n. [Je ne suis pas satisfait de cette r´eponse calculatoire.]

Partie V

On consid`ere dans cette partie un sous-groupeGdeGL(n,C)ayant la propri´et´e suivante : (P) Il existe un entierm≥1tel que l"on aitgm=1npour toutg?G.

On fixe l"entierm.

1)D´emontrer que chaque ´el´ementgdeGest diagonalisable. Que peut-on dire de ses valeurs propres

Chaque ´el´ementgdeGadmet comme polynˆome annulateurXm-1 qui est scind´e surC`a racines

simples. Doncgest diagonalisable. Sers valeurs propres figurent parmi les racinesm-`emes de l"unit´e.

2)D´emontrer que l"ensemble{Tr(g), g?G}est fini,

Sigest dansG, sa trace est une somme denracinesm-`emes de l"unit´e. Or de telles sommes sont en nombre fini, certainement major´e parmn. 6

3)On suppose, dans cette question, que l"ensembleG, consid´er´e comme ensemble d"endomorphismes

deCn(en identifiantMn(C)etEnd(Cn)), est irr´eductible. a)D´emontrer que l"ensembleGcontient une base de l"espace vectorielMn(C).

Le sous-espace vectoriel de M

n(C) engendr´e parGest une sous-alg`ebre unitaire de Mn(C), carG

contient1net est stable par produit. NotonsC[G] cette alg`ebre. SiGest irr´eductible, alors l"alg`ebre

C[G] l"est aussi, et d"apr`es II.8 on a doncC[G] = Mn(C). par cons´equent,Gengendre Mn(C) et en contient une base. b)D´emontrer que l"ensembleGest fini (on pourra utiliser les questions (IV.l) et (V,2)). Soit (X1,...,Xn2) une base de Mn(C) contenue dansG, et (X?1,...,X?n2) la base obtenue comme en

IV.1.b. Soitg=Pn2

i=1λiX?iun ´el´ement deG. Alors chaqueλi= Tr(Xig) appartient `a l"ensemble fini des traces d"´el´ements deG. DoncGest fini.

4)Dans cette question, on ne suppose plus que l"ensembleGsoit irr´eductible.

a)D´emontrer qu"il existe des entierspetq, avecp+q=n, et une base de l"espace vectorielCndans laquelle chaque ´el´ementgdeGs"´ecrit par blocs

µT(g)U(g)

o`uT(g)?Mp(C)etV(g)?Mq(C).

Visiblement, la question devrait ˆetre pos´ee avec 0< p < n(sinon on pourrait toujours prendrep= 0

ouq= 0), et on doit supposerGnon irr´eductible. PuisqueGn"est pas irr´eductible, il existe un sous-

espaceEdeCn, diff´erent de{0}et deCn, et stable par tous les ´el´ements deG. Fabriquons alors une

base deCnen compl´etant une base deE. Dans cette base, la matrice de n"importe quel ´el´ementgdeG

s"´ecrit par blocsµT(g)U(g) o`uT(g) est une matrice carr´ee de taille la dimensionpdeE, etV(g) de tailleq=n-p. b)PosonsG1={g?G, T(g) =1p}etG2={g?G, V(g) =1q}. D´emontrer queG1etG2sont des sous-groupes distingu´es deG.

D´eterminerG1∩G2.

D"apr`es les propri´et´es de la multiplication par blocs, les applicationsg?→T(g) etg?→V(g) sont

des morphismes de groupes deGdans GL(p,C) et GL(q,C). Leurs noyauxG1etG2sont donc des sous-groupes distingu´es deG. Sigappartient `aG1∩G2, sa matrice dans la base choisie au a) est

µ1pU(g)

et la matrice degm=1nestµ1pmU(g) On en d´eduitU(g) = 0 etg=1n. DoncG1∩G2={1n}. c)SoientKun groupe etHun sous-groupe deK. L"indice deHdansKest le cardinal de l"ensemble quotientK/H.´Etablir le r´esultat g´en´eral suivant : SoientKun groupe,K1etK2des sous-groupes distingues deK, tous deux d"indice fini dansK; alors l"indice deK1∩K2dansKest fini, L"inclusion deK1dansKinduit un morphisme injectifK1/(K1∩K2)→K/K2. CommeK/K2est fini, K

1/(K1∩K2) aussi. L"application identique deKinduit un morphisme sujectifK/(K1∩K2)→K/K1

7

dont l"image et le noyauK1/(K1∩K2) sont finis. DoncK/(K1∩K2) est fini. On peut mˆeme voir que

l"indice deK1∩K2dansKest un diviseur du produit des indices deK1et deK2. d)Conclure.

On montre par r´ecurrence surnqueGest fini. L"hypoth`ese de r´ecurrence est que pour tout entier

strictement positifp < n, tout sous-groupe de GL(p,C) v´erifiant la propri´et´e (P) est fini. SoitGcomme

dans le pr´eambule de cette partie. Ou bienGest irr´eductible et donc fini d"apr`es 3b. Ou bienGn"est

pas irr´eductible, et alors d"apr`es b) on a deux sous-groupes distingu´esG1etG2deG, d"intersection{1}.

De plusG/G1est isomorphe `a l"image deGparTdans GL(p,C), et est donc fini d"apr`es l"hypoth`ese de

r´ecurrence. Il en est de mˆeme pourG/G2. On en d´eduit que l"intersection{1}deG1etG2est d"indice

fini dansG, ce qui veut dire queGest fini.

Partie VI

Soientnetmdes entiers≥1. SoientA?Mn(C)etB?Mm(C); on d´efinit la matriceA?B? M nm(C)par A?B=0 B @a

1,1B a1,2B···a1,nB

a n,1B an,2B···an,nB1 C A

1)D´emontrer que l"applicationφdeMn(C)×Mn(C)dansMnm(C)d´efinie parφ((A,B) =A?Best

bilin´eaire et satisfait `a (A?B)(A??B?) =AA??BB? pour toutes matricesA,A??Mn(C),B,B??Mm(C).

L"applicationφest bilin´eaire carA?→ai,jest lin´eaire de Mn(C) dansCet l"application (a,B)?→aB

bilin´eaire deC×Mm(C) dans Mm(C). On v´erifie (A?B)(A??B?) =0 B @a

1,1B···a1,nB

a n,1B···an,nB1 C A0 B @a ?1,1B?···a?1,nB? a ?n,1B?···a?n,nB?1 C A 0 B @(Pn j=1a1,ja?j,1)BB?···(Pn j=1a1,ja?j,n)BB? (Pn j=1an,ja?j,1)BB?···(Pn j=1an,ja?j,n)BB?1 C A =AA??BB?

2)D´emontrer que l"image de l"applicationφengendre l"espace vectorielMnm(C).

Pour s"y retrouver, on note (Ei,j) la base standard de Mn(C), (Fi,j) celle de Mm(C) et (Gi,j) celle de

M nm(C). On remarque que E i,j?Fk,?=Gm(i-1)+k,m(j-1)+? et quem(i-1) +k(resp.m(j-1) +?) prend toutes les valeurs enti`eres de 1 `anmquandi(resp.k) parcourt l"ensemble{1,...,n}etj(resp.?) l"ensemble{1,...,m}. L"image deφcontient une base de M nm(C) et engendre donc cet espace.

On suppose d´esormaisn=m.

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