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Comment définir un algorithme récursif?
Un algorithme est dit récursif lorsqu’il est défini en fonction de lui-même. Dans le cadre de ce cours, nous ne nous intéresserons qu’aux programmes et algorithmes récursifs. Mais la notion de définition récursive est beaucoup plus générale : en mathématiques : définition de l’exponentielle : ? x ? R, f 0 ( x) = f ( x) et f (0) = 1.
Qu'est-ce que la récursivité solution?
Fiche TD N° 01.2 : La Récursivité solution . 1. Qu’est ce que la récursivité ? Tout objet est dit récursif s’il se définit à partir de lui-même Ainsi, une fonction est dite récursive si elle comporte, dans son corps, au moins un appel à elle-même 2.
Quel est l’algorithme d’une fonction récursive de dérivation?
Voici (une esquisse) de l” algorithme d’une fonction récursive de dérivation (nommée ici derivee ). sinon si … 2.2.4. Exemple 3 : Les tours de Hanoï ¶ Et voici un algorithme récursif pour résoudre le problème des tours de Hanoi. Cet algorithme est celui d’une fonction nommée hanoi à trois paramètres
Comment prouver la terminaison d'un algorithme récursif ?
Dans le cas des algorithmes récursifs, ces méthodes sont spécifiques. Pour prouver la terminaison d'un algorithme récursif, la méthode la plus usuelle est la suivante: chacun des ensembles dans lesquels les paramètres prennent leurs valeurs sont équipés d'une relation d'ordre.
Puissance nieme d'un nombre [rc02] - Exercice
Karine Zampieri, Stephane Riviere
UniscielalgoprogVersion 21 mai 2018
Table des matieres
1 Puissance nieme d'un nombre / pgpuissance
21.1 Puissance na
ve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Strategie basee sur la parite
31.3 Autre strategie basee sur la parite
31.4 Fonction iterative
51.5 Programme de test
52 References generales
6 alg - Puissance nieme d'un nombre (Solution)Mots-ClesRecursivite des actionsRequisSchema iteratif
Diculte• • ◦(30 min)Objectif
Cet exercice calcule recursivement la puissancexnd'un reelxpar un entiern≥0de plusieurs manieres. Dans le m^eme ordre d'idees, l'exercice @[Fonction produit] calcule recursivement le produita·nd'un reelapar un entiern≥0de plusieurs manieres. 1 Unisciel algoprog { Puissance nieme d'un nombre [rc02]21 Puissance nieme d'un nombre / pgpuissance
1.1 Puissance na
veSoient un reelxet un entiern≥0.
L'idee la plus simple pour le calcul dexnconsiste a utiliser : x n=? ?1sin= 0 x·xn-1sinon Ecrivez une fonction recursivepuiss1(x,n)qui calcule et renvoie la puissance d'un reelx| aveclstinlinen@ entier positif) a partir de la denition par recurrence.Validez votre fonction avec la solution.
Solution alg@[pgpuissance.alg]Fonctionpuiss1Rec( x : Réel; n : Entier;y : Réel) : RéelDébut|Si(n = 0 ) Alors| |Retourner(y ) |Sinon| |Retourner(puiss1Rec ( x , n - 1 , x * y ) ) |FinSiFin
Fonctionpuiss1( x : Réel; n : Entier) :RéelDébut|Retourner(puiss1Rec ( x , n , 1 ) ) FinSolution commentee
La fonctionpuiss1Recest recursive terminale.Combien y a-t-il d'appels recursifs?Solution simple
Le nombre d'appels recursifs estn.
Unisciel algoprog { Puissance nieme d'un nombre [rc02]31.2 Strategie basee sur la parite
La propriete suivante accelere le calcul :
x n=? ??1sin= 0 (xndiv2)2sinpair x·xn-1sinon Ecrivez une fonctioncarre(x)qui renvoie le carre dex(reel). Ecrivez une fonction recursivepuiss2(x,n)qui calcule et renvoie la puissance d'un reelx (avecnentier positif) comme decrit ci-avant.Validez votre fonction avec la solution.Solution alg@[pgpuissance.alg]Fonctionpuiss2( x : Réel; n : Entier) :RéelDébut|Si(n = 0 ) Alors| |Retourner( 1 )|Sinon| |Si(Modulo ( n , 2 ) = 0 ) Alors| | |Retourner(Carr é (puiss2 ( x , DivEnt ( n , 2 ) ) ) ) | |Sinon| | |Retourner(x * Carr é (puiss2 ( x , DivEnt ( n - 1 , 2 ) ) ) ) | |FinSi|FinSiFin
1.3 Autre strategie basee sur la parite
Une autre facon d'accelerer signicativement le calcul de la puissance (en le ramenant a au plus2log2n) est la propriete suivante : x n=? ??1sin= 0 (x2)ndiv2sinpair x·xn-1sinon Par exemple, on calculex10en quatre multiplications au lieu de 9 : x10= (x2)5=x2?(x2)4?=x2((x2)2)2
Unisciel algoprog { Puissance nieme d'un nombre [rc02]4 Ecrivez une fonction recursivepuiss3(x,n)qui calcule et renvoie la puissance d'un reelx (avecnentier positif) en appliquant la relation ci-dessus.Validez votre fonction avec la solution.Solution alg@[pgpuissance.alg]Fonctionpuiss3Rec( x : Réel; n : Entier;y : Réel) : RéelDébut|Si(n = 0 ) Alors| |Retourner(y ) |Sinon| |Si(Modulo ( n , 2 ) = 0 ) Alors| | |Retourner(puiss3Rec ( x * x , DivEnt ( n , 2 ) , y ) ) | |Sinon| | |Retourner(puiss3Rec ( x , n - 1 , x * y ) ) | |FinSi|FinSiFin
Fonctionpuiss3( x : Réel; n : Entier) :RéelDébut|Retourner(puiss3Rec ( x , n , 1 ) ) FinSolution commentee
La fonctionpuiss3Recest recursive terminale.Donnez la suite des transformations de(x,n,y)pour le calcul de58puis le calcul de57.
Concluez.Solution simple
Le cas beneciant de la plus forte acceleration est celui ou l'exposant est une puissance de 2. Voici la suite des transformations de(x,n,y)pour le calcul de58(en trois operations au lieu de 8) :(5,8,1) -> (25,4,1) -> (625,2,1) -> (390625,0,1) La situation est moins favorable quand l'exposant n'est pas une puissance de 2 : le calculde57se fait en 5 operations, soit moins de2log27:(5,7,1) -> (5,6,5) -> (25,3,5) -> (25,2,125) -> (625,1,125) ->
(625,0,78125) Cet algorithme est decrit dans leChandah Sutra d'Acharya Pingala(ecrit avant 200 ans avant J.C.). Unisciel algoprog { Puissance nieme d'un nombre [rc02]51.4 Fonction iterative
La fonction du probleme precedent etant recursive terminale, Ecrivez une fonction iterativepuiss4(x,n), equivalente a la version recursive terminale puiss3 x n ), en remplacant la liste des parametres des appels recursifs par des aectations appropriees.Validez votre fonction avec la solution.Solution alg@[pgpuissance.alg]Fonctionpuiss4( x : Réel; n : Entier) :RéelVariabley: RéelDébut|y <- 1
|TantQue(n <> 0 ) Faire| |Si(Modulo ( n , 2 ) = 0 ) Alors| | |x <- x * x nDivEnt
n , 2 ) | |Sinon| | |y <- x * y n n - 1 | |FinSi|FinTantQue|Retourner(y ) Fin1.5 Programme de test
Ecrivez un algorithme qui saisit un reel et un entier puis calcule et ache le resultat de chacune des fonctions. Unisciel algoprog { Puissance nieme d'un nombre [rc02]6Testez. Exemple d'execution :Puissance
x ? 5 Ordre n ? 7 puiss1 x n vaut 78125puiss2 x n vaut 78125
puiss3 x n vaut 78125
puiss4 x n vaut 78125
Validez votre algorithme avec la solution.
Solution alg@[pgpuissance.alg]AlgorithmepgpuissanceVariablex: RéelVariablen: EntierDébut|Afficher(" Puissancex ?" ) |Saisir(x ) |Afficher(" Ordren ?" ) |Saisir(n ) |Afficher(" ==>puiss1 (x,n)vaut " , puiss1 ( x , n ) ) |Afficher(" ==>puiss2 (x,n)vaut " , puiss2 ( x , n ) ) |Afficher(" ==>puiss3 (x,n)vaut " , puiss3 ( x , n ) ) |Afficher(" ==>puiss4 (x,n)vaut " , puiss4 ( x , n ) ) Fin
2 References generales
Comprend[Divay-CC1 :c1 :xm5]
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