[PDF] [PDF] Equations différentielles - Exo7 - Exercices de mathématiques

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Enoncés : M. Quéffelec, V. Mayer, T. Tahani, F. Sarkis

Corrections : F. SarkisExo7

Equations différentielles

Exercice 1

1.

Pour chacune des équations sui vantesoù y=y(x)est rélle de variable réelle, décrire les solutions en

précisant leur intervalle maximal de définition et dessiner les trajectoires: (i)y0=ey(ii)y0y=ex(iii)xy02y=0: 2. Quelles sont les courbes isoclines de l"équation y0=y2x; en déduire l"allure des trajectoires.

On considère l"équation

x

0=3x2=3:(1)

avec condition initialex(0) =0. 1. Soit june solution de(1)définie surRtelle quej(0) =0; on posel=infft60;j(t) =0g6+¥.

Montrez quejest identiquement nulle sur(l;m).

2. Montrer que jvaut(tl)3sit6l, 0 sur[l;m]et(tm)3sit>m; en déduire toutes les solutions maximales de(1)définies surRavecx(0) =0. On considère l"équation différentiellex0=jxj+jtj. 1. Montrez que pour tout réel x0, il existe une solution maximale(j;J)telle quej(0) =x0. 2.

Détermner la solution maximale correspondant à x0=1, en distinguant les cast>0 ett<0, et vérifiez

qu"elle est définie surRtout entier. Combien de fois est-elle dérivable?

Soitf:R2!Rdonnée parf(t;x) =4t3xt

4+x2si(t;x)6= (0;0)etf(0;0) =0. On s"interesse à l"équation

différentielle x

0(t) =f(t;x(t)):

1.

L "applicationf, est-elle continue ? est-elle localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable ?

Que peut-on en déduire pour l"équation(2)?

2.

Soit june solution de(2)qui est définie sur un intervalleIne contenant pas 0. On définit une application

psiparj(t) =t2y(t);t2I. Déterminer une équation différentielle(E)telle queysoit solution de cette

équation, puis résoudre cette équation(E). 3.

Que peut- onen déduire pour l"e xistenceet l"unicité de l"équation dif férentielle(2)avec donnée initiale

(t0;x0) = (0;0) 1

Soit l"équation différentielle

x

000xx00=0

oùxest une application trois fois dérivable, définie sur un intervalle ouvert deRet à valeurs dansR.

1.

Mettre cette équation dif férentiellesous la forme canonique y0(t) =f(t;y(t)), oùfest une application

que l"on déterminera. 2.

Soient t0;a;b;c2R. Montrer qu"il existe une unique solution maximalejde l"équation(3)qui satisfasse

aux conditions initiales j(t0) =a;j0(t0)etj00(t0) =c: 3. Soit june telle solution maximale. Calculer la dérivée de la fonction t!j00(t)exp Z t t

0j(u)du

En déduire que la fonctionjest soit convexe, soit concave sur son intervalle de définition. Déterminer

jdans le cas oùj00(t0) =0.

On considère l"équationxx00= (x0)2+1 surR.

1.

Montrer que, x06=0 etx00étant donnés dansR, il existe une unique solutionjdéfinie au voisinage de 0,

telle quej(0) =x0etj0(0) =x00. 2. Si deplusx006=0, onpeutsupposerquejestunC1-difféomorphismed"unvoisinagede0surunvoisinage

dex0(pourquoi ?); on noteyl"application réciproque et on posez(x)=j0(y(x)). Calculezz0(x), trouver

l"équationb satisfaite parzet expliciterz; en déduire une expression dej. 3. Quelle est la solution jde léquation telle quej(0) =x06=0 etj0(0) =0.

Correction del"exer cice2 N1.Soit lnetmndeux suites de points tels quej(ln) =j(mn) =0 et convergeant respectivement versl

etm, il reste à montrer quejest nulle sur chaque interval[ln;mn]. Soitcun extremum dejsur cet interval, on a alors necessairementj0(c) =0 et donc 3c2=3=0 et doncc=0 et doncj(c) =j(0) =0.

Par conséquent le sup et le min dejsur[ln;mn]sont nuls et doncjest aussi nulle sur cet intervalle. En

passant à la limite, on a prouvé quejest nulle sur]l;m[. 2.

On vérifiequelessolutionsproposéesvérifientl"équationdifférentielle(1). Lafonctionx2=3estlipschitzienne

par rapport àxdès quex6=0. Sij2est une solution maximale surRvérifiantj2(0) =0, il existe alors

nécessairementl;m(définis précédement) tels quej2est nulle sur]l;m[. Par continuité de la solution

elle vérifiej(l)=j(m)=0. Mais alorsj02j=0 est doncj2=j+KoùKest une constante donnée.

Du fait quej2(l) =j(l)+K=0+K=0, on aK=0 ce qui termine la démonstration.Correction del"exer cice3 N1.Soit f:RR!Rtelle quef(t;x) =jxj+jtj.fest continue et Lipschitzienne par rapport à la seconde

variable. En effet, jf(t;x)f(t;y)j=jjxjjyjj6jxyj: Remarquons quex0>0 pour touttet que pour tout point(0;x0passe une solution maximale unique (j;J). 2.

Prenons x0=1, lorquet>0; l"équation devient

x

0t() =x(t)+t

carjtj=tetx(t)>x(0)>0;x(0) =1. Elle admet comme solution sur[0;+¥[avecj(0) =1 j(t) =2ett1: Lorsquet<0, on distingue deux cas: premier casx(t)>0;x0=t+x(t)et alorsx(t) =cet+t+1 avecx(0) =1 d"oùc=0 etj(t) =t+1. Cela n"est valable que lorsquej(t)>0, c"est à diret>1. Doncj(t) =t+1 sur[1;1]. Deuxième cas:x(t)60, ceci a lieu lorsquet61 carjcroissante et j(1) =0. Nous avons alorsj0(t) =tj(t). D"oùj(t) =cett+1 orj(1) =ce+2=0 d"où c=2e1etj(t) =2et+1t+1 sur]¥;1]. La solution maximale vérifiantj(0) =1 est la suivante: j(t) =0 @2ett1 sur[0;+¥[ t+1 sur[1;0]

2e(t+1)t+1 sur]¥;1]1

A j

0(t) =0

@2et1 sur]0;+¥[

1 sur]1;0[

2e(t+1)1 sur]¥;1[1

A En étudiant les limites dej0aux point 0 et1, on voit quej0est continue surR. j

00(t) =0

@2etsur]0;+¥[

0 sur]1;0[

2e(t+1)sur]¥;1[1

A jn"est donc pas deux fois dérivable en 0 et1.Correction del"exer cice4 Nf(t;x) =4t3xt

4+x2(si(t;x)6= (0;0)) est de classeC¥en tant que quotient, somme et produit de fonctionsC¥.

3

1.jf(t;x)j=j2tj:j2t2x=(t2)2+x2j62jtj !(t;x)!00=f(0;0).fest donc continue en(0;0).fn"est pas localement

lipschitzienne au voisinage de(0;0)car sinon il existeraitk;a;b2Rtels quet2]a;a[,x2]b;b[et jf(t;x)f(t;0)j6kjx0j

D"où

4t3xt

4+x26kx)4t3t

4+x26k!4t

6k;8t2]0;a[ce qui est absurde. Nous ne pouvons pas appliquer

Cauchy-Lipschitz.

2.(j;I)solution de(2)avec 062I,

y(t) =t2j(t))y0(t) =t2j0(t)2t3j(t) y

0(t) =4t2t3j(t)t

4+j2(t)2t1y(t)

d"où en exprimant tout en fonction dey: y

0(t)(1+y2(t))y(t)(1y(t))(1+y(t))=2t

Or y

0(t)(1y(t)+11y(t)11+y(t)) =2t

En intégrant par rapport àton obtient:

lnjy(t)1y2(t)j=ln(t2)+c d"où y(t)1y(t)=ct2: y(t)vérifie est donc une racine de l"équation ct

2y2(t)+y(t)ct2=0

et donc y(t) =1p1+4c2t42ct2

d"oùj=1p1+4c2t42c.Correction del"exer cice5 N1.Posons y1=x,y2=x0=y01,y3=x00=y02. L"équationdevienty03y1y3=0etdoncenposantf(t;y1;y2;y3)=0

@y 2 y 3 y 1y31 A l"équation s"écrit 0 @y01y02y031 A =f(t;y1;y2;y3):

2.fétant de classeC¥, elle est lipschitzienne par rapport à la deuxième variable(y1;y2;y3)et donc le

théorème de Cauchy-Lipschitz permet de conclure. 3.

La déri véede la fonction donnée est nulle. P arconséquent, elle est constante et donc, l"e xponentielle

étant strictement positive, le signe dej00est constant. Si cette constante est strictement positive,jest

convexe, si elle est strictement négative,jest concave. Si elle est nullej00=0 et doncj(t) =at+b

qui est bien une solution de l"équation différentielle et vérifiej00(t0) =0. L"unicité montre que toutes les

solutions qui vérifientj00(t0) =0 sont bien de la formeat+b.4quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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