[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Enoncés : Stephan de Bièvre

Corrections : Johannes HuebschmannExo7

Différentielles et dérivées partielles secondes

Exercice 1

Calculerlesdifférentiellessuivantes, sanscalculerdesdérivéespartielles, enutilisantlespropriétésdesdifférentielles

de sommes, produits et composées: (a)d(ln(xy)) (b)d(xyz(1+sinh(yz))) (c)dsin(x2y)exy 1.

Y a-t-il une fonction g:R2!Rtelle que

dg=x2y2dx+x3ydy? 2. T rouverles fonctions b:R2!Rtelles qu"il existeg:R2!Rsatisfaisant à la condition dg=x2y2dx+b(x;y)dy: Étant donnée alors la fonctionb, déterminer toutes les fonctionsgcorrespondantes. Soitg:R>0R>0!Rune fonction de classeC1telle queg(1;1) =3 et dont la différentielle vaille dg= (2xy+y2)dx+(x2+2xy)dy:(1) Soit h:R>0R>0!R>0R>0 l"application de classeC1définie par h(x;y) = (u(x;y);v(x;y)) = (x2y;xy2)2R>0R>0: 1.

Calculer d u+dv.

2. Déterminer gà partir du calcul précédent et (1), et sans autre calcul. 3. Montrer que hest une bijection. (On pourra calculer explicitementh1.) 4.

Déterminer e xplicitementd (gh1).

5. Calculer les matrix esjacobiennes Jh(x;y)etJh1(u;v)et vérifier par un calcul direct que J h(x;y)Jh1(h(x;y)) =I2; oùI2est la matrice identité d"ordre 2. 1

Calculer les matrices hessiennes des fonctionsfdéfinies par les expressions suivantes sur leur domaine de

définition naturel: sin(xyz);sin2(y=x): Soitf:R2nf(0;0)g !Rune fonction de classeC2et soientretqles coordonnées polaires standard dans le plan de telle sorte que l"association ]0;+¥[]0;2p[!R2nf(0;0)g;(r;q)7!(x;y) = (rcosq;rsinq); soit un changement de variables. SoitFla fonction définie par

F(r;q) =f(rcosq;rsinq):

C"est "l"expression defen coordonnées polaires". Montrer que

2(r;q):(2)

Cette formule calcule "le Laplacien en coordonnées polaires." L"exercice ne dépend pas de la connaissance du

Laplacien cependant.

Les variables étant notéesxett, trouver la solution généralef:R2!Rde "l"équation des ondes", à savoir

Trouver ensuite la solution unique de l"équation des ondes qui satisfait aux conditions initiales Indication pourl"exer cice1 NUtiliser les règles d(f+g) =d f+dg; d(fg) =fdg+gd f;

d(fh) = (f0h)dh:Indication pourl"exer cice2 NSoienth,u,vdes fonctions des deux variablesxety. Rappeler que

dxdy;

dxdy=dydx:Indication pourl"exer cice3 NOn va déterminer une primitive d"une forme différentielle de degré 1 par un changement de variables tel que,

dans les nouvelles variables, la primitive soit presque évidente.Indication pourl"exer cice4 NRappeler que la matrice hessienne est la matrice constituée des dérivées partielles secondes.

Indication pour

l"exer cice

5 N1.Montrer que

2.

Montrer que

r 3.

Montrer que

4.

Utiliser ces résultats, puis calculer encore un peu pour obtenir le résultat souhaité. Indication pourl"exer cice6 N1.Grace au changement de v ariables

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