[PDF] Olympiades Mathématiques Belges

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Olympiades

Math´ematiques

Belges

Recueildequestions

Soci´et´eBelgedes

ProfesseursdeMath´emati que

d'expressionfran¸caise

62003-2006

62003-2006

OlympiadesMath´ ematiquesBelges

Olympiades

math´ematiques belges

Recueildequestions 2003-2006

collationn´eparP.Dupont Soci´et´ebelgedesprofesseursdemath´ema tique d'expressionfr an¸caise 6 2

Tabledesmati` eres

1Pr´ eface5

1.1L'Olympiad emath´ematiquebelge ........... ......7

1.2Tab leaudesparticipationssuccessives ... ........ ...13

1.3L'Olympiad emath´ematiqueinter nationale......... ...14

1.4LaSBPM ef. ......... ... .. ... ... ... ... ..15

1.5Conv entionsutilis´ees....... .............. ... 17

2

Eliminatoiresetdemi-finalesmiNi19

2.1Tab leaudereconstitutiondesquest ionnaires. ..........20

2.2Arithm ´etique&alg`ebre........ .. ......... ... 21

2.3G ´eom´etrie............... ... .. ... ... ... .40

2.4Logique ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ..58

2.5Comb inatoire&probabilit´es... ... ..............58

2.6Probl `emes&divers.......... ... ...... .. ... .59

2.7Tab ledesr´ep onses...... ...................66

3

Eliminatoiresetdemi-finalesmiDi 67

3.1Tab leaudereconstitutiondesquest ionnaires. ..........68

3.2Arithm ´etique&alg`ebre........ .. ......... ... 69

3.3G ´eom´etrie............... ... .. ... ... ... .87

3.4Logique ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ..110

3.5Comb inatoire&probabilit´es... ... ..............111

3.6Probl `emes&divers.......... ... ...... .. ... .112

3.7Tab ledesr´ep onses...... ...................118

4

Eliminatoiresetdemi-finalesmaXi 119

4.1Tab leaudereconstitutiondesques tionnaires ........... 120

3

4Tabledesmati`eres

4.2Arithm ´etique&alg`ebre....... ... ......... ... 121

4.3G´ eom´etrie&trigonom´etrie.......... ... .......135

4.4An alyse..... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 152

4.5Logique ..... ... ... ... ... ... ... .. ... ... 162

4.6Comb inatoire&probabilit´es.. ... ...............163

4.7Probl `emes&divers........... .. ...... ... ... 167

4.8Tab ledesr´epon ses....... ..................174

5Finalesm iNi175

5.1Finale 2003.... ..... ... ... ... ... ... ... .. 175

5.2Finale 2004.... ...... ... .. ... ... ... ... ..176

5.3Finale 2005.... ...... ... ... .. ... ... ... ..176

5.4Fi nale2006... ...... ... ... ... .. ... ... ... 178

6Finales miDi181

6.1Finale 2003.... ...... ... .. ... ... ... ... ..181

6.2Finale 2004.... ...... ... ... .. ... ... ... ..182

6.3Fi nale2005... ...... ... ... ... .. ... ... ... 182

6.4Fi nale2006... ...... ... ... ... ... .. ... ... 183

7Finalesm aXi185

7.1Finale 2003.... ...... ... .. ... ... ... ... ..185

7.2Finale 2004.... ...... ... ... .. ... ... ... ..186

7.3Fi nale2005... ...... ... ... ... .. ... ... ... 187

7.4Fi nale2006... ...... ... ... ... ... .. ... ... 188

Chapitre1

Pr´eface

Commesespr´ ed´ecesse urs,cesixi`emerecueildequestionsdesOlympiades math´ematiquesbelges(2003-2006),est´edit´e dansundoublebut. Lepre mierestdefourniraux enseignantsducours demath ´ematiquesainsi qu'`aleurs´el`ev es,une quantit´eimportantedequestionspouvants'int´egr erd ans lescours dispens´e s.C'estpourquoiles720questionsdes´elimi natoires etdes demi-finales,bienqueres tants´epar´ees selonlest roiscat´egoriesmiNi,miDi et maXi,ont ´et´eregroup´ eesenfonctiondutypedemati` ere(aveclesin´ev itables di cult´esdecegenredeclassemen t)et plac´ ees,autantquep ossible, dansun ordreded i cult´ecroissante. Lede uxi`emeestdepermettre`aquilesouh aitedesep r´eparer` aparticiper`a l'Olympiade.Danscettepe rspective,de stableauxpermetten tdereconstituer facilementlesquestionnaires tels qu'ilsont´et´epropos´ esauxparticipantsde s quatreOlympiades concern´ees. Les48questions pos ´ees lorsdesfinalesconstituentlestroisder nie rscha- pitresdudocumen t. Letextequi faits uite` acepr´eam buleestdeFrancis Buekenhout,le "p`ere» del'Olym piademath´ematiquebelge.Ilc onstitue,tout`alafois,unregardpos´e surune aventureextr aordinairequiad´ebut´een1976 etl'expressiond'une grandeesp´eran ceetd'uneforteconviction:cellequelesj eunesques ontles ´el`evesposs`edenteneuxle sgermesdelacomp´etenceetdu talent. Jecon cluscepetitmot - c'est leplusagr´eable - enremerciantles per- sonnesqu im'ontaid´e dans`alar ´ealisationdecevolume: ClaudeVillers,c he- villeouvri`ere desvolumespr´ec´ edents,quiacettefoise ncoreassur´elep´eni ble 5

6Chapitre1.Pr´eface

travaildeclassementdes question s;ClaudineFestraets,sec r´etairenationale del'Olympiad e,quidactylographiedepui s2004lesquestion nairesetdontj'ai pur ´ecup´ererletravail;etJulesMiewis,quim'a aid´ e`a reconstituerlesfich iers de2003,don tl'origin alavait ´et´eperdu.

PascalDupont

1.1.L' Olympiademath´ematiquebelge7

1.1L'Olympi ademath´ematiquebelge

L'Olympiademath´ematique belgeouO.M.B.estn´eeen1976.Ellea traver s´e sansint erruptiontoutesses´editionsannuellessucc essives.Lesde rni`eresde celles-ciontpermisd'enregistrerp lusde28000in scriptionset environ22000 participantse ectifsenCommun aut´e fran¸caiseetauGrand-Duch´edeLuxe m- bourg. Dequoi rempliru nstadeimportantsionlesr ´eunissait!Ils furentautravai l durantlesmˆem es90minutesaucou rsd'unmˆemeapr`es- midide janvier. Jerec onnaislapaternit´e decette belleorganisationmaisilimportede soulignerquesonp ouvoirorganisateurest laSoci ´et´eBelgedes Professeurs deMath ´ematiqued'expressionfran¸caiseouSBPMefqui compteenviron1200 membres.Ilconvientdesouligner davan tageencorequele suc c`esdel'´epreuve reposeenti`er ementsurunefoulestructur´eedeb´en´evoles. Selonmonestimation prudenteils'agitd'environ400p ersonnes .Desprofesseursqui sechargent d'organiseretdefairep asserleconcours` alabase c'est-`a-dired ansles´ecoles. Cetteobservationn uancemodestementlac´el`ebr eetr´eelled ´emotivationdes enseignants.Ausommetdecetteh i´erarc hieouplutˆotaucen tre, figurentd es responsablesdiversaunombred'unedizain equir´ealisentl'organisation etle fonctionnementparuntravailopiniˆatreetquasiquot idien.Dans cesc as-l`a, onpr´ ef`eresouventnepasciterdenomssouspr ´etextedesoublismaisjeveux m'avancericiencitantdansled ´esord rede spersonnesquiseson tlonguementil- lustr´ees:MariannePotvliege,ClaudineHamoir -Fes traets,Jean-PaulDoi gnon, PascalDupont,Christi anVanHooste,ClaudeVil lers,WillyVanhamme,Lu- cienKie er,M arcDeNeef,Georges Delande, RogerBex,AlfredWar becq , ChristianeVandeputte,PierreV anElsuw´e,MoniqueWilmet,Henr iSt´e- phenne... Lecon cours´evolueentroistourscommeondite ntennis.D'abordl'´ eli- minatoire,puislademi- finaleeten finlafi nale.Lademi-finaleestorganis´ ee dans10centresr ´egio nauxquiontleurs´ equipesderesponsablespropre s.Les responsablesr´egionauxjouentunrˆolecru cialetdi cileenl iaisonav ecles ´ecolesetavecleSecr´e tariatNational.Quelqu es-unsfigurentau nomb redes personnescit´eesci-dess us.Lesdemi-finalesetlesCentr esR´egionauxfurentmis enplacee n1982.Ce sderni` eresann´ ees,lesdemi-fin alesontregroup´eenviron

2500participan tsdurantlesmˆem es90minutesd'unmercrediapr`es- midie n

f´evrier. Quelsfurentetquel ssontlesprin cipesd irecteursdel'O.M.B.? Lepremier gouvernelesautre s.C'estl'imp ortanced esprobl`emesdans l'ac- tivit´emath´ematiquedetout niveauetdetoute´epoque entou tlieu. Cette

8Chapitre1.Pr´eface

importanced´ebordeducadr emath´ematique.JeciteG.Polya( Mathematical

Discovery,1962).

R´esoudreunprobl`eme,c'est chercherunc heminautraversd'une di cult´e,uncheminpourcontou rnerunobstacle ouquipermette d'atteindreunbutqui n'estpasdi rectementacces sible.R´ esoudre desprobl `emesestlepropredel'intelligence,e tl'intelligenceest l'attributpropredelanatu rehumaine:r ´esou dredes probl`emes est l'activit´elaplussp´ecifiq uement humaine. Unepare nth`eses'imposeici.Legrandpublicycomprisses couchesles pluscultiv´ eescontinuent`ar´ep andrefi`erementlest´er´eotypeselon lequell es math´ematiquessontunescienceac hev´ee.Rienn'e stplusfaux.Des centaines demillie rsder´esultatsnouveaux sont publi´eschaqueann´eeet cerythmede productionaconnuunecroissanceacc ´el´ er´eedepuislaRe naissan ce.Ce gigan- tesquechaosque nulnepeut dominer,est fond´esurdesprobl`e mes.Letrai- tementmath´emati qued'informationsconsistenotammentenobservationsde cesinformati onsparlecerveau,avecousans´ echanges entredesi ndividus. L'observationsefaitenformulan tdesqu estions etententant d'yr´epondre.La r´eponsepeutexigerdenouvelle squestionsetain side suite.Certai nesques- tionspeuv entdevenirplussignificativesp arleurpersistance,lasimplicit ´ede leur´enon c´eenvuedem´emorisati onetdetr ansmission,par lesliensqu'elle s ´evoquententredesdomainesplutˆot s´epar´es,etc.Ainsinaissen tdesprobl`eme s. Ila´ et´e ´ecritquelesprobl` emessontlepainquotidiend umath´ematicien.C 'est unfait commun`atoute productionmath´e matiqueet`atou te´ epoque.Une questionpourraitˆe treunprobl`emepourl'e nfantde7ansetd even irtropfa- cile,imm´ ediateunanplustard.Lire33dansla rueestunpr obl` eme`a5ans. Peuapr`es ,ildevientbanal.Peuavant, iles tinaccessible.Chacunestconfron t´e constamment`alar´esoluti ondeprobl` emesm ath´ematiquessoitmodeste ment danslaviequ otidien ne,soitpou rlad´etentesousformedejeu x.Nombreux sontlesmath´em atic iensconvaincusquelesprobl`emesmath´ematiquespeuv ent etdoiv entjouerunrˆoleessen tieldanstouteformation.Nou s´etions quelques- -uns`apartager cetteconvic tionen1976et encore `apr´esent.Maispourquoi faut-ilinsistersi c'esttellemen t´e vident?Ce nel'estpaspourlegrandpub lic. Malheurauprofesseur quip oseraittropdeprob l`emeset surtoutquivoudrait quechacu nenfasse.Ilirait`al'e ncontredu courant´egalitairedominantde plus enplus . Und euxi`emeprincipe`alabasedel'O.M.B. estlaconvictionquel' ´education sedoit d'ˆetre ludique.Pourqu'unindividude8 ansoude65ansprogressedans unpr obl`emeint´eressant ilestpr´ef´erabledestimulersonenthousiasme.Ainsi, l'O.M.B.estunjeu!

1.1.L' Olympiademath´ematiquebelge9

Unt roisi`emeprinciped´ecoulantpour nousdudeuxi`emee stl'int´erˆetdela comp´etition.L'exp´erience´ed ucativesurleterrainmontrequel'enthousiasme peutˆetrestimu l´edemani`ereimportan teparl'id´eedecomp´etition.Onose`a peinel'´ecrire`a notre´epoqueo`ul'id´eedeco mp´etition estdeven ueabusivement exorbitantedanstantd edomainesden osexistenceset` al'oppos´e extirp´eedans ledom ainescolaireaunomdel'´e galitarismeauquelj'aid´ ej `afaitallus ion.S i j'osaisunsarcasme, onpeutc raindrequ'unjouronne fassepl usdemath´ema- tiquesdansnosclas sessouspr´e texteque certainssontav antag´ es.Coll`egues, cen'e stpasunsarcasme!Souscouv ertde math´e matique,onn'o regu`erede probl`emesdansnosclasses.Les b´en´evole squi fontfonctionnerl'O.M.B.etle s jeunesparticipan tsdoiventlesaisirplusoumoinsconsciemment.L'O.M .B. r´epond`aunbesoin troppeuoupass atisf ait. Unquatri `emeprincipequirejointles pr´ec´edentse tquilesd´ eveloppee st depenser nonpas`a quelq ues"anormaux»aimantlesmathsmai s`a tousles enfantsetadolesce nts ,ehoui.Silamath´ematiqueconsistedanssaquintessenc e entraite mentd'informationsparlecerve au,onpeutcroirequ ecette activit ´e constitueunbon entraˆın ementpourc ecerveau,onpeutcroirequecetteac- tivit´eestainsifavorable` alar ´esolution d'autresprobl`emesetonpeut avoir laf aiblessedecroirequecetteactivit´ eest b´en´e fiquepourtous. Quandonde- mande`aquoi serven tlesmathsou qu'ondoutedeleurutilit´eilfautr´epond re parleure cacit´e`aposerdesprobl `emeset`a lesr´esoudre .Encore convient-il quel'enseignementab ordevraimentde sprobl`emes.

Al'O.M. B.en1976,nousallionsdonctenter d'o

rirlajoiedu jeu-comp´e- tition`atoussans forcerpersonne. Uncinq ui`emeprincipe`amesyeux essentielestd'´ec happerau terrorisme desexamens.L'O. M.B.´ev alue.Etdequ ellemani`ereprestigie use pourceux quisortentdulot :´el`ev es,pare nts, profes seurs,´ecoles.Etdequellemani`ere prestigieusepourtous!Lecinqui`em eprincipeestbas´ esurler´ealisme.Com ment faire?S'adresser `adesinscriptionsindividuel les?Pasp ourunecomp´e titionde masse.Tropdi cile`a g´erer.Nousa vonsopt´epourun contactav ecles´ecoles detous r´eseaux.Un pluralismer´eussidanslepouvoi rorgani sateurqu'estla SBPM,dansle sstructuresde l'O.M.B.,dansso nfonctionnementetsurtou t dansl'adh´e siondelabase.S'adresser`atoutesles ´e coles?M aisencore?Nous nepension squ'aux´ecolessecon dairesdetoutes lesfili`eres!P asaux´ecoles primaires.Onpeut certes concevoiruneversi ondel'O.M.B.destin ´eeaux´ecoles primairesmais nousn'´etionspasarm ´epource ttetˆacheet`al'heureactuelle laSBPMef etson"arm´ee»del' O.M.B.nemesemblenttoujou rspasarm ´es pourfranc hircepas.Illeseraprobablement paru neautreinstance.Soi t.Mais commenttouchertou tesles´ecolessecondaires? Ilfallaituneliste d'adresses.

10Chapitre1.Pr´eface

Elle´etaitdisponib ledansunepu blicationduMinist`eredel'

EducationNatio-

nale.Ilfautquec haque´ ecoleparticip antaujeuait unprofesseurresp onsable volontaire.Ilestch arg´e del'inscript iondesconcurrents,ennombrequelconque, der´ eceptionnerlesquestionnaires,defairep asserlepremiertour ,denous communiquerunhistogrammedesr´esultats.Telle ´ecol ep eutavoir400con cur- rents.Telle autrepeutenavoirun seul.Iln'y apasdeclassemento cieldes

´ecolesnimˆemedeclasse mento

cieuxquejesachemaisd esobserv ationsson t possibles.Tousles´el`eves dela1 e `ala6 e

´etaientinvit´esetle sontencore.Le

Secr´etariatNational,uneappellati onquis'e stmainten uemalgr´esoncar act`ere communautaireetl'impressionnantepr´ esen celuxembourgeoise,dresseunhis- togrammeglobalrepr enan tlesr´esultatsdetoutesles ´ecoles etlecommunique `acelle s-ci.Ainsi,chacunpeutsesi tuer.Monclassementserai tparexemple 152
e sur760.P asmal. Etsij'´etais 639 e ?Cen' est qu'unjeuetl'importan t vouslesa vezestde participer.Uneautrefois,j eferaimieu x.Jevoisd'ici votresourirem ´efiant.Et sitricherieilya?R´eponse:siell eexi ste,ellene peutgu`erepermettr edeprofits.Nousn' avonspaslongtempsenvisag´edef aire permuterentreeuxlesprofesseursre sponsables,ded´e signerdesarbitresv oire desinsp ecteurs.L'O.M.B.sebasesurlaconfian ce.Enoutr e,latricheri ene pourraitobtenirauc unb´en´eficesicen'est departiciper`alademi-finale .Il n'empˆechequecegenredeconsid´erationagitee ncore denom breusesdiscus- sions.Cer tainssontplusm´efiantsqu ed'autresmais lana¨ıv et´edomine.Iln'est pase xcluquelacon fiancesis ouven trefus´eeauxprofesseurs etaux´ecoless oit unfacte urder´eussitede l'O.M.B..J'aime `alecroire.Lesmeilleursr´esultats individuelsendemi-finale,environunecentaine ,sontconv oqu´es`aun efinale. Onm'asouv entd emand´esije suis´elitisteetparfoisonnemel'a pas envoy´e dire.J'aifini parcomprendre quec'estmal vu.J'ign oreencorecequ'estle contraired'´elitiste.On veutparfoismepersuaderquec'est "d´emocratique» maisla d´em archeest`avraidired´emagogique.Nous voulionsnous adresser`a tousetpe nsions`a euxavanttoutmaisnousvoulionssoulignerlesmeill eurs. N'est-cepaslav´eritabled ´emocratie? Les meilleursenfinalesontclass ´es.Ily aune proclamat ionetunpalmar`es. Lesixi` emeprincipeconsistait`acerner laformeduquestionnai re.Un cor- recteurallait-ilpassertroismois `a´evalu erlescopiesde 760participan ts?La solution?Unquestionnaire` achoix multiples.Ildemeuretr`es discut´e parmi nous.Sacorrectionest ultra rapide.Leparticipantintro duitsesr ´eponsessur uneseulefeu illeetcelle-ciestc orrig´ee`a l'aided' unegrille.Ultrarapide.Pro che del'inf ormatisation`alaquellenousav onstoujoursrˆ ev´e.C'est lapertinenc edes choixmultiplesqu iestsouventcontest´ee .Onpeutr ´epondreau hasardethor- reur,obtenirla bonner´e pons e!Notredissuasion?Il yatoujours5r´eponses

1.1.L' Olympiademath´ematiquebelge11

propos´ees.Nitrois,nisept!Unbon ´equilibr e.Autred issuas ion?"Vousrecevez

5poi ntsparr´eponsecor recte,2points parabstentionet0pointparr´epon se

fausse».C esyst` emenousplaˆıtdepuislongtemps.Vousdi rez:iln'e mpˆecheque leconcurren tpeutproc´e derpar´elimin ationssuccessivesetd´eterminerainsila bonner´eponses ansmaˆıtriserenti`ere mentlaquestion.Dissuasion :introduire dansla5 e r´eponseunepossibilit´ ed'ouverturedu style"aucunedes4r ´epon ses pr´ec´edentes».B ref,jen'aipasl'intention devousconvaincre sinondufaitq ue lesc hoixmultiplesfontl 'objetdanslesdiscussionsp´edagogiqu esdece rtains argumentsinexacts.Forceestd ereconnaˆıtrecep endantque les"tˆetes»de l'O.M.B.n'aimentpasuni form´ementleschoix multiples.Nous avons"invent´e» aussile squestionsdontla r´e ponseestn´e cessairementu nnombreentiercompris entre0et999.C 'est unc hoixmu ltipled´eguis´e:ono relec hoixparm i1000 r´eponses!Cen'estpastout!Ilcon vientquechaqu equestionsoitsu samment br`eve,qu'ellepuisseˆetrer ´esolueenquelquesminu tes,dumoinsenprinc ipe, qu'ellesoitd´epourvu edetouteambigu¨ ıt´e,inattaquabledanssaforme,danssa r´eponseetqu'ellesoitsip ossible originale... Tr`estr`esdi cilee ttr`estr` eslong `a´elaborer. Lasubstancemˆeme duconcours. Unedestˆachesles plusd´elicates, conduiteparleju ryconstitu´ ed'une vingtainedepersonn es.Unjuryquiest lui-mˆemechapeaut´e parunpr´esidentetunsecr´etairedontle trav ailest im- mens´ementdi cile.Lademi-finalefonc tionnes elonlemˆemesch´ema.Chaque ann´eeexigeainsilapr oductiondesix questionnairesde30qu estions chacun. Pourcertains,laten tationder´eduirele nomb redequestionsest tr`es grande. Leplus simpleserait qu'iln'yait pasdequestions.Ete nfinale?Nous don- nonsquatrep robl`emes` atraiterenquatreheures.Ilestdeman d´ed'en r´ediger unesolution compl`eteaveclad ´emonstrationob´eissant auximp´eratifsde lo- giqueetderigueur largemen tco mmunsauxmath ´ematiciensdenotretemps. Tr`esexigeantpourles concurrentssoumis`ades standardsqu'ils ignoren tle plussouvent.P armilesplusforts,lad ensit ´ede surdou´esest ´elev´eeaufilde s ann´ees.Unebeller´ec ompen sepourtous!Lessurdou ´esnesontpaslecentrede nospr ´eoccupationsmaisilsnousfontgrandplaisir.Ilsmontren tque notretra- vailaunsen s.Il convie ntdeserappelerquelasc iencemath´ ematiquemill´enaire s'est´elabor ´eeets'´elaboreplusquejamaispar dessurdou´ es.Bienentendu,on voudraitsavoiraussic equ'estlesensdel'O. M.B.pourlamasse.Laseule r´eponsequenousposs ´edonsestla fid´elit´ edes´el`eves,desprofesseurset des ´ecolesaufildesann´eeset unen gouement reconn u. Lesep ti`emeprincipeestconstitu´ eparlestroisniveauxdel'´epreuvequ alifi´es demiNi,miDi etmaXi etdestin ´esrespectiv ement aux´ el`evesde1 e -2 e ,de 3 e -4 e etde5 e -6 e .En 1976,l'id´ee´ etait detraitertousles´el`eve spareillement. Unegrand eaudacerompantavecle c´el`ebre"saucissonnage»horizontalde

12Chapitre1.Pr´eface

notre´educat ion.Uneaudacequinousparaissaitn´ecess aire:cer tainsprobl`emes math´ematiquesrequi`erentpeude connaissances.L'imaginationestessentielle. Iln'empˆ echequec'´etaittrop.Lescon naissancesacqu isesetl'exp´eriencedans unesciencecumul ativecommel esmath´ematiquesjouentun tr`esgrand rˆole. D`es1977,nousav onsins taur´ela divisionenmini-maxir´ ecoltant893et1130 participants.Laconfrontationverticalenou sav aludenombreuses satisfacti ons. Iln'empˆ echequelesdiscussionssurl'injustice dusyst`em eont surv´ecu.En

1996,nous passionsaud ´etriplement.Pasfac ile` ag´erer.D´esormais,ilyatrois

olympiadesdansl'O.M .B..Lacat´egoriela pluspeupl´ee estl amiNiavec10500 participantsen2001,cequirepr ´ese ntep r` esdelamoiti´ edutotal.

Amonse ns ,un

bonsignepou rlesmath´e matiquesmaisd´econcer tantpour biendespersonnes quisefigure ntquelego ˆutdesmathsvientapr`es1 7ans .Si j'´etaisprofesseur dansune´e coleoudirecteur, j'aimeraismepositionne rpar rapport`ad'autres grˆace`al'O.M.B.. Ilestpermisd ecroirequeje ne suispasle seul`apenser dans cestermes. Etlesc oˆu ts?L'O.M.B.estautofinanc´eeetb´en ´eficiaire. Chaqueparticipant payeundroitd'i nscriptionde1 ,25eu ro.Leb´en´evolat repr´e sente´evidemment unecl´e marquantedel'´ equationfinanci`ere.L'O.M.B. m´ eriteraitn´eanmoinsle financementd'unemploiadm inistratif`atemps plein.Enr´esum´ e,l'Olympiade math´ematiquebelgeestungrands ucc`esd ˆuenparti e`a l'e cacit´e,larigueur, ladis ponibilit´eetl'enthousiasmedesesnombreuxdirige ants.Ellea servide mod`ele`abonnombre d'autresdisciplin es.Elleo reunstock cons id´erablede probl`emesint´eressantspour lesprofesseursetlegrandpublic.

FrancisBuek enhout

(Universit´eLibredeBruxelles)

1.2.T ableaudesparticipationssucces sives 13

1.2Tableaudesparti cipationssuccessives

Ann´eemiNimiDimaXi

1976--760

1977893-1130

19781012-1271

19791204-1447

19801390-1778

19811482-1849

19823021(570)-3164(693)

19833010(664)-3292(689)

19844424(871)-3933(782)

19855563(926)-4621(836)

19866339(981)-5146(871)

19877779(1249)-6285(1088)

19888149(1125)-6834(1086)

19899140(1250)-7632(1140)

199010488(1195)-8236(1154)

19917517(1074)-5568(973)

19929967(1266)-6715(984)

199311020(1215)-7941(1006)

199410498(1314)-7288(1065)

199511082(1373)-7423(1082)

19968909(959)7129(919)4937(730)

19978993(954) 6838(972) 5038(765)

19989805(979)6786(842)5376(730)

19999934(925) 6365(719) 4995(654)

200010306(980)6603(770)4811(662)

200110576(1022) 6598(825) 4592(650)

200210758(1030)6675(786)4463(637)

200310912(1022) 6604(814) 4589(652)

200412987(1024)8062(765)5697(598)

200513289(1073) 8833(798) 5968(669)

200613332(1073)8026(795)5819(691)

(Entreparenth`eses ,figurentlesnombresdedemi-finalistes.)

14Chapitre1.Pr´eface

1.3L'Olympiade math´ematiqueinternationale

Qu'ellessoientnationalesouin ternationales, lesOlympiadesmath´ ematiques s'inscriventdansl'´ev olutionactuelle delap´edagogiedesmath´ematiquesvers unen seignementfaisantuneplusgrandepart`al'activit´ep ersonnelledes ´el`eves. Privil´egiantlar´eflexion`alam´ emorisationen cyclop´edique,ellesproposentau x ´el`evesdesquestionsn´ecessitantun ebon necompr´ehensiondesconcepts, ainsi quedescapacit ´esd'analyse,des ynth`eseetd'imagination. L'O.M.Iconstitue l'aboutissementlogiqueduprocessusqui ,pourl' ´el`ev ebelge,commenceavecla participation`al'O.M.B.L'Oly mpiademath´ ematiqueinternation alea´et´eorga- nis´eepourlapremi`er efoisen1959.Pe ndant plusieursann´ees,seulslespa ysdu blocsovi´etique yparticipaient.Elles'est´elargieprogre ssiv ement.L'O.M.I.est organis´eeparunComit´ed´esign ´epar laCommi ssionInternationaledel 'Ensei- gnementMath´ematique. Celle-ciestlasectionp´edagogiquedel 'UnionMath´e- matiqueIntern ationale,organismeli´e`al'UNESCO.LaBelgiqueestrepr ´esent´ee ausein decetteUnion viasonComit´e NationaldeMath´ ematiques,lequel ´emane del'Ac ad´emieRoyaledesArts,SciencesetLet tres.Lorsqu'unpaysd´ esireor- ganiserl'O.M.I.,son gouvernementfait(plus ieursann´ ees`al'avance)actede candidature.Lemomentven u,lep aysorganisateuradres sedesinvitationsof- ficiellesauxpa yssuscep tiblesdepar ticiper.EnBelgique,l'invitation estre¸cue parle Minist`ere desA aires

Etrang`eres,quilatransmetaux deuxMinist` eres

Communautairesdel'Enseignement.Chaquep aysp eutpr´esenterunmaximum de6´ el` eves,n'ayantpasencoreentam´el'e nseignementsup´erieur.Chaque´e l`eve estinvit´ e`ar´esoudre6probl`emes. Lamoiti´e,aupl us,desconcurrentsson t r´ecompens´espardesm´edaillesd'or,d'argentoudebronze. LaBelgi queap ar- ticip´epourla premi`erefois`a l'O.M.I.en1969,san saucunepr´eparation.Les r´esultatsnefurentgu`erebrill ants.

Alasui tede lacr´eationde l'O.M.B.,unese-

condeten tativeeutlieuen1977.Lesr ´esultatsfu rentmeilleursmaisn´ eanmoins d´ecevants.LaSBPMefproposaalors`ala Direction G´en´eraledel'Organisa- tionde s Etudesd'assurerlapr ´eparationetlas´election desconcurren tsbelges, cequif utfait `apartirde1979. Quelquesann´ eesplustar d,laCommunaut ´e N´eerlandophoneexprimaled´esirdep articiper´egalement`al'O.M.I.Dep uis, la d´el´egationbelgeestcompos´ee enparts´egalesd' ´el`ev esfrancophonesetn´eerlan- dophones. Envingt- deuxparticipations,lesconcurrentsbe lgesontobtenuu nem´ edaille d'or,septm´ edaillesd'argent ettrente-troism´edaillesdebronze. Cesr´esultats placentlaBelgiqueaumili eud 'unclassementdomin´eparles grandspa ys: Chine,Russie, USA,Allemagne.Enmoyenne,la Belgique seclassehonorable- mentparmilesp etitspays.LaSBPMe fagitavecl 'accordetpourlecompte

1.4.La SBPMef15

duMin ist`eredel' Education,delaReche rch eetd elaFormation.Ellerep`ere des´el `evesbrillantsparmilesparticipants `al'Olympiademath´ematiquebelge. Ellelesinvite `aprend repart`adesweek-end sdepr´ eparation,quise d´eroulent audomaine deLaMarlagne `aW´ep ion.Le ss´eanc esdetravail sontassur´eespar desprofe sseursdemath´ematiquesdel 'enseigneme ntsecondaireetdel'ensei- gnementuniversitaire.

1.4LaSBPMef

LaSoci ´et´eBelgedesProfesseursdeMath´emati qued'express ionfr an¸caiseest n´eeen1975`ala suite d'une restructurationde la"Soci´et´eBelgedesProfesseurs deMat h´ematique»cr´e´eeelle-mˆemeen1953 .Sonbutprincipalestdecontribuer `alapromotione t`a l'am´elioration del'enseignemen tdelamath´ ematique. Lamath´ ematiqueestundesfacteursde l'essor´ economique,tec hnique, scientifiqueetcultureldesso ci´et´e s.Sonimplicationcroissante dansled´eve- loppementdetouteslesactivit´e shu maines,la placequ'elleprendparletru- chementdel'informatique,enfont unoutil indispensable`alacompr´ehens ion dumon de. Lamath´ ematiquen'estpasseulementunoutilau servic edesautr esdisci- plines.Elleestauss iunmoy end'e xpressionetun artderaisonner. Lesgrandes ´etapesdesond´evelopp ement onttouj ourscorrespondu`acellesdel'´evolutionde lapens ´eehumaine.Ainsi,elleaj ou´eetcontinuedejou eru nrˆoledepremierplan dansled´ev elopp ementcultureldel'humanit´e.D'o`ul'importancedel'objectif ques'estfix´ elaSBPMef. LaSBPMe festuneassociation sansbutl ucratifquiseve utrepr´esentativ ede l'ensembledesprofesseu rsde math´ematiquedelapartiefrancophone dupays. Ellerasse mbledesenseignantsdetousle sr´eseaux(Communaut ´efran¸caise,

Enseignementcatholique,Enseignemento

cielneutresubv entionn´e, Ensei- gnementlibresubven tionn´eind´ ependant)etdetouslesniveauxd'enseigne- ment(instituteurs ,r´egents,licenci´es,professeursd' ´ecolessup´erieures,univer- sitairesounonuniversitaires).S ar ´eflexionp ortesurtouteslesfacettesde l'enseignementdesmath´ematique s.Elleaainsi´ et´eamen´ee`aconsacreru ne grandepartiede sonactivit´e `adessujets te lsquel'impactsurl'enseigneme nt desmoy ensmodernesde traitementdel'information,lesid´eesp ´edagogiques nouvelles,l'´evaluation,le ssoclesdecomp´etence... Leconten udesprogrammesdecours etles questionsd'organisationde l'enseignementdesmath´e matiquesretiennent´egalemen tsonattention.

Pournourrirsar´ eflexionetdi

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