[PDF] Olympiades Françaises de Mathématiques 2016-2017 Envoi

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Olympiades Franc¸aises de Math

´ematiques 2016-2017Math

´ematiquesFranc¸aises

OlympiadesOFM

Envoi Num

´ero 3

A renvoyer au plus tard le 15 Janvier

Les consignes suivantes sont

`a lire attentivement:

Le groupe B est constitu

´e des´el`eves n´es en 2002 ou apr`es, avec les exceptions suivantes : * les

´el`eves de Terminale sont dans le groupe A,

* les ´el`eves de Seconde et Premi`ere qui´etaient`a l"OFM en 2015-2016 sont dans le groupe A.

Les autres

´el`eves sont dans le groupe A.

Les e xercicescl ass

´es Groupe Bne sont`a chercher que par les´el`eves du groupe B.

Les e xercicescl ass

´es communs sont`a chercher par tout le monde.

Les e xercicescla ss

´es Groupe A ne sont`a chercher que par les´el`eves du groupe A.

Les e xercicesdoi vent

ˆetre cherch´es de mani`ere individuelle.

Utiliser des feuilles dif f

´erentes pour des exercices diff´erents.

Respecter la num

´erotation des exercices.

Bien pr

´eciser votre nom sur chaque copie.

1

Exercices du groupe B

Exercice 1.SoitABCDun quadrilat`ere convexe (c"est-`a-dire que ses diagonales sont`a l"int´erieur de

ABCD), etPl"intersection de ses diagonales[AC]et[BD]. On noteO1,O2,O3etO4les centres des cercles circonscrits `aABP,BCP,CDPetDAP.

Montrer queO1O2O3O4est un parall´elogramme.A

BCD P O 1O 2O 3O

4Solution de l"exercice 1O

1etO2sont sur la m´ediatrice de[PB], doncO1O2est la m´ediatrice de[PB].

De m ˆeme,(O3O4)est la m´ediatrice de[PD], donc(O1O2)et(O3O4)sont toutes deux perpendiculaires a(BD), donc elles sont parall`eles. De mˆeme,(O2O3)et(O4O1)sont toutes deux perpendiculaires`a (AC), donc elles sont parall`eles. ABCDa ses cˆot´es oppos´es parall`eles deux`a deux, donc c"est un parall´elogramme. Exercice 2.SoitABCun triangle.Hson orthocentre etP,QetRles pieds des hauteurs issues deA, BetC. Montrer queHest le centre du cercle inscrit`aPQR.A BCH PQ R Solution de l"exercice 2On sait que les pointsA,B,PetQsont cocycliques sur le cercle de diam`etre [AB], donc : \HPQ=[APQ=[ABQ= 90[BAQ= 90[BAC 2 De m ˆeme,A,C,PetRsont cocycliques sur le cercle de diam`etre[AC]donc :

HPR=[APR=[ACR= 90[CAR= 90[BAC

On a donc

\HPQ=\HPRdonc(PH)est la bissectrice de[QPR. On montre de mˆeme que(QH)et (RH)sont les bissectrices de[PQRet[PRQ, doncHest le centre du cercle inscrit`aPQR.

Exercice 3.Les pointsDetEdivisent le cˆot´e[AB]d"un triangle´equilat´eral en trois parties´egales, de

telle mani `ere queDest situ´e entreAetE. Le pointFest situ´e sur[BC]de sorte queCF=AD.

Calculer la somme des angles

\CDF+[CEF.ADEBC F Solution de l"exercice 3On aBF=BDet\DBF= 60, donc le triangleDBFest´equilat´eral. On a donc [BAC=\BDF= 60donc(DF)k(AC), donc\CDF=\ACD.

D"autre part,

\ACD=\BCEpar sym´etrie, donc\CDF=\BCE=[FCE. La somme qui nous int´eresse vaut donc [FCE+[CEF=\BFEd"apr`es la somme des angles du triangleFCE. Comme(FE)est une m ´ediane du triangle´equilat´eralDBF, c"est aussi une bissectrice, donc\BFE=12 \BFD= 30et notre somme est

´egale`a30.

Exercices communs

Exercice 4.Deux cerclesCetC0de centresOetO0sont tangents ext´erieurement enB. Une tangente commune ext ´erieure toucheCenMetC0enN. La tangente commune`aCetC0enBcoupe(MN)enA. On noteCl"intersection de(OA)et(BM), etDl"intersection de(O0A)et(BN).

Montrer que(CD)est parall`ele`a(MN).

Solution de l"exercice 4Comme(AM)et(AB)sont tangents au cercle de centreO, on aAM=AB. On a aussiOM=OB, donc(OA)est la m´ediatrice de[MB], et doncCest le milieu de[MB]. De m ˆeme,Dest le milieu de[BN], donc(CD)est parall`ele`a(MN). Exercice 5.SoitABCun triangle dont les trois angles sont aigus etson cercle circonscrit. La tangente `aenArecoupe(BC)enP. On noteMle milieu de[AP]. La droite(BM)recoupeenR et la droite(PR)recoupeenS.

Montrer que(AP)et(CS)sont parall`eles.

3 OO 0BMN A CD A BCPM RS

Solution de l"exercice 5En

´ecrivant la puissance deMpar rapport`apuis le fait queMest le milieu de [AP], on obtient

MRMB=MA2=MP2:

Les trianglesMRPetMPBsont donc indirectement semblables, donc\RPM=\PBM. On a donc

CSP=[CSR

[CBR \PBM \RPM [SPA; o `u[CSR=[CBRpar le th´eor`eme de l"angle inscrit. Par angles alternes-internes, les droites(CS)et (AP)sont donc parall`eles. 4 Exercice 6.SoitABCun triangle et(I)le centre de son cercle inscrit. La droite(AI)recoupe[BC] enD. La m´ediatrice de[AD]recoupe(BI)enMet(CI)enN.

Montrer queA,M,NetIsont cocycliques.A

BC eDIMN Solution de l"exercice 6On commence par rappeler le th

´eor`eme du Pˆole Sud :

Lemme 1(Th´eor`eme du Pˆole Sud).SoitABCun triangle,son cercle circonscrit etIle centre de son cercle inscrit. SoitSle second point d"intersection de la bissectrice de[BACavec. Alors SB=SC. Le pointSest appel´ePˆole SuddeAdans le triangleABC. Preuve du lemme.Le th´eor`eme de l"angle inscrit dansdonne[SBC=[SACet[SCB=[SAB. Or, commeSest sur la bissectrice de[BACon a[SAC=[SAB, d"o`u[SBC=[SCB, doncSCBest isoc `ele enSetSB=SC.Revenons `a notre exercice. Notons que le pˆole Sud deAdans un triangleABCest sur la bissectrice de

[BACet sur la m´ediatrice de[BC], donc il peutˆetre d´efini comme l"intersection de ces deux droites. On

commence par montrer queA,B,DetMsont cocycliques. Le pointMest sur la m´ediatrice de[AD]et sur la bissectrice de \ABD. C"est donc le pˆole Sud deBdansABD, donc il est sur le cercle circonscrit aABD. De mˆeme, les pointsA,C,DetNsont cocycliques. On peut maintenant faire une chasse aux angles : [AMI=\AMB=\ADB= 180\ADC= 180\ANC= 180[ANI:

Les pointsA,I,MetNsont donc cocycliques.

5

Exercices du groupe A

Exercice 7.SoitABCun triangle dont l"orthocentreHest distinct des sommets ainsi que du cen-

tre du cercle circonscritO. On d´esigne parM;N;Ples centres des cercles circonscrits aux triangles

HBC;HCAetHAB.

Montrer que les droites(AM);(BN);(CP)et(OH)sont concourantes.DP O BA CH M H 0X Solution de l"exercice 7SoitH0le sym´etrique deHpar rapport`a(BC). On sait queH0est sur le cercle circonscrit `aABC(il est facile de v´erifier\BH0C=\BHC= 180[BAC). Le centre du cercle circonscrit `aH0BCest donc0. Par sym´etrie par rapport`a(BC), le centre du cercle circonscrit`aBHC est donc le sym ´etrique de0par rapport`a(BC), doncMest le sym´etrique deOpar rapport`a(BC). On va maintenant montrer queAHMOest un parall´elogramme. Si c"est bien vrai, alors[AM]et[OH]

se coupent en leur milieu, donc le milieu de[OH]est sur(AM)et, par le mˆeme raisonnement, il est aussi

sur(BN)et(CP). Si on noteDle milieu de[BC], alors!OD=12 (!OB+!OC) =12 (!OH!OA) =12 !AH, donc!OM=!AH. En utilisant la relation!OA+!OB+!OC=!OH, qui est´equivalente`a!OH= 3!OG (droite d"Euler).

On donne

´egalement une autre mani`ere, moins rapide mais n´ecessitant moins de connaissances, de mon- trer queAHMOest un parall´elogramme. Les droites(AH)et(OM)sont parall`eles, donc il suffit de montrer queAH=OM. Pour cela, on peut utiliser la trigonom´etrie. D"une part, en notantRle rayon 6 du cercle circonscrit `aABCet,, ses angles, on a

OM= 2OD= 2OBsin\OBC= 2Rsin(90) = 2Rcos:

D"autre part, en notantPle pied de la hauteur issue deC, on a

AH=APcos

\PAH=APsin=ACsin[ACPsin= 2Rsin[ACP= 2Rsin(90) = 2Rcos

en utilisant la loi des sinus.Exercice 8.SoitABCun triangle dont les trois angles sont aigus. SoitD2[BC]tel que[BAC=

\ADB. SoitHle pied de la hauteur issue deBdansABC. La perpendiculaire`a(BC)passant parH coupe(AD)enK. On suppose queKest`a l"int´erieur du triangleABC. SoitMle milieu de[AC].

Montrer queMH=MK.

Solution de l"exercice 8Notons que

\ABH= 90[BAC= 90\ADB=\AKH. Les pointsA,B,K, Hsont donc cocycliques. SoitTle pied de la hauteur issue deAdansABC. Alors[BTA=\BHA= 90 doncA,B,HetTsont cocyliques et le cercle qui passe par ces points passe aussi parK. On en d´eduit \ATK= 180\AHK=\KHC. On va maintenant montrer queM,KetTsont align´es. On a(AT)k(HK)car ces deux droites sont perpendiculaires `a(BC), donc\ATK=\KHC=[TAC. Mais le triangleATCest rectangle enTdonc MA=MC=MTet\TAM=\ATM. On en d´eduit\ATM=\ATKdoncT,KetMsont align´es.

Enfin,MH=MKparce queATkHKetMA=MT.

Exercice 9.Soit ABC un triangle d"orthocentre H. Soient(d1)et(d2)deux droites perpendiculaires se coupant enH. SoitA1(respectivementB1,C1) l"intersection de(d1)avec(BC)(respectivement (CA),(AB)). SoitA2(respectivementB2,C2) l"intersection de(d2)avec(BC)(respectivement(CA), (AB)). SoientA3;B3;C3des points dans le plan tels queA1A2A3,B1B2B3,C1C2C3soient des triangles directement semblables.

Montrer queA3;B3;C3sont align´es.

7 A BCH

A1C2A2C1B2B1A3C3B3M

Solution de l"exercice 9Nousdonnonsunepreuveavecdessimilitudesdirectes. Ilexisted"autrespreuves, un peu plus courtes, qui utilisent des nombres complexes.

Rappelons tout d"abord le r

´esultat suivant :

Lemme2.SoitABCuntriangle,soncerclecirconscritetHsonorthocentre. Alorslessym´etriques H A,HBetHCde H par rapport`a (BC), (CA) et (AB) appartiennent`a. Proof.SoitH0Al"intersection deAHet. Par le th´eor`eme de l"angle inscrit, on a :

H0ABC=\H0AAC

= 90[BCA \HBC Ainsi,(H0AB)et(HB)sont sym´etriques par rapport`a(BC). On en d´eduit queH0A=HA2. De m

ˆemeHB;HC2.Reprenons les notations de l"exercice et introduisonsHA,HBetHCcomme dans le lemme pr´ec´edent.

Lemme 3.Soit S l"intersection de(A1HA)et de(B1HB). AlorsS2. 8

Proof.On noteSYZla sym´etrie d"axe(Y Z). Alors

S AC(SBC(HAA1)) =SAC(A1H)carHAetHsont sym´etriques par rapport`a(BC) =SAC(B1H) = (HBB1)carHetHBsont sym´etriques par rapport`a(AC):

Notons (XY,ZW) l"angle de droite form

´e par les droites XY et ZW. De la proposition 1, on d´eduit que(HAA1)et(HBB1)sont images l"une de l"autre par la rotation d"angle2(CB;CA)de centre

C:(SHA;SHB) = 2(CB;CA). Ainsi,

(SHA;SHB)2(CB;CA) (CB;CA) + (CB;CH) + (CH;CA) (CB;CA) + (CHA;CB) +2 (AC;AB) (CHA;CA) + (BA;BH) (BHA;BA) + (BA;BHB) (BHA;BHB)[]: Ainsi,S2.Lemme 4.Les cercles de diam`etre[A1A2];[B1B2];[C1C2]sont concourants en un pointMappar- tenant `a. Proof.SoitM0le point d"intersection des cercles de diam`etre[A1A2](passant donc parHetHA) et[B1B2](passant donc parHetHB) diff´erent deH. On a : (M0HA;M0HB)(M0HA;M0H) + (M0H;M0HB) (A1HA;A1H) + (B1H;B1HB)

2(A1B;A1H) + 2(B1H;B1A)

22
+ (HHA;HA1) + 2(HB2;HHB)

2(HHA;HA1) + 22

+ 2(HB2;HHB)

2(HHA;HHB)

2(CB;CA)

(SHA;SHB) []:

Ainsi,M02par le th´eor`eme de l"angle inscrit. De la mˆeme fac¸on, on montre que l"intersection

des cercles de diam `etre[B1B2]et[C1C2]est un pointM002. Comme l"intersection du cercle de diam `etre[B1B2]et deest unique, on en d´eduit queM0=M00=M, c"est-`a-dire que les quatre cercles sont concourants enM.Nous pouvouns maintenant terminer l"exercice : (C1M;C1C2)(HM;HC2)carM;C1;H;C2sont cocycliques (HM;HB2) (B1M;B1B2) []carM;B1;H;B2cocycliques:

De la m

ˆeme fac¸on, on prouve que(B1M;B1B2)(C1M;C1C2). Donc, comme(MA1;MA2) (MB1;MC2)(MC1;MC2)2 [], on obtient queMA1A2,MB1B2etMC1C2sont directe- ment semblables, ce que l"on notera d

´esormaisMA1A2MB1B2MC1C2. En outre,A1A2A3

B

1B2B3C1C2C3par hypoth`ese. DoncMA1A2A3MB1B2B3MC1C2C3.

9

L"utilisation de similitudes directes permet alors de conclure directement : une similitude directeSde

centreMenvoieA1surA3, et´egalementB1surB3etC1surC3. CommeA1;B1etC1sont align´es, on en d

´eduit queA3;B3etC3le sont´egalement.

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