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TS. Évaluation 2 -Correction|

1( 5 points )On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de1à6.

6lors d"un lancer est égale à13

.Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1.On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne parXla variable aléatoire donnant le nombre de6

obtenus. a.Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoireX? Quelle est son espérance?

À la répétition, 3 fois de façon indépendante d"une épreuve à 2 issues (succès si on obtient un 6) on peut

associer une variable aléatoire X, qui comptabilise le nombre de 6 obtenus. X suit une loi binomiale de paramètresnAE3 etpAE16

X ,!Bµ

3 ;16 AE12 b.CalculerP(XAE2).

P(XAE2)AEÃ

3 2! p

2q1AE3£56

3AE572

2.On choisit au hasard l"un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.

On considère les évènementsDetAsuivants : ²D"le dé choisi est le dé bien équilibré»;

²A: "obtenir exactement deux6».

a.Calculer la probabilité des évènements suivants : ²"choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux6»; ²"choisir le dé truqué et obtenir exactement deux6». (On pourra construire un arbre de probabilité).²DA A DA A1 25
72
1 22
9

L"événement "choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6» correspond à D\A

p(D\A)AEp(D)£pD(A)AE12

£572

AE5144

L"événement "choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6» correspond àD\A. p(D\A)AEp(D)£pD (A) avecpD (A)AEÃ 3 2! p

02q01oùp0AE13

. DoncpD (A)AE29 p(D\A)AE12

£29

AE19 b.En déduire que : p(A)AE748 p(A)AEp(D\A)Åp(D\A)AE5144

Å16144

AE21144

AE748

c.Ayant choisi au hasard l"un des deux dés et l"ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux6.

Quelle est la probabilité d"avoir choisi le dé truqué?

Il s"agit de calculerpA(D)AEp(D\A)p(A)AE19

£487

AE1621

2( 3 points )La Vénus de Milo rangeait ses olives dans trois amphores :

-Dans la première, il y avait30olives vertes et20olives noires. -Les deux autres amphores contenaient, l"une quatre olives vertes, l"autre quatre olives noires.

Un jour d"éclipse totale du soleil, la Vénus de Milo prend, au hasard, une olive de la première amphore, puis la place dans

une des deux autres amphores. Elle prend ensuite dans celle-ci une olive au hasard et le soleil réapparait :

l"olive est verte. Calculez la probabilité pour que la dernière amphore visitée contienne plusieurs olives vertes.

On pourra considérer les événements suivants V

1: "la première olive est verte»

A: "la deuxième amphore contenait les quatre olives vertes» V

2: "la deuxième olive est verte»

D"après l"énoncé, V

2est réalisé; on veut doncpV2(A)AEp(A\V2)p(V2)pV2(A)AEp(A\V2)p(V2)AE23

50£5026

AE2326

On s"appuie alors sur l"arbre pondéré ci-dessous : ²V 1AV 2AV 2V 2V 1AV 2V 2AV 23
51
21
1 21
5 4 5 2 51
24
5 1 5 1 21

1)£pV

1(A)£pA\V

1(V2) p(A\V2)AE35

£12

£1Å25

£12

£45

AE310

Å850

AE2350

1)£pV

1(A)£pA\V

1(V2) p(V2)AE35

£12

£1Å35

£12

£15

Å25

£12

£45

AE310

Å350

Å850

AE2650

3( 2 points )On lance trois dés bien équilibrés dont les six faces sont numérotées de1à6.

Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus. Si la somme est égale à9, Alice gagne, si la somme est égale à

10, Bob gagne, dans tous les autres cas, la partie est annulée.

1.Compléter l"algorithme ci-contre :

À restituer avec votre copie

per mettantde simuler cette expérience aléatoire.

2.SoitSla variable aléatoire égale à la

somme obtenue à l"issue de cette expé- rience aléatoire. a.Quelles sont les valeurs prises parS?

Tous les entiers entre 3 et 18.

S2J3 ; 18Kb.Calculer p(SAE9)puis p(SAE10).

Conclure.Variables:S ent iern aturel

Début de l"algorithme:

S prend la valeurint_alea(1,6)Åint_alea(1,6)Åint_alea(1,6)

SiSAE9alorsAfficher"A Gagne»

SinonSiSAE10alorsAfficher"B Gagne»

SinonAfficher"Perdu»

Fin Si

Fin Si

Fin algorithmeIl existe 6

3AE216 triplets équiprobables possibles.

La somme 9 s"obtient avec 25 triplets :

1-2-6 soit 6 triplets

1-3-5 soit 6 triplets

1-4-4 soit 3 triplets

2-2-5 soit 3 triplets

2-3-4 soit 6 triplets

3-3-3 soit 1 triplet

La probabilité d"obtenir 9 est doncp(SAE10)AE25216La somme 10 s"obtient avec 27 triplets :

1-3-6 soit 6 triplets

1-4-5 soit 6 triplets

2-2-6 soit 3 triplets

2-3-5 soit 6 triplets

2-4-4 soit 3 triplets

3-3-4 soit 3 triplets

La probabilité d"obtenir 10 est doncp(SAE10)AE27216 C"est donc Bob qui a la plus grande probabilité de gagner. Bint_alea(1,6)est une commande qui génère un entier entre1et6de façon pseudo-aléatoire.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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