Combinaisons avec répétition
sement une telle combinaison et `a proposer quelques démonstrations de théor`emes qui permettent de mettre l'ensemble des combinaisons avec répétition (cap
Université Paris-Dauphine Modélisation et applications des
1.2.6 Combinaisons avec répétition . les considère alors comme une branche de la philosophie et l'idée de démonstration apparaît.
1. Ensembles équipotents cardinal fini
Arrangements et Combinaisons. 2.1. Arrangements avec répétitions: p-listes. Considérons la situation suiv- ante: Un libraire a un fournisseur et 3 clients.
1.Analyse Combinatoire 2.Probabilités 3.Variables Aléatoires 4.Lois
2.2 Arrangements avec Répétitions. 2.3 Arrangements sans Répétition 3.2 Permutations avec Répétitions. 4. Combinaisons ... 4.3 Combinaison avec Remises.
Cours de Probabilités
Le nombre de permutation avec répétitions est p! p1!p2!···pn! Démonstration : (Voir préalablement la définition d'une Combinaison sans répétition).
Dénombrement
On utilise les p-listes en cas de choix successifs de p éléments d'un ensemble avec éventuelles répétitions. 17.1.2 Arrangements et permutations.
Analyse combinatoire
Mar 6 2008 Les éléments sont pris sans répétition et ne sont pas ordonnés. Notation : le nombre de combinaisons de k parmi n est noté Cn
Chapitre 1 : Dénombrements et analyse combinatoire
Démonstration : Le nombre d'arrangements sans répétition de p éléments pris parmi n éléments est. An p. = n! n?p. = Pour une combinaison de p éléments
Cardinalité des ensembles finis
10 combinaisons avec répétitions de 2 lettres choisies parmi a b
Chap. 3 : Combinatoire élémentaire.
Combinaisons sans répétition et coefficients binomiaux. 2. 2.2. Coefficients multinomiaux. 3. 2.3. Combinaisons avec répétition.
[PDF] 1Analyse Combinatoire 2Probabilités 3Variables Aléatoires 4Lois
2 2 Arrangements avec Répétitions 2 3 Arrangements sans Répétition 3 2 Permutations avec Répétitions 4 Combinaisons 4 3 Combinaison avec Remises
[PDF] Combinaisons avec répétition
Dans la note qui suit on va s'attacher `a définir rigoureu- sement une telle combinaison et `a proposer quelques démonstrations de théor`emes qui permettent de
[PDF] Analyse combinatoire
6 mar 2008 · Démonstration : par application du principe de multiplication `a une expérience Les éléments sont pris sans répétition et sont ordonnés
Combinaison avec répétition - Wikipédia
En combinatoire — domaine mathématique des dénombrements — une combinaison avec répétition est une combinaison où donc l'ordre des éléments n'importe pas et
[PDF] CHAPITRE 1 RAPPELS DANALYSE COMBINATOIRE I Généralités
Définition : On appelle combinaison avec répétition de éléments parmi toute disposition non ordonnée avec répétition éventuelle formée de éléments pris parmi
Chapitre 1 — Analyse combinatoire - MathSV Lyon1
Arrangements avec répétitions Lorsqu'un objet peut être observé plusieurs fois dans un arrangement le nombre d'arrangement avec répétition de p
[PDF] Chapitre 1 : Dénombrements et analyse combinatoire
Démonstration : Le nombre d'arrangements sans répétition de p éléments pris parmi n éléments est An p = n! n?p = Pour une combinaison de p éléments
[PDF] COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT Tout le cours en vidéo : https://youtu be/VVY4K-OT4FI
[PDF] 1-analyse-combinatoirepdf - Permamath
3 2 Permutations avec répétition 4 Combinaisons
[PDF] Dénombrement
Remarque : On utilise les p-listes en cas de choix successifs de p éléments d'un ensemble avec éventuelles répétitions 17 1 2 Arrangements et permutations
Analyse combinatoire
Mathematiques Generales B
Universite de Geneve
Sylvain Sardy
6 mars 2008
1 Le but de l'analyse combinatoire (techniques de denombrement) est d'ap- prendre a compter le nombre d'elements d'un ensemble ni de grande cardinalite.Notation : la cardinalite d'un ensemble
, noteecard( ) =j j= # , est le nombre d'elements contenus dans l'ensemble .Analyse combinatoire 21. Principe de multiplication
Permet de compter le nombre de resultats d'experiences qui peuvent se decomposer en une succession de sous-experiences. Principe : suppose qu'une experience est la succession demsous-experiences. Si laieme experience aniresultats possibles pouri= 1;:::;n, alors le nombre total de resultats possibles de l'experience globale est n= mi=1ni=n1n2:::nm:Analyse combinatoire 3 Exemple : Vous achetez une valise a code 4 chires. Combien de possibilites avez-vous de choisir un code? Reponse :m= 4avecn1= 10,n2= 10,n3= 10,n4= 10, donc le nombre total de code possible est10101010 = 104. Exemple : les plaques mineralogiques aux U.S.A. sont formees de 3 lettres, suivies de 3 chires. Quel est le nomb rede plaques m ineralogiquesp ossibles? Quel est le nomb rede plaques qui commencent pa rla lettre U ?Analyse combinatoire 42. Permutations
Denition : une
p ermutation de nelementsdistincts e1;:::;enest un rearrangement o rdonne sans r epetition de ces nelements. Exemple : "a", "b" et "c" sont trois elements. Les arrangements possibles sont abc;acb;bac;bca;cab;cba:Le nombre d'arrangements est donc 6.
Notation : La fonction `factorielle' est la fonction de domaineN=f0;1;2;:::g qui a toutn2 Nassocien! =n(n1):::321. Ainsi0! = 1,1! = 1,2! = 2,3! = 6,:::,10! = 306280800.Analyse combinatoire 5 Le nombre de permutations denelementsdistincts est n!. Demonstration : par application du principe de multiplication a une experience anetapes :1 ere etape: n1=nchoix possibles.
2 eme etape: n2= (n1)choix possibles.
{nieme etape :nn= 1choix possible. Exemple : 4 Americains, 5 Suisses et 7 japonais doivent s'asseoir sur un m^eme banc, et doivent rester groupes par nationalite. Combien y a-t-il de dispositions possibles?Reponse :3!4!5!7!.Analyse combinatoire
6Denition : Un
a rrangement est une p ermutationde kelements pris parmi nelementsdistincts ( k6n). Les elements sont prissans r epetitionet sont ordonnes Notation : le nombre de permutations dekparminest noteAn;k. Exemple : les arrangements de 2 elements pris dansf1;2;3;4gsontIl y en a 12.
Peut-on trouver une formule pour compter le nombre d'arrangements?Analyse combinatoire 7 Il s'agit encore du principe de multiplication a une experience aketapes :1 ere etape: n1=nchoix possibles.
2 eme etape: n2= (n1)choix possibles.
{kieme etape :nk= (nk+ 1)choix possible.Donc :
A n;k=n(n1)(nk+ 1) =n(n1)(nk+ 1)(nk)(nk1)21(nk)(nk1)21:Le nombre d'arrangements est :
A n;k=n!(nk)!:Analyse combinatoire 8Exemple : Combien de mots de 3 lettres
distinct es p euvent^ etrefo rmesdans un alphabet de 26 lettres?Reponse :A26;3= (26)(25)(24) = 150600.
Exemple : Combien de mots de 3 lettres peuvent ^etre formes dans un alphabet de 26 lettres? Reponse :263= 170576, naturellement plus de possibilite qu'avec les arrange- ments.Analyse combinatoire 93. Combinaisons et coecients binomiaux
Denition : Un
combinaison de kelements pris dans un ensemble anelements distincts est un sous-ensemble akelements de cet ensemble. Les elements sont pris san sr epetition et ne sont pas o rdonnes Notation : le nombre de combinaisons dekparminest noteCn;koun k qui est appele coecient binomial. Exemple : les combinaisons de 2 elements pris dansf1;2;3;4gsont f1;2g;f1;3g;f1;4g;f2;3g;f2;4g;f3;4g:Il y en a 6.
Peut-on trouver une formule pour compter le nombre de combinaisons?Analyse combinatoire 10 Dans un sous-ensemble, les elements ne sont pas ordonnes, au contraire d'un arrangement. Par consequence, a chaque sous-ensemble correspondk!arrangements, donc : C n;k=An;kk! n!k!(nk)!: Exemple : on a 15 medicaments et on veut tester leur compatibilite en groupe de 4. Combien y a-t-il de groupes possibles?Reponse :C15;4=15!4!11!
= 10365possibilites.Analyse combinatoire 11Proprietes :
{Cn;k=Cn;nkF ormulede r ecurrenceCn;k=Cn1;k1+Cn1;k.
Demonstration : Soit
=fw1;:::;wng. Le nombreCn;kest le nombre de sous-ensembles de de cardinalitek. Soit kcet ensemble de sous- ensembles; il se decompose en l'union de deux ensembles disjoints : k= k;w1=a[ k;w16=a Orj kj=j k;w1=aj+j k;w16=aj j k;w1=aT k;w16=aj. Doncj kj=Cn1;k1+Cn1;k0. Le tr ianglede P ascalest une cons equencede la f ormulede r ecurrence: Analyse combinatoire 12 0 0 1 0 1 1 2 0 2 1 2 2 3 0 3 1 3 2 3 3 etc... 1 1 1 1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 1.........Analyse combinatoire
13 Combien y a-t-il de sous-ensembles d'un ensemble de ca rdinaliten? fe1,e2,:::,engoui non oui non :::oui non soit un total de2nsous-ensembles.Le b in^omede Newton : (x1+x2)n=Pn
k=0n k x k1xnk2.Analyse combinatoire 144. Coecients multinomiaux
Le but est de decouper un ensemble denelements enrsous-ensembles de taillesn1;n2;:::;nr, tels quen1+n2+:::+nr=n, et de determiner le nombre de decoupages possibles. Exemple : L'ensemblef1;2;3;4gen 3 sous-ensembles de tailles 2, 1 et 1.Il y en a 12.
Peut-on trouver une formule pour compter le nombre de decoupage?Analyse combinatoire 15On applique le principe de multiplication :
il y a Cn;n1choix pour le premier sous-ensemble il y a Cnn1;n2choix pour le deuxieme sous-ensemble il y a Cnn1:::nr1;nrchoix pour lerieme sous-ensembleSoit au total :
C n;n1Cnn1;n2Cnn1:::nr1;nr n!n1!(nn1)!(nn1)!n
2!(nn1n2)!(n(n1 nr1))!n
r!(n(n1 nr))! n!n1!n2!nr!=:n
n1;n2;;nr
:Analyse combinatoire 16Proprietes :
Quand r= 2, on retrouve le coecient binomial puisque n k;nk =n k =n nkquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] dictionnaire synonyme pdf
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