[PDF] Exposé 72 : Fonctions dérivées. Opérations algébriques. Dérivées d

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Expos ´e 72 : Fonctions d´eriv´ees. Op´erations alg´ebriques. D´eriv´ees d"une fonction compos

´ee. Exemples.

Pr

´erequis1:

-D ´erivabilit´e en un point : 3 d´efinitions´equivalentes. -fonctions usuelles. -Notions de limite et continuit

´e -Sifd´erivable ena, alorsfcontinue ena.

Cadre:fest une fonction d´efinie surDf`a valeurs dansR, o`uDfest un ensemble quelconque deR.Iun intervalle

deR.

Le but de cet expos

´e est de passer d"une´etude locale (d´erivabilit´e en un point)`a une´etude globale :

d

´eriv´ee sur un ensemble.

1 Fonction d

´eriv´ee

1.1 D

´efinitions

D ´efinition: (i) On dit quefest d´erivable surI?Dfsi(si)fest d´erivable en tout point deI. (ii) Soitfd´erivable surI?Df, on appelle fonction d´eriv´ee l"applicationf?:I→R x?→f?(x)

1.2 Fonctions usuellesD

ff(x)f ?(x)D f?Rk?R0R Rx1R Rx n,n?N?nx n-1R

R|x|1 six>0, -1 six<0R

?[0,+∞[⎷x1 2 ⎷xR ?+R ?1 x-1x 2R ?RsinxcosxR

Rcosx-sinxR

preuve: on passe `a la d´efinition de la d´erivabilit´e en un point.? 2 Op

´erations alg´ebriques

Soientf,gd´erivables surI?(Df∩Dg)

Th ´eorˆeme: (i) (f+g) d´erivable surIet (f+g)?=f?+g? (ii) (fg)?est d´erivable surI, et (fg)?=f?g+fg? (iii) Si on suppose de plus quegne s"annule pas surI, alors (1g ) est d´erivable surI, et (1g )?=-g?g 21

Lec¸on fortement inspir´ee de celle de Johann. Tap´ee par Gwendal, r´ealis´e avec LATEX. Mise`a jour le 18/04/2006.

1

Remarque: -on peut g´en´eraliser la propri´et´e (i) : une somme finie de fonctions d´erivables sur un mˆeme

ensemble est d

´erivable sur cet ensemble.

-on peut ´etendre la propri´et´e (iii) : avec les mˆemes hypoth`eses : (fg ) est d´erivable surIet fg )?=(f.1g )?=f?.1g +f.-g?g

2=f?g-fg?g

2 preuve: (i) trivial (ii) soitx0?I.?x?I- {x0},(fg)(x)-(fg)(x0)x-x0=f(x)-f(x0)x-x0g(x)+g(x)-g(x0)x-x0f(x0) On conclut commegcontinue enx0, etf,gd´erivable surx0: lim (iii) soitx0?Io`ugne s"annule pas surI.?x?I- {x0}, (1g(x)-1g(x0)).1x-x0=(-1g(x)g(x0).g(x)-g(x0)x-x0, orgcontinue surIetgd´erivable surI, donc lim Applications: calcul de d´eriv´ees des fonctions suivantes : -fonctions polyn

ˆomes

-x?→1x

α,α?NsurR?

-tanxsur ]-π2 ,π2

Exercice:ffonction d´erivable surI,n?N?

(i) montrons que (fn)?=n.f?.fn-1 (ii) montrons que ( 1f n)?=-nf?f n-1 preuve: r

´ecurrence?

3 D

´eriv´ee d"une fonction compos´ee

Th

´eorˆeme:f:I-→Rd´erivable surI,g:J-→Rd´erivable surJ,f(I)?J. Alors (g◦f) est d´erivable

surI, et (g◦f)?=f?.(g?◦f)

Applications: (i)f:R→R

x?→ax+b,g:R-→Rd´erivable surR (g◦f)(x)=g(ax+b), (g◦f)?(x)=ag?(ax+b) x?→⎷x , (?f)?(x)=f?(x)2.?f(x), ou encore : l"application d´eriv´ee de la fonctionx?→?f(x) est l"applicationx?→f?(x)2.?f(x) (iii) (cosu)?(x)=-u?(x).sinx, (sinu)?(x)=u?(x).cosx Exercice: (i) sifd´erivable, alors :fpaire?f?impaire (ii) sifest d´efinie surRde p´eriodeTet d´erivable surR, alorsf?est de p´eriodeT 4 D

´eriv´ees successives

D

´efinition: soitfd´erivable surI?Dfetn?N?. On dit quefest d´erivable`a l"ordrensurIs"il existe

des applicationsf0,...,fn-1d´erivables surItelles que?f0=f f k+1=f? k,?k=0...n-1 La d ´eriv´ee d"ordrendefsurIest alots (fn-1)?not´eef(n) 2 Remarque: on pose parfoisf(0)=f, et on´ecrit indiff´erementf?o`uf(1), etf??ouf(2) D

´efinition: on dit quefestCk,k?N, sisif(k)est d´efinie et continue surI. On dit quefest de classe

C +∞si(si)fest de classeCkpour toutk?N. Exercice: les fonctions polynˆomes, sinus, cosinus... Th

´eorˆeme: formule de Leibniz :n?N?,fd´erivable`a l"ordrensurI,gd´erivable`a l"ordrensurI.

Alors (fg) est d´erivable`a l"ordrensurI, et (fg)n=n k=0C knf(k)g(n-k)

5 Compl

´ements

5.1 Preuves

preuve(??????? ??L??????) : par r´ecurrence.n=0 etn=1 sont´evidents :n=1 (fg)?=f?g+gf?soit n?N, supposons que la formule est v´erifi´ee au rang (n-1). (fg)(n)=((fg)?)(n-1)=(f?g)(n-1)+ (fg?)(n-1)=n-1? k=0C kn-1.f(k+1).g(n-1-k)+n-1? k=0C kn-1.f(k).g(n-k)=n k=1C k-1n-1.f(k).g(n-k)+n-1? k=0C kn-1.f(k).g(n-k) n-1?

k=1(Ck-1n-1+Ckn-1).f(k).g(n-k)+C0n-1.f.g(n)+Cn-1n-1.f(n).g. OrCn-1n-1=Cnn,C0n-1=C0netCk-1n-1+Ckn-1=Ckn,

d"o `u le r´esultat.? Exercice: (i) sifd´erivable, alors :fpaire?f?impaire (ii) sifest d´efinie surRde p´eriodeTet d´erivable surR, alorsf?est de p´eriodeT preuve: (i) montrons quefpaire et d´erivable?f?impaire. Soitg:x?→ -x. (f◦g)(x)=f(-x) et (f◦g)?(x)=f?(g(x)).g?(x)=-1.f?(-x)=-f?(-x). Or f(x)=f(-x), doncf?(-x)=-f?(x) ief?impaire. (ii)f(x+nT)=f(x)?n?Z. On consid`ereg:x?→x+nT;f◦g(x)=f(x+nT). Orf(x+nT)=f(x) et (f◦g)?(x)=f?(g(x)).g?(x)=f?(x+nT), d"o`uf?(x)=f?(x+nT) ie f"T-p´eriodique.? Exercice: soitffonction d´erivable surI,n?N?. Alors (fn)?=n.f?.fn-1 preuve: par r ´ecurrence.n=1 est trivialement vrai; on suppose que la formule est vraie pourn-1, n?N, ie (f(n-1))?=(n-1)f?.f(n-2). 5.2 D

´eriv´ees des fonctions usuelles

(i) soitf:R→R x?→csoitx0?R.?x?R- {x0}.f(x)-f(x0)x-x0=0 d"o`u le r´esulat. (ii) soitf:R→R x?→x. Soitx0?R.?x?R- {x0}.f(x)-f(x0)x-x0=x-x0x-x0=1 (iii) soitf:R→R x?→ |x|. Six>0,f(x)=xetf?(x)=1, sinonf(x)=-xetf?(x)=-1, doncfpas 3 d

´erivable en 1.

(iv) soitf:R→R x?→xn,n?N?. Soitx0?R.f(x0+h)=(x0+h)n=n k=0C knxk0kn-k =xn0+nxn-10h+n-2? k=0h n-k=f(x0)+h(nxn-10)+h.(hn-2? k=0x k0hn-2). Or limh→0hn-2? k=0x k0hn-2=0, doncf?(x0)=nxn-10 (v)soitf:R+→R+ x?→⎷x

0x-x0=(⎷x-⎷x

0)(⎷x+⎷x

0)(x-x0).(x+x0)

1⎷x+⎷x

0, donc limx→x0f(x)-f(x0)x-x0=12

⎷x

0ief?(x0)=12

⎷x 0 (vi) soitf:R+→R? x?→1x . Soitx0?R?.?x?R?- {x0},f(x)-f(x0)x-x0=1x -1x

0x-x0=x

0-xx.x0x-x0=-1x.x0, donc

lim x→x0f(x)-f(x0)x-x0=-1x 20 (vii) supposons que l"on sache que sin ?(0)=1 (ie que limx→0sinxx =1.

Soitx0?R.?h?0,sin(x0+h)-sinx0h

=sinx0cosh+cosx0sinh-sinx0h =sinx0.2(sinh2 )2h 2 +cosx0.sinhh =sinx0.(sinh2 )2h 2 +cosx0.sinhh , d"o`u limh→0sin(x0+h)-sinx0h =cosx0 5.3 D ´erivabilit´ees : trois d´efinitions´equivalentes

1. lim

h→0f(x0+h)-f(x0)h =A

2. lim

x→x0f(x)-f(x0)x-x0=A

3.f(x0+h)=f(x0)+h.A+h.ε(h), avec limh→0ε(h)=0

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