[PDF] cours opérations sur les nombres en écriture fractionnaire

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4ème Cours : puissances

1

I Puissances d'exposant entier positif

a) Définition

Soit a un nombre non nul et n un entier positif :

On note " a exposant n" le nombre noté a

n égal à : an = a ´ a ´ a ´ ....... ´ a n fois n s'appelle l' exposant. b) Exemples 6

3 = 6 ´ 6 ´ 6 = 216

(-2)

4 = (-2) ´ (-2) ´ (-2) ´ (-2) = 16.

32
= 2 3 ´2 3 = 4 9 c) Cas particuliers

Exemples

n = 1 : a1 = a 191 = 19 n = 2 : a² se lit aussi " a au carré » 3² = 3

´3 = 9

n = 3 : a

3 si lit aussi " a au cube » (-2)3 = (-2)´(-2)´(-2) = 8

Remarque :

Il est utile de connaître les carrés des premiers nombres entiers.

1² = 1 4² = 16 7² = 49 10² = 100 13² = 169

2² = 4 5² = 25 8² = 64 11² = 121 14² = 196

3² = 9 6² = 36 9² = 81 12² = 144 15² = 225

Convention :

Pour a ≠ 0, on vient que a0 = 1.

Exemple : (-7)

0 = 1

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Attention

· Il ne faut pas confondre 53 = 5´5´5 = 125 et 5´3 = 15 ; donc 53 ≠ 5´3

· Attention au rôle des parenthèses !

(-4)² = (-4) ´(-4) = 16 et -4² = -(4´4) = -16 ; donc (-4)² ≠ -4² c) Puissance et calculatrice Les puissances de nombres peuvent se calculer à la machine ; il suffit d'utiliser la touche x ou

II Puissances d'exposant entier négatif

a) Définition a désigne un nombre relatif non nul. n désigne un entier non nul. a -n désigne l'inverse de an. a -n = 1 an. b) Définition

Exemples :

· 3-2 est l'inverse de 3².

Donc 3

-2 = 1

3² = 1

3´3 = 1

9

· (-2)-3 = 1

(-2)-3 = 1 (-2)´(-2)´(-2) = - 1 8 c) Cas particulier Pour a ≠ 0, a-1 est l'inverse de a ; donc a-1 = 1 a.

Exemple : 3

-1 est l'inverse de 3 ; donc 3-1 = 1 3 x ^

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III Calculer avec des puissances

a) Exemples de calcul

Calcul littéral Exemple numérique

a désigne un nombre relatif a2´a3 = a ´ a ´ a ´ a ´ a = a5

2 facteurs 3 facteurs

5 facteurs égaux à a

5² ´ 53 = 5´5´5´5´5 = 55

a désigne un nombre relatif non nul a2 a5 = a´a a

´a´a´a´a = 1

a´a´a = 1 a3 = a-3 (-2)² (-2)5 = (-2)´(-2) (-2)´(-2)´(-2)´(-2)´(-2) = 1 (-2)3 = (-2)-3 b) Règle de priorité Pour calculer une expression sans parenthèses, on calcule d'abord les puissances.

Exemples

A = 7- 5´4² B = 2´[7 :10² - (-2)3]

A = 7 - 5

´16 B = 2´[7 :100 - (-8)]

A = 7 - 80 B = 2

´(0,07 + 8)

A = -73 B = 2

´8,07

B = 16,14

c) Règles de calcul n et p désignent deux nombres entiers relatifs. 10 n´10p = 10n+p 10 n

10p = 10n-p (10n)p = 10n´p

Exemples

10

4 ´ 102 = 104+2 = 106 10-2 ´ 105 = 10-2+5 = 103

107

104 = 107-4 = 103 10 -1

103
= 10-1-3 = 10-4 (104)3 = 104´3 = 1012 (10²)-4 = 102´(-4) = 10-8

Attention !

10² + 10

3 = 100 + 1000 = 1100

10

2 + 103 n'est pas une puissance de 10.

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IV Ecriture scientifique d'un nombre décimal

a) Définition Mettre un nombre sous forme scientifique, c'est l'écrire sous la forme a

´ 10n ou -a ´ 10n ,

avec : 1

£ a < 10 et n entier relatif.

Exemples : 4503 = 4,503

´ 103

0,081 = 8,1 ´ 10-2

182 = 1,82

´ 10²

-0,00023 = -2,3

´ 10-4

Applications : mettre sous forme scientifique les nombres suivants :

433219 = 4,33219 x 105;

50000 = 5 x 10

4; 0,06

´ 103 = 6 x 101;

405

´ 10-10 = 4,05 x 10-8

b) Ordre de grandeur

Exemple :

La France a environ 60 000 000 d'habitants ; 60 000 000 = 6 x 10 7 La population de la France se compte en dizaines de millions d'habitants ; 10

7 est l'ordre de grandeur de cette population.

4ème Cours : puissances

5 c) Préfixes & puissances de 10

Puissance Préfixe symbole exemple

103 kilo- K kilogramme

106 méga- M mégatonne ; mégaoctet

109 giga- G gigawatt

1012 téra- T térawatt ( puissance centrale nucléaire )

1015 penta- P

1018 exa- E

1021 zetta-

1024 yotta- masse Neptune » 1026 Kg

10-3 milli- m millilitre

10-6 micro- mmmm microgramme

10-9 nano- n nanomètre ( taille des virus )

10-12 pico- p picomètre ( atomes )

10-15 femto- f femtomètre

10-18 atto- a structure de la matière: ex :

masse électron : 9,1 ´ 10-31 Kg ............ 10-21 zepto-

10-24 yocto-

cas particulier : l'Angstrom : Ă ( 10 -10 mètre )quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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