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16. Optique ondulatoire: Interférences entre deux ondes cohérentes

Albert MichelsonStrelno(Prusse)1852-Pasadena 1931. Fils d"émigré polonais, A. Michelson enseigne la physique à l"Ecole

Navale d"Annapolis à partir de 1880, puis à Cleveland et à Chicago. Ses premières expériences portent sur la détermination de

la vitesse de la lumière. Puis, il s"intéresse à la nature ondulatoire de la lumière et invente son interféromètre. A. Michelson

veut, à la demande de Maxwell, tester la validité de l"hypothèse de l"éther, support supposé de la propagation de la lumière:

son interféromètre est capable de déceler d"éventuelles variations de la vitesse de la lumière émise par une étoile qui seraient

dues au mouvement de la terre par rapport au référentiel absolu de l"éther. Il entreprend ses premières mesures à Berlin dans

le laboratoire d"Helmoltz, puis à Cleveland avec E.Morley. Mais la mesure est négative, la vitesse de la lumière est invariante:

l"hypothèse de l"éther est rejetée. Vingt ans plus tard, ce constat est l"un des fondements de la relativité restreinte proposée

par A. Einstein.

En 1894, A. Michelson définit la longueur du mètre étalon à partir de la longueur d"onde d"une raie atomique. En 1907, il

est le premier américain à recevoir le prix Nobel. En 1920, il développe une mesure interférométrique du diamètre des astres.

I. Le phénomène d"interférence

Soient deux ondes lumineuses sinusoïdales décrites par les ondes scalairess1(M;t) =s10cos(!1t'1(M))

ets2(M;t) =s10cos(!2t'2(M)):L"intensité ou éclairement (en W.m2) résultant de la superposition des

deux ondes est, à un facteur multiplicatif près :

I(M) =K

(s1(M;t) +s2(M;t))2

Il y a interférence lorsque l"intensité résultant de la superposition de deux ondes n"est pas la somme des

intensités de chaque onde prise séparément. Pour observer des interférences en optique, les conditions suivantes sont nécessaires:

1. les directions de polarisations des deux ondes ne sont pas perpendiculaires

2. les deux ondes sont cohérentes :i.e. les ondes ont même fréquence et le déphasage'(M)des deux

ondes en un point M est indépendant du temps (ou varie très lentement).Cela implique que les deux ondes

sont obtenues à partir d"une même sourceS.

3.j(SM)2(SM)1j< LcoùLcest la longueur de cohérence de la source( = longueur des trains d"onde)

Alors, l"intensité s"écrit (formule de Fresnel) , avec'(M) ='2(M) '1(M):

I(M) =I1+I2+ 2pI

1I2cos'(M)

En revanche, si les conditions précédentes ne sont pas vérifiées, les ondes sont incohérentes et

I(M) =I1+I2

Dans la suite les ondes ont la même pulsation. L"amplitude complexe estsk(M)telle que la représentation

complexe desk (M;t)estsk(M;t)=sk(M)ei!t. Alorss2(M) =s1(M)ei'(M)et l"intensité est:I(M) = K2 (s1(M) +s2(M)):(s1(M) +s2(M)), soit

I(M) =K2

(s1+s2):(s1+s2) Pour obtenir deux ondes à partir d"une seule source, on utilise des dispositifs fondés sur: - la division du front d"onde (trous ou fentes d"Young) - la division d"amplitude (interféromètre de Michelson)

Déphasage et différence de chemin optique

= (SM)2(SM)1 est ladifférence de marcheoudifférence de chemin optique'='2(M)'1(M) = 2 0 est le déphasage.

L"ordre d"interférence estp=

Pour un maximum d"intensité (frange brillante),pest entier. Pour un minimum d"intensité (frange sombre),pest "demi-entier" ,p=n+12 ,nentier.

L"interfrangeest la distance mesurée sur l"écran d"observation entre deux franges brillantes ou entre deux

franges sombres. Le champ d"interférenceest la région de l"espace où on peut observer des interférences. Le contraste est maximal quand les deux ondes ont même intensitéI0chacune. Dans ce cas :I(M) =

2I0(1 +cos')

II. Exemple de dispositif à division du front d"onde : les trous d"Young

Une source ponctuelle monochromatiqueSéclaire un écran percé de deux trousS1etS2. Ces trous diffractent

la lumière et jouent le rôle de sources secondaires d"ondes sphériques. On suppose ici que(SS1) = (SS2).= (SM)2(SM)1=S2MS1M

Les interférences sont non localisées:elles sont observables dans toute une région de l"espace. Les surfaces

d"égale intensité=Ctesont des hyperboloïdes de révolution d"axeS1S2Sur un écran perpendiculaire à(S1S2), les franges sont circulaires d"axe(S1S2)et l"interfrange n"est

pas constante. Ce cas n"est pas possible à obtenir expérimentalement avec des trous d"Young (mais

possible avec d"autres dispositifs équivalents)

Sur un écran parallèle aux sources les franges apparaissent comme des segments parallèles car le champ

d"interférence est restreint.

Sur le schéma ci-dessous, les franges sur l"écran (xO"y) sont parallèles à l"axe (O"y) et l"interfrange est

constante. 2 Aveca=S1S2et lorsque(S0S1) = (S0S2), grâce à un d.l. ena=D: = (S1M)(S2M) =axD

Les franges brillantes, équidistantes, parallèles à(Oy)sont obtenues pour=ket d"équationx=kDa

L"interfrangei=Da

Variantes d"un dispositif de type "trous d"Young" :

- observation à l"infini : les franges sont observées dans le plan focal image(xOy)d"une lentille convergente

de focalef0. Le calcul de la différence de marche se fait en utilisant le théorème de Malus et la loi du retour

inverse de la lumière=ax=f0et l"interfrangei=f0a

- fentes d"Young : l"intensité ne dépendant pas de la coordonnée sur l"axe (y) des sources secondaires, on

peut remplacer les trous par des fentes parallèles à l"axe (y)

- si(SS1)6= (SS2)(cas des trous d"Young translatés selon un axe parallèle à Ox ou d"un faisceau incident

parallèle faisant un angle non nul avec l"axe (Oz) ), il faut rajouter la différence de marche0= (SS1)(SS2).

Ainsi pour les franges rectilignes:=axD

+0sur l"écran les franges sont translatées mais l"interfrange est inchangée.

II.2.Interférencesentreondesplanes

Exemples de dispositif:trous ou fentes d"Young placées dans le plan focal objet d"une lentille, biprisme de

Fresnel éclairé en incidence normale,..

Au pointMtel que!OM=!r ; '='2(M)'1(M) =!k2!k1

:!r+'(O)

En posant

!k2=2 (cos!uz+ sin!ux)et!k1=2 (cos!uzsin!ux),'=4 xsin+'(O)

Sur un écran(xOy), les franges sont rectilignes équidistantes parallèles à l"axe(Oy). L"interfrange

i=2sin()est indépendant de la distance des sources à l"écran

III. Contraste et cohérence

Définition du contraste

C=ImaxIminI

max+Imin Casd"undoublet: les intensités associées aux deux longueurs d"onde1et2s"ajoutent. Dans le cas où les intensités émises sont identiques pour les deux longueurs d"onde :

I() = 2I0(1 +Vcos(2

))avecV= cos( où 2 =1 1+1

2et =12

12. Le contrasteC=jVjvarie avec la période2

dans le champ d"interférence.Application: mesure de 3 Casd"uneraiespectraleàprofilrectangulaireenfréquence0=2660+ =2: on somme toutes les intensités associées à un intervalle de fréquence entreet+d:

I= 2I0(1 +Vcos(2c

0))avecV= sinc(c

:)Dans la réalité (une raie n"est pas rectangulaire), les franges ne sont plus visibles si&c:on retrouve une

des conditions d"interférence < Lc(Lclongueur de cohérence). Ce modèle permet de prévoir les différences

de marche donnant lieu à des interférences observables : pour un laser He-Ne :max50cm à quelques m selon le type pour une raie de lampe spectrale de T.P.maxquelques cm pour la lumière blanche:400nm)maxm Cas de la lumière blanche: Les intensités correspondant à une longueur d"onde entreet+d

s"ajoutent, on a superposition de franges d"interfranges différents. Seule la frange d"ordre 0 correspond

à un maximum d"intensité pour toutes les longueurs d"onde. Pratiquement, si la frange d"ordre 0 est

observable, on observe une frange blanche brillante bordée de quelques franges irisées puis du blanc

d"ordre supérieur. L"analyse du blanc d"ordre supérieur en un point du champ d"interférence par un

système dispersif (prisme ou réseau) donne un spectre cannelé. ~Critère semi-quantitatif de brouillage : il y a non-brouillage au voisinage du pointM(donc il y a des franges observables) lorsquep <12 oùpest la variation de l"ordre d"interférence enMpourvariant sur la demi-largeur de l"étendue spectrale de la source.

Les différents points de la source étendue émettent des ondes incohérentes : il faut sommer les intensités

créées par chaque élément de longueur ou de surface de la source.

Lorsque la largeur de la source augmente, le contraste diminue jusqu"à s"annuler puis augmente à nouveau

légèrement avec inversion du contrasteavant de s"annuler. ~Critère semi-quantitatif de brouillage : il y a non-brouillage au voisinage du pointM(donc il y a des franges observables) lorsquep <12 oùpest la variation de l"ordre d"interférence enMpourvariant sur la demi-largeur spatiale de la source.

L"utilisation d"un interféromètre de Michelson (à division d"amplitude) permet de s"affranchir du problème

de la cohérence spatiale en étudiant des interférences localisées. 4quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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