[PDF] Exercices de dynamique et vibration mécanique

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Auteur de la ressource p

´edagogique :

Dureisseix DavidExercices de dynamique et vibration m

´ecanique

IUP GMP - Licence STPI - Master M

´ecanique

Cr

´eation : 2002-2010

Publication : D

´ecembre 2018

Derni `ere mise`a jour : novembre 2021

Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique

David Dureisseix

D ´epartement M´ecanique, Universit´e Montpellier 2

Ce polycopi

´e est principalement un recueil d"exercices, que j"esp`ere assez originaux quant`a leur support d"application, r ´ealis´es suite`a l"enseignement de dynamique du solide et celui de vibration en

IUP GMP puis en Licence STPI et Master M

´ecanique`a l"Universit´e Montpellier 2, aujourd"hui Universit´e de Montpellier, entre 2002 et 2010. Les exercices propos ´es ici sont issus d"exercices et de contrˆoles de connaissances, et ce document vise `a les proposer comme exercices d"entraˆınement personnel; il ne contient par contre pas de cours de dynamique ni de vibration... Ces exercices sont aussi le fruit de discussions avec les coll `egues enseignants, dont Franc¸oise Kra- sucki; qu"ils en soient remerci ´es. Certains exercices sont certainement inspir´es par des sujets propos´es ant ´erieurement`a l"ENS de Cachan, aujourd"hui ENS Paris-Saclay... Je suis donc`a la recherche des sources pour pouvoir les citer... Les sujets que je crois les plus originaux sont rep

´er´es par un ast´erisque

a la fin de leur titre; en tout cas, ils auront maintenant au moins le m´erite d"ˆetre disponibles.

2

Table des mati

`eres

1 Introduction4

2 Exercices d"application de dynamique du solide

6

1 Centrifugeuse

7

2 Cycliste*

8

3 Roulement haute vitesse*

9

4 Effet " r

´etro ". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5 R ´ecup´eration d"´energie sur bus urbain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Embrayage centrifuge

13 7 ´Equilibrage dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ´Etude du d´eploiement des bras d"un satellite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

9 Destruction de chemin

´ees par basculement*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

10 Principe d"un syst

`eme de r´ecup´eration d"´energie : le yoyo*. . . . . . . . . . . . . 24

11 Freinage et acc

´el´eration d"une motocyclette*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Exercices d"application de vibration m

´ecanique28

12

´Etude d"un acc´el´erom`etre*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

13 Micro-acc

´el´erom`etre MEMS r´esonnant*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 14 ´Etude d"une corde vibrante*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

15 Vibrations longitudinales

36

16 Amortisseur passif accord

´e de vibrations*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

17 Vibrations transversales - Calcul par m

´ethodes approch´ees. . . . . . . . . . . . . 38

18 Suspension automobile : le syst

`emeskyhook*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

19 Pot vibrant

´electrodynamique*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

20 VAL*

45

21 Vitesse critique d"arbre en rotation

47

22 La machine

`a laver simplifi´ee*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

23 Couplage a

´ero´elastique du pont de Tacoma*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

24 Oscillations des gratte-ciel*

53

25 Vibrophore et endurance de pi

`eces de faible raideur*. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Vibrations des syst

`emes discrets`a 1 degr´e de libert´e - formulaire59 5

´El´ements de corrig´e61

9 . Destruction de chemin ´ees par basculement*. .........................................62 12 ´Etude d"un acc´el´erom`etre*. ..........................................................63 13 . Micro-acc ´el´erom`etre MEMS r´esonnant*. .............................................66 18 . Suspension automobile : le syst `emeskyhook*. ......................................67 20 . VAL* . ...............................................................................68 23
. Couplage a ´ero´elastique du pont de Tacoma*. ........................................69 24
. Oscillations des gratte-ciel* . .........................................................70 25
. Vibrophore et endurance de pi `eces de faible raideur*. ...............................71 Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique 3

1Intr oduction

Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique 4

A propos du principe fondamental de la dynamique (PFD)... Principe.Du latinprincipium,commencement,origine(d´eriv´e deprinceps,premier). Dans les sciences, proposition premi `ere pos´ee au fondement d"un raisonnement ou d"une d´emonstration.

Pour Aristote, le souci de tout d

´emontrer se heurte`a l"impossibilit´e, pour l"esprit humain, de remon- ter

`a l"infini dans la chaˆıne des d´eductions. Il faut donc adopter, comme point de d´epart de toute

d

´emonstration, un ou plusieurs principes qui ne sont d´eduits d"aucune autre proposition et qui sont

eux-m

ˆemes ind´emontrables.

Dictionnaire de la philosophie, Serge Le Strat (2002) Et pour un petit aperc¸u historique, comparer :

Se dit aussi de toutes les causes naturelles par lesquelles les corps agissent & se meuvent. Principe

de mouvement. Les animaux ont le principe du mouvement en eux-mesmes, & les corps inanimez ne se meuvent que par un principe qui leur est estranger.

Dictionnaire de l"Acad

´emie franc¸aise (1694)

Se dit aussi de toutes les causes naturelles, et particuli `erement de celles par lesquelles les corps agissent et se meuvent. Le principe de la chaleur. Le principe du mouvement. On dit que les animaux ont le principe du mouvement en eux-m ˆemes, et que les corps inanim´es ne se meuvent que par un principe qui leur est

´etranger.

Dictionnaire de l"Acad

´emie franc¸aise (1835)Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique 5

2Ex ercicesd"application de d ynamiquedu solide

Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique 6

Exercice 1. Centrifugeuse

Le plan de situation de la centrifugeuse est donn

´e sur la figure1 . On consid`ere uniquement le sous-

ensemble 1, qui est donc un solideS, en liaison pivot avec le massif-bˆatiRautour d"un axe vertical

(O;!z). Le pointAdeSest situ´e au centre de la nacelle, sur son articulation avecS. Sa position est

rep

´er´ee de la fac¸on suivante :!OA=h!z+a!ero`u(!er;!e;!z)est un rep`ere li´e`aS, etest l"angle

entre!xet!er.

1°)Calculer!V(A=S),!V(A=R),!V(A;S=R).

2°)Calculer!(A=R).

3°)Quelle est la trajectoire deAdansS? Quelle est celle deAdansR?FIGURE1 - Centrifugeuse (pour l"entraˆınement des humains, pas pour les jus de fruits...)Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique 7

Exercice 2. Cycliste*

On consid

`ere la mod´elisation du v´elo de la figure2 . Les deux roues 1 et 2 sont suppos´ees parfaite-

ment rigides et de m ˆeme diam`etreD, en liaison pivot avec le cadre 3 aux pointsO1etO2. Le mouvement est suppos ´e plan. Les roues sont en contact avec le sol aux pointsI1etI2. Le cadre avance avec la vitessev!x, les roues roulent sans glisser sur le sol.

1°)Quel est le mouvement du cadre 3 par rapport au sol 0?

2°)Quel est le mouvement de la roue 1 par rapport au cadre 3?

3°)Que signifie le roulement sans glissement au pointI1?

4°)Lier la vitesse de rotation des roues par rapport au cadre,`av.

5°)Quel est le mouvement de la roue 1 par rapport`a la roue 2? Pour r´epondre, vous calculerez le

torseur cin ´ematiqueV(1=2)par composition des vitesses.ㄩ㈩㌩

?FIGURE2 - Mod`ele du v´elo envisag´e (ce n"est qu"un mod`ele simplifi´e, bien sˆur...)Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique 8

Exercice 3. Roulement haute vitesse*

On s"int

´eresse`a un roulement`a bille haute vitesse (application typique : les roulements de broche de machine-outil), figure 3 . Plus pr ´ecis´ement, on consid`ere une bille en acierS(de centreO, de rayona),

en contact enIavec la bague ext´erieureR, et en contact enJavec la bague int´erieureS1. La position

de la bille est rep ´er´ee par!AO=b!er; le rep`ere(!er;!e;!z)est un rep`ere li´e`a la cage du roulement, non repr ´esent´ee ici. Il tourne par rapport`aR`a une vitesse de rotation!c!z.

La bague ext

´erieure est fixe, la bague int´erieure tourne autour de(A;!z)avec une vitesse de rotation !!z. La bille roule sans glisser enIetJ. On suppose le mouvement plan. Le torseur cin´ematique deS par rapport `aRest alors not´e :

V(S=R) =

!z v!e O

Pour les applications num

´eriques, on prendraa= 5mm,b= 50mm,!= 15000 tr/min.

1°)O`u est le centre de masseGdeS?

2°) a)Pr´eliminaire : si on suppose connue la vitessevdeOpar rapport`aR, en d´eduire l"expression

de!c.

2°) b)Montrer que

=12 (1ba )!etv=12 (ba)!. Application num´erique.

3°)Calculer l"op´erateur d"inertieI(G;S). Application num´erique.

4°)Calculer le moment cin´etique!(G;S=R). Application num´erique.

5°)Calculer le moment dynamique!(G;S=R). Application num´erique.

6°)Quelle est la r´esultante des actions m´ecaniques agissant sur cette bille? Quelles sont leur origines

possibles? Application num

1匩

?爩攩FIGURE3 - Mod`ele du roulement (l`a aussi, c"est simplifi´e...)Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique 9

Exercice 4. Effet " r

´etro "

Un effet tr

`es important pour les joueurs de billard est l"effet r´etro1. Pour l"illustrer, figure4 , on consid `ere le mouvement suppos´e plan d"une boule de billardS, de centreA, de rayona, sur son tapis

Ravec lequel elle est en contact au pointI. Par rapport`aRsuppos´e galil´een, le pointAest anim´e

d"une vitesse horizontaleV!x, la boule tourne avec une vitesse de rotation!!z(voir figure ci-dessous).

Le coefficient de frottement entre le tapis et la boule est not

´e.

`A l"instant initial, la boule est lanc´ee avec adresse`a une vitesseV(t= 0) =V0,!(t= 0) =!0.V0

et!0sont tous deux positifs! L"objectif est de regarder si et quand la boule est susceptible de s"arrˆeter,

voire de rebrousser chemin.

1°)Donner l"expression de la vitesse de glissement au pointI:vg(S=R).

2°)Donner les expressions des torseurs cin´etique et dynamique du mouvement deSpar rapport`aR.

3°)La pesanteur`a une acc´el´erationgqu"on ne n´egligera pas. Donner l"allure du torseur des actions

m

´ecaniques ext´erieures`aSagissant surS.

4°)Tant que la vitesse de glissement est non nulle, donner les expressions des´evolutions en temps

deV(t)et!(t).

5°)

`A quelle conditionVs"annule-t-elle alors que la boule continue`a glisser?`A quel instant ceci se produit-il? Que vaut!`a cet instant? D"apr`es vous, quel sera le mouvement de la boule apr`es cet instant?

6°)Si la condition pr´ec´edente n"est pas v´erifi´ee,`a quel instant la vitesse de glissement s"annule-t-elle?

?FIGURE4 - Mod`ele de boule sur le tapis du billard (pas si simplifi´e que c¸a...)1. Voir par exemple Jean Marty,Le billard par l"image, Imp. Desseaux, 1967Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique 10

Exercice 5. R

´ecup´eration d"´energie sur bus urbain

La fr

´equence de d´emarrage et d"arrˆet des bus urbains s"accroˆıt avec la circulation. Le coˆut de

fonctionnement de ces bus peut ˆetre r´eduit en r´ecup´erant l"´energie dissip´ee lors d"un freinage pour la r

´eutiliser au d´emarrage suivant. On peut envisager plusieurs solutions de stockage temporaire de

cette

´energie; nous allons nous int´eresser ici`a un stockage sous forme d"´energie cin´etique2.

Un des premiers syst

`emes de r´ecup´eration d"´energie a´et´e mis au point par la soci´et´e Volvo, voir

figure 6 .Il utilise un v olantd"iner tiepour stoc kerl" ´energie. La transmission classique est remplac´ee par un ensemble volant d"inertie et transmission hydrostatique pilot ´ee par microprocesseur (non´etudi´ee ici).

Dans cette

´etude, on se propose de d´eterminer quelques conditions`a respecter lors de l"installation du volant d"inertie dans le bus pour r ´eduire les effets secondaires li´es`a ce volant.

Cahier des charges :

vitesse de rotation maximale du v olant: max= 8000tr/min, moment d"iner tiedu v olantpar r apport `a son axe :C= 15kg·m2, masse du v olantd"iner tie: m= 330kg, masse totale du v

´ehicule (bus + volant) :M= 12t.

Le rep

`ereRg= (O;!xg;!yg;!zg)li´e`a la route est suppos´e galil´een.

On va s"int

´eresser au bus lors d"un virage, en supposant la suspension infiniment rigide (pour sim- plifier) : le mouvement du busbest alors une rotation suivant!zg. Le rep`ere li´e au bus estRb=

(B;!xb;!yb;!zg)et la position du bus par rapport`a la route est rep´er´ee par l"angle(figure5 ).

Le rep

`ereRv= (G;!xv;!yv;!zv)est li´e au volantv, dontGest le centre de masse.(G;!zv)est

l"axe de la liaison pivot entre le volant et le bus. La position du volant par rapport au bus est rep

´er´ee de

fac¸on g ´en´erale par trois angles (dits angles d"Euler) ;;(figure5 ). Les angles etsont constants, et caract ´erisent la position de l"axe du volant par rapport au bus.

1°)

`A partir des donn´ees pr´ec´edentes, proposez des valeurs d"encombrement pour le volant d"inertie.

2°)Calculer l"´energie cin´etique maximale qui peutˆetre stock´ee dans le volant d"inertie. Si toute cette

energie cin´etique peutˆetre transform´ee en´energie cin´etique de translation du bus, quelle serait la

vitesse du bus obtenue?

3°)Donner l"expression de!

(b=Rg). On note n, w, zles composantes de! (v=Rg)en projection sur!n,!wet!zv. Donner leur expression. Dans toute la suite, on se place dans le cas particulier suivant : le bus tourne `a vitesse constante _=!, le volant d"inertie aussi_= et sa vitesse est grande devant celle du bus >> !.4°)Donner alors les versions simplifi´ees des expressions pr´ec´edentes.

5°)On appelleMnetMwles composantes du moment enGdes actions du bus sur le volant dans la

liaison pivot. Donner leur expression en fonction de n, w, z, et des donn´ees du probl`eme, en limitant au maximum les calculs.

6°)Pour le sc´enario consid´er´e, que faut-il choisir d"apr`es vous comme position de l"axe du volant dans

le bus?

7°)Si cet axe avait´et´e plac´e transversalement ( ==2,= 0), estimez la vitesse de rotation du bus,

puis les moments dans la liaison entre le bus et le volant.2. voir par exemple M. Hedlund al, Flywheel Energy Storage for Automotive Applications,Energies8 :10636-10663, 2015.

doi:10.3390/en81010636Exercices de dynamique et vibration m

´ecanique 11

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