[PDF] Points remarquables du triangle Coordonnées barycentriques

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Universite Claude Bernard{Lyon I

Agregation interne de Mathematiques : Geometrie

Annee 2011{2012Points remarquables du triangle

Coordonnees barycentriques

SoitPun plan ane euclidien (sens?) etABCun triangle non aplati. Dans ce probleme, on s'interesse aux coordonnees barycentriques des points remarquables du triangle dans le repere ane (A;B;C) deP. Rappelons qu'on appelle systeme de coordonnees barycentriques d'un pointMdePtout triplet de reels (a;b;c) dont la somme n'est pas nulle tel queMsoit le barycentre de f(A;a);(B;b);(C;c)g. Verier que : { il existe au moins un tel triplet; { deux tels triplets sont necessairement proportionnels. Exemple simple :Des coordonnees barycentriques du centre de graviteGdu triangle sont :

G: (1;1;1):

On note par ailleursOle centre du cercle circonscrit du triangleABC.

On supposera partout queO =2(BC).

I Resultats preliminaires

1 Lien entre coordonnees barycentriques et certains angles SoitPun point de la droite (BC). On note les angles suivants : = (!OB;!OP); = (!OP;!OC): (a)Exprimer!OBet!OCdans une base orthonormee (i;j), oui=!OP =OP. (b)Verier que les vecteurs sin!OB+sin !OCet!OPsont colineaires. (c)En deduire quePest le barycentre def(B;sin);(C;sin )g. (d)Donner une deuxieme preuve de ce resultat en utilisant la loi des sinus dans les triangles

BOPetCOP.

2

Barycentres et barycentres partiels

SoitMun point du plan et (a;b;c) des coordonnees barycentriques deMdans le repere (A;B;C) du plan. (a)Montrer queMn'est pas sur la parallele a (BC) contenantAsi et seulement sib+c6= 0. On suppose que ces conditions sont remplies, et on notePl'intersection de (AM) et (BC) et (b0;c0) des coordonnees barycentriques dePdans le repere ane (B;C) de la droite (BC). (b)Quel lien y a-t-il entre (a;b;c) et (b0;c0)?

II Points classiques

1

Centre du cercle circonscrit

(a)SoitPl'intersection des droites (AO) et (BC) (lorsqu'elle existe). Exprimer en fonction de^Bet^Cles angleset

de I 1. (b)En deduire les coordonnees barycentriques dePdans le repere ane (B;C). (c)En deduire que les coordonnees barycentriques deOdans le repere (A;B;C) sont :

O: (sin2^A;sin2^B;sin2^C):

1 2

Orthocentre

(a)Supposons que^Bet^Csoient aigus. On noteA0la projection orthogonale deAsur (BC). CalculerBA0etCA0en fonction deAA0,^Bet^C. En deduire les coordonnees barycentriques de A

0dans le repere ane (B;C).

(b)Traiter le cas ou^Best obtus. (c)Montrer enn que des coordonnees barycentriques de l'orthocentreHdans le repere (A;B;C) sont :

H: (tan^A;tan^B;tan^C):

3

Centre du cercle inscrit

On noteIle centre du cercle inscrit aABC.

(a)Montrer qu'il existe2Rtel que AI=0 @!ABAB +!ACAC 1 A (b)Montrer que des coordonnees barycentriques deIdans le repere (A;B;C) sont :

I: (BC;AC;AB):

(c)En deduire que des coordonnees barycentriques deIdans le repere (A;B;C) sont :

I: (sin^A;sin^B;sin^C):

III Un point semi-classique : le point de Gergonne 1

Point de Gergonne

On noteA0,B0etC0les points d'intersection respectifs du cercle inscrit aABCet des droites (BC), (AC), (CA). (a)A l'aide du theoreme de Ceva, montrer que les droits (AA0), (BB0) et (CC0) sont concou- rantes. On note leur intersection (point de Gergonne). (b)Montrer que des coordonnees barycentriques de dans le repere (A;B;C) sont : : (tan ^A2 ;tan^B2 ;tan^C2 2

Droite de Gergonne

On noteA00,B00etC00les points d'intersection respectifs : (AI)\(BC);(BI)\(AC);(CI)\(AB); etP,QetRles intersections respectives, supposees exister : Montrer a l'aide du theoreme de Desargues que les pointsP,Q,Rsont alignes. La droite qui les contient est appelee droite de Gergonne du triangleABC.

IV Le Savant Cosinus

On denit le Savant Cosinus

comme le point de coordonnees barycentriques : (cos ^A;cos^B;cos^C): 2 1

Construction geometrique de

Voir l'article de Francois Rideau, Bulletin de l'APMEP, n o457, p. 249-261 (che Publimath). 2

Alignement deG,,

On pose

a= tan^A2 ; b= tan^B2 ; c= tan^C2 (a)Demontrer que les pointsG, , sont alignes si, et seulement si on a : 1 1 1 tan ^A2 tan^B2 tan^C2 cos^Acos^Bcos^C 1 1 1 a b c

1a21+a21b21+b21c21+c2

= 0:

On note alorsfla fonction denie surRpar

f(x) =1x21 +x2(x2R); etCsa courbe representative dans un repere d'un plan ane. On noteR,S,Tles points deC d'abscisses respectivesa,b,c. (b)Montrer queG, , sont alignes, si et seulement siP,QetRle sont. On suppose queABCn'est ni equilateral, ni isocele, de sorte quea,betcsont distincts. Une droite qui contientP,Q,Ra donc une equation de la forme y=ux+v; ou (x;y) sont les coordonnees du point courant etu;vdes reels xes etu6= 0. (c)Montrer que siP,QetRsont alignes, alorsa,betcsont les trois racines d'un polyn^ome de degre trois, dont on ecrira les coecients en fonction deuetv. (d)Sous l'hypothese queP,QetRsont alignes, en deduire une relation satisfaite para,b,c, qui ne depend pas deuetv. (e)Demontrer que cette relation est en eet satisfaite. (f)Demontrer alors queG, , sont alignes. (On pourra exhiber un polyn^ome de degre 3 donta,b,csont solutions, puis montrer que les pointsP,QetRsont alignes).

Recapitulatifpointnomcoordonnees barycentriques

centre de graviteG(1;1;1)centre du cercle circonscritO(sin2 ^A;sin2^B;sin2^C)orthocentreH(tan ^A;tan^B;tan^C)centre du cercle inscritI(sin ^A;sin^B;sin^C)point de Gergonne tan^A2 ;tan^B2 ;tan^C2

Savant Cosinus

(cos ^A;cos^B;cos^C)D'apres F. Rideau, revue de l'APMEP. 3quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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