[PDF] COMPOSITION DE MATH´EMATIQUES

View - Download COMPOSITION DE MATH´EMATIQUES

Previous PDF

Next PDF

03 MAJ.4162

CONCOURS G

´EN´ERAL DES LYC´EES

SESSION DE 2003

COMPOSITION DE MATH

´EMATIQUES

(Classe terminale S) Dur

´ee: 5 heures

---La calculatrice de poche est autoris´ee.

La clart´e et la pr´ecision de la r´edaction seront prises en compte dans l"appr´eciation des copies.Le probl`eme comporte deux questions pr´eliminaires dont les r´esultats sont utiles tout au long

du probl`eme, et cinq parties ; les quatre premi`eres sont tr`es largement ind´ependantes les unes

des autres. Il n"est donc pas obligatoire de traiter syst´ematiquement les questions dans l"ordre de

l"´enonc´e, `a condition d"indiquer clairement la question trait´ee en respectant l"indexation du texte.

De mˆeme, pour poursuivre, les candidats peuvent admettre les r´esultats d"une question, `a condition

de l"indiquer clairement sur la copie.

Tournez la page, S. V. P.

-2-

Le probl`eme ´etudie des configurations du plan rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e(O,?u,?v). On pourra aussi se

placer dans le plan complexe associ´e,i´etant l"affixe du point de coordonn´ees(0,1). On appelletriangletout ensemble detrois points non align´esdu plan.

Questions pr´eliminaires

1.SoitABCun triangle etMun point quelconque du plan. Montrer que :--→MA·--→BC+---→MB·--→CA+---→MC·--→AB= 0

En d´eduire que les trois hauteurs du triangleABCsont concourantes en un pointHappel´eorthocentrede ce

triangle.

2.SoitABCun triangle, Ω le centre de son cercle circonscrit etHle point tel que--→ΩH=--→ΩA+--→ΩB+--→ΩC .

D´emontrer queHest l"orthocentre du triangleABC.

Etant donn´ee une partieXdu plan, suppos´ee non incluse dans une droite, on noteH(X)l"ensemble des

orthocentres des triangles dont les sommets appartiennent `aX.

On dira qu"une partieXdu plan estorthocentriquesi elle n"est pas incluse dans une droite et siH(X)est

inclus dansX, c"est-`a-dire si tout orthocentre d"un triangle de points deXappartient `aX.

Premi`ere partie

1.D´eterminer les parties orthocentriques `a 3 ´el´ements.

2.D´eterminer les parties orthocentriques `a 4 ´el´ements.

3.SoitXun ensemble de quatre points d"un cercle etY=H(X).

a) Montrer queYse d´eduit deXpar une transformation simple. b) D´eterminerH(Y).

4.a) Soit Γ un cercle de rayon strictement positif; d´eterminerH(Γ).

b) SoitDun disque de rayon strictement positif; d´eterminerH(D).

Deuxi`eme partie

Dans cette partie,Rest un nombre r´eel strictement positif,nest un entier au moins ´egal `a 2 etXest l"ensemble

des 2nsommets d"un polygone r´egulier inscrit dans le cercle de centreOet de rayonR.

On consid`ere l"ensembleTdes triangles dont les sommets appartiennent `aX. On choisit au hasard, avec

´equiprobabilit´e, un ´el´ement deT.

1.Quelle est la probabilit´e de choisir un triangle rectangle ?

2.Quelle est la probabilit´e de choisir un triangle dont les trois angles sont aigus?

3.On noteLla variable al´eatoire qui `a tout ´el´ement deTassocie le carr´e de la distance deO`a son orthocentre.

D´eterminer, en fonction denetR, l"esp´erance de la variable al´eatoireL.

Troisi`eme partie

1.Soita,b,ctrois r´eels tels quea(b-c)?= 0 etA,B,Cles points de coordonn´ees respectives (0,a), (b,0), (c,0).

Calculer les coordonn´ees de l"orthocentreDdu triangleABC.

2.SoitXla partie obtenue en prenant la r´eunion d"une droite Δ et d"un pointMn"appartenant pas `a Δ.

D´eterminerH(X). Montrer queH(X)?Xest une partie orthocentrique.

3.SoitXune partie orthocentrique incluse dans la r´eunion des axes (O,?u) et (O,?v) et contenant au moins trois

points de (O,?u) distincts deO. a) Montrer queXcontient au moins trois points de (O,?u) d"abscisses non nulles et de mˆeme signe. b) Montrer queXcontient au moins trois points de (O,?u) d"abscisses strictement positives.

4.a) D´eterminer les parties orthocentriques finies, contenant au plus cinq points et incluses dans la r´eunion des

axes (O,?u) et (O,?v). -3-

b) SoitXune partie orthocentrique incluse dans la r´eunion des axes (O,?u) et (O,?v) et contenant au moins six

points. Montrer qu"il existe deux suites (xn) et (x?n) de r´eels non nuls telles que, pour tout entiern, les points de

coordonn´ees (xn,0) et (x?n,0) appartiennent `aX, et telles que lim n→∞xn= +∞,limn→∞x?n= 0.

Une partie orthocentrique incluse dans la r´eunion des axes (O,?u) et (O,?v) et contenant au moins six points

peut-elle ˆetre finie?

Quatri`eme partie

L"objectif de cette partie est la construction de parties orthocentriques remarquables.

1.Soitkun r´eel non nul et soitYl"hyperbole d"´equationxy=k.

a) SoitA,B,C,Dquatre points distincts deY, d"abscisses respectivesa,b,c,d. Montrer que--→ABet--→CDsont

orthogonaux si et seulement siabcd=-k2.

b) SoitA,B,Ctrois points distincts deY, d"abscisses respectivesa,b,c. D´eterminer l"orthocentre deABC.

c) Montrer queYest orthocentrique.

Dans toute la suite de la quatri`eme partie, on consid`ere un entier relatif non nulqet on noteXl"ensemble

d"´equationx2+qxy-y2= 1.

2.a) Montrer que l"´equationt2-qt-1 poss`ede deux racines r´eelles distinctes. Montrer que ces racines sont

irrationnelles.

Dans toute la suite de la quatri`eme partie, on noteretr?ces deux racines etsla similitude d´efinie par la

repr´esentation complexez?→(1-ri)z.

b) Montrer ques(X) est une hyperbole, d"´equationxy=k, o`ukest un r´eel `a d´eterminer. En d´eduire queX

est un ensemble orthocentrique.

3.SoitGl"ensemble des points deX`a coordonn´ees enti`eres et Γ l"ensemble des abscisses des ´el´ements des(G).

a) V´erifier que Γ est l"ensemble des nombres r´eels de la formex+ry, o`uxetysont deux entiers tels que

(x+ry)(x+r?y) = 1. b) Montrer que-1?Γ; montrer quer2?Γ.

c) Montrer que le produit de deux ´el´ements de Γ est ´el´ement de Γ et que l"inverse d"un ´el´ement de Γ est ´el´ement

de Γ. Montrer que Γ poss`ede une infinit´e d"´el´ements.

4.D´eduire de ce qui pr´ec`ede que l"ensembleGdes points `a coordonn´ees enti`eres deXest une partie orthocentrique

infinie.

Cinqui`eme partie

On noteY1l"hyperbole d"´equationxy= 1 etY0l"ensemble d"´equationxy= 0, c"est-`a-dire la r´eunion des axes

(O,?u) et (O,?v).

On admet le r´esultat suivant :

??´Etant donn´es quatre pointsA,B,CetDdu plan, il existe une similitudestelle ques(A),s(B),s(C)ets(D)

appartiennent tous `aY1ou bien appartiennent tous `aY0??. SoitA0,B0,C0etD0quatre points, trois `a trois non align´es, et soitX0={A0,B0,C0,D0}.

On d´efinit par r´ecurrenceXn+1=H(Xn) pour tout entier natureln. On suppose qu"il existe un entiernstrictement

positif tel queXn=X0et on notemle plus petit entier ayant cette propri´et´e.

1.Montrer quem= 1 oum= 2.

2.D´eterminer les ensemblesX0tels quem= 1, puis ceux tels quem= 2.

-4-

Corrig´e

Questions pr´eliminaires

1.On d´eveloppe :

= 0

Remarquons d"abord que comme l"on envisage seulement des triangles non aplatis, les hauteurs sont deux `a deux

concourantes. De l"´egalit´e pr´ec´edente, on d´eduit que siHest l"intersection de deux des hauteurs du triangle, deux

des produits scalaires de la somme pr´ec´edente sont nuls ; le troisi`eme est donc nul aussi et le pointHest situ´e

sur la troisi`eme hauteur du triangle. Conclusion : les trois hauteurs sont concourantes enH. 2. --→AH=--→ΩH---→ΩA=--→ΩB+--→ΩC, donc AH·--→BC=?--→ΩB+--→ΩC?·?--→ΩC---→ΩB?= ΩC2-ΩB2= 0.

(AH) est donc la hauteur issue deAet, de mˆeme, (BH) est la hauteur issue deBet (CH) la hauteur issue de

C, doncHest l"orthocentre du triangleABC.

On peut, `a la suite de cette d´emonstration, faire deux remarques :

•ind´ependamment de la question1., cette question2.d´emontre l"existence de l"orthocentre d"un triangle ;

•par unicit´e, la relation--→ΩH=--→ΩA+--→ΩB+--→ΩCcaract´erise l"orthocentreHdu triangleABC.

Premi`ere Partie

1. Parties orthocentriques `a trois ´el´ements :les trois points forment un triangle dont l"orthocentre doit ˆetre

l"un des sommets; c"est donc un triangle rectangle et l"orthocentre est le sommet de l"angle droit.

2. Parties orthocentriques `a quatre ´el´ements :soit{A,B,C,D}une partie orthocentrique `a quatre ´el´ements.

Par d´efinition, ces quatre points ne sont pas align´es.

•Si trois des quatre points forment un triangleABCnon rectangle, le quatri`eme point est n´ecessairement

l"orthocentreDde ce triangle. Dans ce cas, tous les triplets inclus dans{A,B,C,D}forment un triangle non

rectangle etAest l"orthocentre du triangleBCD,Best l"orthocentre du triangleACDetCest l"orthocentre du

triangleABD.

•Sinon, trois ´el´ements quelconques pris parmi les quatre forment un triangle rectangle ou sont align´es et il y a

au plus un sous-ensemble de trois points align´es.

- Premier cas : tous les triplets inclus dans{A,B,C,D}sont form´es de points non align´es. Dans ce casABD,

ACDetBCDsont des triangles rectangles. Il ne peut y avoir deux angles droits ayant le mˆeme sommet (sinon

trois des points seraient align´es). Il y a donc un angle droit en chacun des quatre points qui forment donc un

rectangle. - Second cas : trois des points sont align´es, par exempleB,C,D. Les trianglesABC,ABDetACDsont

rectangles. Il y a au plus un angle droit de sommetA(puisqueB,CetDsont distincts) et au plus un point parmi

B,CouDqui est sommet d"un angle droit. Comme il y a trois angles droits, l"un est enAet les deux autres ont

pour sommet le mˆeme point pris parmiB,CouD, par exempleD. Dans ce cas, c"est le triangleABCqui est

rectangle enAetDest le pied de la hauteur issu´e deA.

En r´esum´e, les r´eciproques ´etant imm´ediates, les parties orthocentriques `a quatre ´el´ements sont :

•l"ensemble form´e des sommets d"un triangle non rectangle et de son orthocentre; •l"ensemble des quatre sommets d"un rectangle;

•l"ensemble form´e des sommets d"un triangle rectangle et du pied de la hauteur relative `a l"hypot´enuse.

3.a) SiX={A,B,C,D}est inclus dans le cercle de centre Ω et de rayonR, on pose-→V=--→ΩA+--→ΩB+--→ΩC+--→ΩD

et on d´esigne parHA,HB,HCetHDles orthocentres respectifs des trianglesBCD,CDA,DABetABC, donn´es

par les ´egalit´es :

---→ΩHA=--→ΩB+--→ΩC+--→ΩD ,---→ΩHB=--→ΩA+--→ΩC+--→ΩD ,---→ΩHC=--→ΩA+--→ΩB+--→ΩD ,---→ΩHD=--→ΩA+--→ΩB+--→ΩC .

-5-

On peut donc ´ecrire :

---→ΩHA=-→V---→ΩA,---→ΩHB=-→V---→ΩB,---→ΩHC=-→V---→ΩCet---→ΩHD=-→V---→ΩD, d"o`u, en

posant-→ΩI=12-→V,---→IHA=--→IA ,---→IHB=---→IB ,---→IHC=---→IC ,---→IHD=---→IDce qui montre queHA,HB,

H CetHDse d´eduisent respectivement deA,B,CetDpar une sym´etrie de centreIetY=H(X)se d´eduit deXdans cette sym´etrie.

b) Les pointsHA,HB,HCetHDcomposantYsont situ´es sur le cercle de centre Ω?et de rayonR(avec--→IΩ?=--→IΩ ).H(Y) est donc le sym´etrique deYpar rapport `aI?o`u

Ω?I?=12?

doncI?=IetH(Y) =X4.a) Si Γ est le cercle de centre Ω et de rayonR, pour tous points distinctsA,BetCde Γ, l"orthocentreHdu

triangleABCv´erifie?--→ΩH?

ne sont pas align´es). Montrons r´eciproquement que tout point du disque ouvert de centre Ω et de rayon 3Rest

l"orthocentre d"un triangle inscrit dans le cercle Γ. SoitHtel que?--→ΩH?<3R.

•SiH= Ω, on prend pourABCun triangle ´equilat´eral inscrit dans le cercle Γ etHest le centre, donc

l"orthocentre deABC.

•SiH?= Ω, prenons un rep`ere orthonorm´e (Ω;-→i ,-→j) tel que-→i=--→ΩH?--→ΩH?de sorte que--→ΩH=h-→i(avec

h >0). Choisissons pourAle point d´efini par--→ΩA=R-→ipuis prenonsKtel que--→ΩK=--→ΩH---→ΩA= (h-R)-→i.

La m´ediatrice de [ΩK] est `a une distance|h-R|2< Rde Ω donc coupe le cercle Γ en deux pointsBetC. D"apr`es

la construction du parall´elogramme,

--→ΩK=--→ΩB+--→ΩCdonc--→ΩH=--→ΩA+--→ΩB+--→ΩCetHest l"orthocentre du

triangleABC. H(Γ) est doncle disque ouvert de centreΩet de rayon3R.

b) Le texte ne pr´ecise pas, `a dessein, si le disque est ouvert ou ferm´e, car le r´esultat est le mˆeme dans les deux

cas :H(D) est le plan tout entier. Montrons qu"en fait si Γ est un cercle de centre Ω et de rayonR >0 et si

X= Γ? {Ω}, alorsH(X) est le plan tout entier. Soit en effet une demi-droite [Ωx) d"origine Ω,θ?]0,π/2[,Ble

point du cercle Γ tel que?Ωx,--→ΩB?=θ[2π] etCle sym´etrique deBpar rapport `a la droite Ωx).

L"orthocentre du triangle ΩBCest le pointHde la droite (Ωx) situ´e sur la perpendiculaire men´ee deB`a (ΩC).

Un calcul ´el´ementaire montre qu"il a pour abscisseh(θ) =cos2θcosθ·Lorsqueθcroˆıt deπ/2 `a 3π/4,h(θ) d´ecroˆıt

de +∞`a 0 donc prend, par continuit´e, toute valeur r´eelle positive, etHd´ecrit la demi-droite [Ωx). L"ensemble

des orthocentres des triangles de type ΩBCo`uBetCsont sur le cercle Γ est donc l"ensemble des points des

demi-droites d"origine Ω, c"est-`a-direle plan tout entier.

Deuxi`eme Partie

1.Le nombre des triangles dont les sommets appartiennent `aXest2n(2n-1)(2n-2)6=n(2n-1)(2n-2)3·Un

de ces triangles est rectangle si, et seulement si, deux de ces sommets sont diam´etralement oppos´es . Pour avoir

un triangle rectangle, il faut donc choisir une paire de deux points diam´etralement oppos´es (il y en an) puis un

troisi`eme sommet parmi les 2n-2 points restants. Il y a doncn(2n-2) triangles rectangles dont les sommets

sont dansXet la probabilit´e qu"un triangle pris au hasard dansTsoit rectangle est donc

n(2n-2)×3n(2n-1)(2n-2)=32n-12.Il est plus facile de d´enombrer d"abord les triangles ayant un angle obtus. Un tel triangle peut ˆetre not´e sans

ambigu¨ıt´eABC, avecA,BetCdans le sens trigonom´etrique et l"angle obtus enB. SiA?est le point oppos´e par

le sommet `aA, le triangleABCest obtus enBsi, et seulement si,Cest entreAetA?etBentreAetC. Pour

le choix deA, il y a 2npossibilit´e. Ce choix ´etant fait, on peut num´eroter les sommetsM1, M2, ...,M2ndu

-6- n j=3(j-2) = 1 + 2 +···+n-2 =(n-1)(n-2)2,

et le nombre de triangles obtusangles estn(n-1)(n-2). Le nombre de triangles acutangles dont les sommets

appartiennent `aXest donc : n(2n-1)(2n-2)3-n(2n-2)-n(n-1)(n-2) =n(n-1)3(4n-2-6-3n+ 6) =n(n-1)(n-2)6, et la probabilit´e de choisir un triangle acutangle est :

n(n-1)(n-2)6×3n(2n-1)(2n-2)=n-22(2n-1)3.En situation d"´equiprobabilit´e, on est amen´e `a calculer d"abord la sommeSdesOH2´etendue aux orthocentres

HdesNtrianglesM1M2M3deT. Or :

--→OH2=---→OM12+---→OM22+---→OM32+ 2---→OM1·---→OM2+ 2---→OM2·---→OM3+ 2---→OM3·---→OM1

= 3R2+ 2---→OM1·---→OM2+ 2---→OM2·---→OM3+ 2---→OM3·---→OM1

Finalement,S= 3NR2+ 2?

leurs sommetsMietMj. Pour le troisi`eme sommet, il reste 2n-2 choix possibles doncμ(i,j) = 2n-2. On a

donc E(L) =SN= 3R2+2(2n-2)N?

OMi·---→OMj. Mais

0 = 2n? i=1---→ OMi? 2 =2n? i=1---→

OMi2+ 2?

OMi·---→OMj= 2nR2+ 2?

OMi·---→OMj,

donc 2

OMi·---→OMj=-2nR2et

E(L) = 3R2+ (2n-2)×3n(2n-1)(2n-2)?-2nR2?= 3R2?

1-22n-1?

=3(2n-3)2n-1R2Troisi`eme partie

1.La hauteur issue deCa pour ´equationb(x-c)-ay= 0 et l"orthocentreD, `a l"intersection de cette droite et

de l"axe (0,?v), a pour coordonn´eesx= 0 ety=-bca2.Les orthocentres des trianglesMBCo`uBetCsont deux points distincts de Δ sont sur la hauteur issue deM

qui est la perpendiculaireDmen´ee deM`a Δ. Sans diminuer la g´en´eralit´e, on peut prendre comme droite Δ la

droite (0,?u) et comme droiteDla droite (0,?v). SiMa pour ordonn´eeal"ensemble des ordonn´ees des orthocentres

des trianglesMBCest l"ensemble des nombres r´eels s"´ecrivant-bcao`ubetcprennent toutes les valeurs r´eelles

distinctes : c"est donc l"ensemble des nombres r´eels etH(X) =D. Il est alors imm´ediat queH(X)?X= Δ?D

est orthocentrique puisqueH(Δ?D) = Δ?D.

3.a) Supposons qu"il y a sur (O,?u) deux pointsB1etB2d"abscissesb1>0 etb2>0 et un pointCd"abscisse

c <0. CommeX, orthocentrique, n"est pas inclus dans une droite, il y a un pointA1sur (O,?v) d"ordonn´ee non

nullea1. Le pointA2, orthocentre du triangleA1B1B2est aussi sur (O,?v) et a une ordonn´ee non nullea2=-b1b2a1du signe contraire de celui dea1. Notons d"ailleurs queA1est l"orthocentre du triangleA2B1B2. Supposons, pour

fixer les id´ees, quea1>0 eta2<0. L"un des deux trianglesA1CB1ouA1CB2est non rectangle enA1donc -7-

a son orthocentreA3sur (O,?v) avec une ordonn´eea3>0. Supposons queA1CB1est non rectangle et a pour

orthocentreA3, donca3=-cb1a1,aveca21?=-cb1. L"un des deux trianglesB1A2A3ouB2A2A3est non rectangle au pointBi. Son orthocentreB3est sur (O,?u) avec une abscisseb3>0. •siB3est l"orthocentre deB1A2A3,b3=-1b1×-cb1a1×-b1b2a1=-cb1b2a21?=b2puisquea21?=-cb1. •siB3est l"orthocentre deB2A2A3,b3=-1b2×-cb1a1×-b1b2a1=-cb21a21?=b1puisquea21?=-cb1.

3.b) Montrons sym´etriquement que, dans le cas ´etudi´e au3.a), il y a trois points deXsur (O,?u) d"abscisse

strictement n´egative. D"apr`es le travail fait au3.a), il suffit de montrer qu"il y en a deux : ce sontCet l"orthocentre

de celui des deux trianglesCA1A2etCA2A3qui est non rectangle enC.

4.a) Parties `a trois points :{O,A,B}, avecAsur (O,?u) distinct deOetBsur (O,?v) distinct deO.

Parties `a quatre points : deux pointsAetCsur (O,?u) et deux pointsBetDsur (O,?v) avec trois configurations

possibles :

1 Aucun des points n"est enOetCest l"orthocentre deABD.

2Cest enOet le triangleABDest rectangle enA.

3ABCDest un carr´e (rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires).

Parties `a cinq points : on a vu que s"il y avait dans une partie orthocentiqueXincluse dans la r´eunion des axes,

trois points, sur l"un des axes, distincts deOil y avait en fait au moins sept points dansX. Si une telle partie

Xa exactement 5 points, l"un est doncO, qui est lui-mˆeme l"orthocentre de tous les triangles dont il est l"un

des sommets et d"aucun autre (puisque pour les autres triangles, il est sur l"un des cˆot´es sans ˆetre un sommet).

Les parties orthocentriques `a 5 ´el´ements sont donc les parties{O,A,B,C,D}, o`u{A,B,C,D}est une partie

orthocentrique `a 4 ´el´ements du type 1 ou 3.

4.b) SiXa au moins six points il en a au moins trois sur l"un des deux axes en dehors deOdonc, d"apr`es la

question3.au moins trois sur (O,?u) d"abscisse strictement positive, soitB(b,0),C(0,c) etM0(0,x) avec 0< b < c.

Il y a aussi un pointA(0,a) deXsur (O,?v) d"ordonn´eea >0.

On d´efinit successivement dansX,A1(0,a1) orthocentre deACM0, puisM1(x1,0) orthocentre deAA1B. On a

a

1=-cx0aetx1=cbx.

orthocentre deAAkBavecxk=?cb? kx

0, on peut d´efinir dansX,An(0,an) comme orthocentre deACMn-1puis

M n(xn,0) comme orthocentre deAAnB, avecan=-ca×?cb? n-1x

0, puisxn=?cb?

nx

0. Commec > b, la suite

(xn) tend bien vers +∞.

Si on consid`ere un pointA?sur (O,?v) d"ordonn´ee strictement n´egativea?et si on d´esigne parM?n(x?n,0)

quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

[PDF] Orthocentre et cercle circonscrit

[PDF] Orthocentre et droite d'Euler, vecteurs

[PDF] orthocentre triangle

[PDF] orthodoxie en france

[PDF] orthodoxologie

[PDF] orthogonalité

[PDF] Orthographe

[PDF] Orthographe : dictée n°1

[PDF] Orthographe besoin d'aide

[PDF] orthographe comment se fait-il

[PDF] orthographe correcteur

[PDF] Orthographe d'un texte sur Gérard de Nerval

[PDF] Orthographe d'une rapport de stage

[PDF] orthographe définition

[PDF] orthographe et conjugaison pdf