[PDF] Hyperbole et orthocentre ? ? = et lon note

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[1-4]

Hyperboleetorthocentre

Problème

Dansunrepèreortho no rmé, onconsi dèretrois l'hyperboled'équation: , etl 'onnote l'orthocentredutriangle.

PartieIUtilisationdeGeogebra

ConstruirelafigureavecGeogebra,puisfaire varie r

lespoint setdel'hyp erbole().

Quelsembleêt relelieugéométriquedu point

lorsquelespoints,, etdécriventl'hyperbole ()enrest antdistinctsdeuxàdeux?

Danstoutelasuite, onnotelesabsci ssesde,

etrespectivement.Onaainsi: 1 1 1

PartieIIDémonstrationd'unLemme

Onsepr opose dedémontrerleLemme:"lespoints

A,BetCdeuxàdeuxdistin ct sdel'hyperbo lene

peuventpasêtrealignés».

Notonslad roitepassantparet.

1.Montrerquel'équationcartésienn eréduitedel a

droiteest: 1

2.Endéd uirequel'abscissed'unpointco mmunà

etvérifie:().

Montrerqu'ilnepeutpasyavoirtroi spoints

communsàet, puisconclure. LeLem meétantàprésentdémon tré,c'estdoncen toutelégitimitéqu el'onpeutparlerdutriangle.

PartieIIIEquationsdeshauteurs

1.Onnote laha uteurissuededutria ngle

a.Exprimerlescoordonnéesdeà l'aidede et. b.Soitun pointquelconquede.

Justifierque:= 0.

Endéd uirequ'uneéquationdeest:

()()1 1 1

2.Donnersansjustificationune équationdela

hauteurissuedeetdela hauteurissuede dutria ngle.

PartieIVCoordonnéesdupoints

1.Ondonn eunecopied'écranlorsde l'utili sationde

XCAS:

Expliquerpourquoionpeutconjecturerque:

1

2.Onsouhai tevérifierlaconjectureén oncéeàla

questionprécédente. a.Vérifierquelepointdecoo rdonnées: 1 appartientà. aussileséquatio nsdeetdeobtenuesen

III 2. Quereprése ntelepointpourle

triangle?

PartieVLieugéométriqued upoint

relation= . Quepeut- onendéduirepour?

2.Soitun pointquelconquede(). Montrerque

l'onpeuttrouver troispoints,,de(), distinctsdeuxàdeux,telsquesoit l'orthocentredutriangle.

3.Synthèse

Quelestlelie ugéométriqu edup oint?

1S Fin

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[2-4]

Corrigé

PartieI

Il semblequepourtouspoints,,distinctsdeuxà

deuxapparten antà, l'orthocentredutria ngle appartientà(), etqueto utpointdeest l'orthocentred'aumoinsuntriangle; onpeut doncraisonnablem entpenserque: " leli eugéométriqued upointestl'hyperb ole()».

PartieII

1.Montrerquel'équationcartésien neréduitede la

droiteest:

Supposonsque:.

Commeet, onendé duit,

puisenprenan tl'inve rserdecesdeuxnombres nonnuls: , c'est-à-dire:.

Onobti entalors:et, cequies t

incompatibleavecladonnée.

L'hypothèse"» doitparconséqu entêtre

rejetée,etl'onpeutaffirmerque .

Ladro iten'estasparallèleàl' axedes

ordonnéedeetiles tdonclé gitimedeche rcher l'équationcartésienneréduitede.

Notons()lec oefficientdirecteuret()

repère. L'équationcartésienneréduitede estdonc:()(). Ona: 1 1 ×1 1

Comme:, onendéd uitque:

1 donc: 1 1 1 1 1 +1

L'équationcartésiennedeestdoncbi en:

1

2.Endéd uirequel'abscissed'unpointcomm unà

et()vérifie:().Montrer qu'ilnepeutpasyavoir troispo intscommunsà et(), puisconclure.

Lespointsc ommunsàet()sontlespoints

dontlescoordonné esvérifien tlesystème: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

L'équationduseconddegréd'inconnue:

()admetauplusdeux solutions.

Or,d'unepar t:

etd'aut repart: donclesdeuxnombr esdistinc tsetsontdeux solutionsdel'équation().

Onendé duitquel adroiten'apasd'aut re

pointencommunavec()queet, orestun pointde()distinctdeetdist inctde, par conséquentladroitenepas sepaspar: les point,etnesontpasalignés.

On peutobtenirplus rapidementl'équation

cartésienned'unedroitedecoefficientdirec teur connuetquipa ssepar(;)enutil isantla formule:=()+.

Autreméthode

L'équation²(+)+=0estdela

forme²+=0avecsommedeet, etproduitdeet..

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[3-4]

PartieIIIEquationsdeshauteurs

1.Hauteurissuededutrian gle

a.Calculerlescoordonnéesde.

Ona:(;).

Or: ;1 et;1 donc: ;1 1 b.Soit(;)unpoint quelconquede.

Justifierque:.=.

.= 0.

Endéduir equ'uneéquationdeest:

utiliserl'expressionanal ytiqueduproduit scalaire:

Onobtien tdonc,enutilisantlescoo rdonnés

deet: .=()()+1 1 1 etcomme ceproduitscala ireestn ul,onen déduit: ()()+1 1 1 = 0 estdoncbien : ()()+1 1 1 = 0

2.Donnersansjustificationune équationdela

hauteurissuedeetdela hauteur issuede du triangle.

Parpermutatio ncirculaire,onobtient:

()()+1 1 1 = 0 et: ()()+1 1 1 = 0

PartieIVCoordonnéesdupoints

1.

Commelesdeux équationsd 'inconnue(;) sont

etqueestlepointde d'int ersectiondecesdeux droites,onpeutconjecturerque : 1

2.a.Vérifierquelepointdecoor données:

et appartientà. Ona: ()()+1 1 1 =()1 +1 1 1 =()1 + =()1 + 1 + =()× 0 = 0

Lescoordonné esdevérifientl'équation

, donc. b.Parpermutatio nscirculaires,ondéduit quelescoordo nnéesdevérifientles

Onendé duitquele pointappartientaux

troishauteurs dutriangle, doncquele pointestl'orthoce ntredecetriangle.

Lepoin tetlepoi ntsontconfondus, eton

peutàprésentaffirmerque: 1

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[4-4]

PartieVLieugéométriqued upoint

1.Ona:

1 =1 1 1 Ona:= cequip rouveque lepointH, orthocentredutriangle, appartientà().

2.Soit(); montronsqueestl'orthoc entre

d'aumoinsuntria ngle, avec(), ,(),,etdistinctsdeuxàdeux.

Nousallonsé tudierlestroissuivants( autres

découpagespossibles):

Rappelonsquel'ona:;

Onpose :

(1 ;1)()1

Cestroispo intsappartientà()etilss ont

distinctsdeuxàdeux. Ona: = 1× ()×1 1 puis: 1 1 1 1 1 = y etdonc :.

Onvient doncdetrouvert roispoints,de

(), distinctsdeuxàdeux,telsquesoit l'orthocentredutriangle.

Rappelonsquel'ona:;

Onaalo rs

), soit

Posons,et

, donc.

L'orthocentredutria nglea pour

coordonnées: 1 1 1 et

Onendé duitque.

Onadon ct rouvétroispointsetde()

distinctsdeuxàdeux,telsquesoit l'orthocentredutriangle.

Rappelonsquel'ona:;

. Onaalo rs , soit:(1;1). Posons:, et . Onaalor s: ()(2)

L'orthocentredutria nglea pour

coordonnées: 1 1 et().

Onendé duitque.

Onadon ct rouvétroispointsetde()

distinctsdeuxàdeux,telsquesoit l'orthocentredutriangle.

Synthèse

Pourtoutpoint (), onpeuttr ouverau

moinsuntriangle,(),()et ()dontl'orthocentr eest.

3.Onamon tr éque:pourtouttrianglede

pointsde(), l'orthocentredutria ngle appartientà(), etrécip roquementtout pointdeestl'ortho centred'uncertain triangledontlessommetsap partienne ntà ().Onendé duitque lel ieugéométriquedeest l'hyperbole(). 1

On peut"vérifier »a vecGeoGebraen

désactivantl'affichagedel'hyperbole() d'équation puisenactiva ntlatrac edupoint, eten bougeantlespointsjusqu'àcequetoute l'hyperbolesoitreconstru ite:

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