KIFFELESMATHS
Deux droites sont orthogonales si et seulement si
Produit scalaire et défaut dorthogonalité
vecteurs est droit. Dans ce cas on dit que les vecteurs. ?? u et. ?? v sont orthogonaux.
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et sécantes. 2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan.
Orthogonalité de lespace.
(elles ne sont pas coplanaires). 2. Droites orthogonales à un plan. On dit que la droite D est perpendiculaire (ou orthogonale) au plan p
1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan
Definition : - deux droites D et D' de vecteur directeurs u et v non nul sont orthogonales si les vecteursu et v sont orthogonaux.
8.1. Orthogonalité des quatre sous-espaces - Section 4.1
Orthogonalité des quatre sous-espaces. Section 4.1. MTH1007 Deux vecteurs u et w sont orthogonaux si leur produit ... Sous-espaces orthogonaux.
Parallélisme et orthogonalité dans lespace
On dit que deux droites sont orthogonales si l'une d'elles est parallèle à une droite perpendiculaire à l'autre. Remarque : deux droites perpendiculaires sont
Produit scalaire et orthogonalité dans R
On dit que les vecteurs x et y sont orthogonaux lorsque ?x
Terminale générale - Orthogonalité et distances dans lespace
Orthogonalité dans l'espace a. Orthogonalité de deux droites. Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque la projection de.
CARACTÉRISATION DUN ESPACE PRÉHILBERTIEN AU MOYEN
ou soit l'orthogonalité de Pythagore alors l'espace considéré est préhilbertien. 1. Introduction. Quelques définitions généralisant aux espaces vectoriels.
Pre requis :
- produit scalaire - vecteur directeur d"une droite, vecteur normal à un planCadre :
E espace affine euclidien d"esp. Vectoriel associé E??.1) Droites orthogonales
a) Vecteurs orthogonaux Definition : deux vecteursu?et v? sont orthogonaux si et seulement si . 0uv=? ? b) Droites orthogonalesDefinition :
- deux droites D et D" de vecteur directeurs u?et v? non nul sont orthogonales si les vecteurs u?et v? sont orthogonaux. - Si de plus elles sont sécantes, elles sont dites perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"une est orthogonale à l"autre Remarque : dans le plan, deux droites orthogonales à une même troisième sont paralleles, mais pas dans l"espace (prendre les axes du repere orthgononal.)Proposition : Soit
Pun plan, A P? et une droite D P?. Il existe une unique droite D"de P passant par A et perpendiculaires à D.2) Orthogonalité d"une droite et d"un plan
Remarque : existence d"une droite perpendiculaire à un plan.P un plan
?sous espace de dimension 2, P possède un vecteur normal qui dirige toute droite orthogonale D... a revoir a) Definition Definition : Soit D une droite de E et P un plan de E. D est orthogonale à P si D est orthogonale à toute droite de P Autrement dit : D et P sont orthogonaux lorsque pour toutes bases (v?,w??)vectorielles de P?? on a : u?.v?=0 et u?.w?? = 0 avec u?vecteur directeur de D. Remarque : pour qu"une droite soit perpendiculaires à un plan, il suffit qu"elle soit perpendiculaires à deux droites secantes de ce plan b) Proprietes Soient deux droites D et D" distinctes et deux plan P et P" distincts.Propriétés :
- Si D et D" sont paralleles, alors tout plan orthogonal à l"une est orthogonal à l"autre. - Si P et P" sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"un est orthogonale à l"autrePreuve :
- Soit u? (resp. "u??) vecteur directeur unitaire de D (resp.D"). Alors "u u= ±? ??. Si P est dirigé par ( v?,w??) alors . 0 . 0 ". 0 ". 0 "P D u v et u w
P D u v et u w P D
Si// " "P P P P? =?? ???, on pose (v?,w??) une base de vecteur unitaire. Soit D une droite perpendiculaire à P alors . 0 . 0 "P D uv et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ?? " . 0 . 0P D u v et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ??Corollaire :
Si deux droites distinctes sont orthogonales à un même plan, alors elles sont paralleles. Si deux plans distincts sont orthogonaux à une même droite alors ils sont paralleles Si un plan P et une droite D?P sont orthogonaux à une même droite alors D et P sont paralleles. Proposition : Il existe une unique droite D passant par un point A de E donné et orthogonale à un plan P donné.3) Plans perpendiculaires
Proposition : L"intersection de deux plans non parallèles et distincts est une droite. Preuve : par les equations de plan ou par les dimensions Definition : Deux plans P et P" de E sont dits perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.Propriété : Un plan P est perpendiculaire à un plan P" si et seulement si il contient une droite
D orthogonale à P"
Preuve passer par les bases vectorielles
Proposition : Si deux droites secants non confondus sont perpendiculaires à un même plan P, alors l"intersection D des deux plans est orthogonale à P. Proposition : S P et P" sont non confondus, perpendiculaires d"intersection D, tout plan P"" orthogonal à D coupe P et P" en deux droites orthogonales4) Application
a) Projection orthogonales sur un plan Soit P un plan de E. l"application qui a tout point M de E associe le pied de la perpendiculaire à P passant par M est appelée projection orthogonale sur P. b) Le plan mediateur d"un segment Soient A et B deux point distincts de E. l"ensemble P des points de E équidistants de A et de B est le plan orthogonal à (AB) passant par le milieu I de [A,B]. P est appelé le plan mediateur de [AB]. c) Theroeme des 3 perpendiculaires Theoreme : P un plan et A,B,C un triangle rectangle en B dans P. Soit D?E, D?P tel que ADB soit en triangle rectangle en A. Alors CBD est un triangle rectangle en BAutrement dit :
[]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AD AB et AB BC BD BC? ? ? ? Exercice : montrer que les hauteurs issues de A et B d"un tetraede ABCD sont concourantes si et seulement si (AB) et (CD) sont orthogonalesquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48[PDF] Orthographe : dictée n°1
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