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OSCILLATEUR HARMONIQUE : CORRECTIONS

Exercices prioritaires :Deux ressorts accrochés

?Exercice n° 1Deux ressorts sans masse de longueursl1etl2au repos et de raideursk1etk2sont accrochés

bout à bout et tendus horizontalement entre deux murs distants deDÈl1Ål2 . Le dispositif est immobile. Remarque: L"énoncé définissant les constantes de raideur des ressorts, il est implicitement

supposé que l"on peut utiliser l"approximation linéaire pour modéliser l"élasticité des res-

sorts.1.C alculerl "allongementde ch acundes r essorts.

On notex1etx2les allongements respectifs

des ressorts 1 et 2, à l"équilibre, comme re- présenté sur le schéma ci-contre.

Ces deux inconnues sont reliées par la re-

lationDAEl1Åx1Ål2Å x2, donc il suffit de trouver une équation sans inconnues sup-

plémentaires pour pouvoir trouverx1etx2.On va voir que ceci est possible en considérant le point d"attache A des deux ressorts.

Référentiel: terrestre, supposé galiléen (on ne demande pas ici de justification. On admettra que pour les problèmes posés dans ce TD cette hypothèse est vérifiée avec une bonne approximation. voir cours pour un peu plus de détails.) Repère: On choisit comme repèreR(0,~i) (voir le schéma ci-dessus) Système: On considère comme système le point d"attache A des deux ressorts. Bilan des forces extérieures(BFE) : Faisons un bilan des forces extérieures s"exerçant sur ce système : -forces à distance : aucune, car la masse de ce point étant nulle, le poids est nul. -forces de contact :UJF L1 1 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 - la force de rappel exercée par le ressort 1 sur A : ~F1!AAE¡k1x1~i - la force de rappel exercée par le ressort 2 sur A : ~F1!AAEk2x2~i PI: Le référentiel étant galiléen, on peut uti- liser le principe d"inertie. Puisque le système est immobile, d"après le principe d"inertie, le système est isolé. Ainsi :

F1!AÅ~F2!AAE¡k1x1~iÅk2x2~iAE~0.Ainsi, en projetant cette relation sur Ox, on obtient : 0AE¡k1x1Åk2x2(1), relation que

l"on peut réécrire ainsi :x1AEk2x2k 1. On a donc bien obtenu une nouvelle équation reliantx1etx2, sans inconnue supplé- mentaire. En utilisantDAEl1Ål2Åx1Åx2, on obtient les résultats cherchés : x

1AEk2k

1Åk2(D¡(l1Ål2)) etx2AEk1k

1Åk2(D¡(l1Ål2)).

Remarques :

- Les résultats sont bien homogènes. - Les résultats sont symétriques par échange des indices 1 et 2 : ceci est cohérent avec le fait que les deux ressorts ont des rôles équivalents - Si la somme des longueurs à vide correspond àD, on s"attend à un allongement nul des ressorts, ce qui est bien le cas avec les relations obtenues.

(Cette étude a été menée en supposant les ressorts compressibles. On pouvait donc considérer le

cas oùDÇl1Ål2. Ceci n"est pas toujours vérifié, par exemple avec ceux utilisés lors du TP, où les

spires se retrouvent au contact les unes des autres lorsque l"on essaie de comprimer le ressort à

partir de sa position de repos. Dans ce cas, l"approximation linéaire n"est plus valable et on ne peut

donc pas utiliser les équations trouvées.)2.C alculerp ourch aquer essortla for cequ "ile xercesur l emur au quelil est fixé. C omparer.

Afin de prévoir la force exercée par le mur sur le ressort 1, isolons maintenant le sys- tème consitué par le ressort 1.

Système: {ressort 1}

Bilan des forces extérieures:

-forces de contact : la force de rappel exercée par le ressort 2 au point A : ~F2!A la force exercée par le mur ~Fmur!1.

PI -Le système étant à l"équilibre, d"après le PI :~F2!AÅ~Fmur!1AE~0.UJF L1 2 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

Ainsi :

1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.

Or ~F1!murAE¡~Fmur!1, donc :

F1!murAEk1k2k

1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.

De même, en isolant le ressort 2, on obtient :

F2!murAE¡k1k2k

1Åk2(D¡(l1Ål2))~i.

Onremarqueque:

Il s"agit de la relation que l"on obtient à l"aide du PI appliqué au système constitué par

l"association des deux ressorts. Le résultat est donc cohérent.3.C alculerla for cequi ag itsu rle p ointcommun aux deu xr essorts,lo rsqueles r essortssont

écartés dexpar rapport à la position d"équilibre. Soit ~Fla force exercée sur le point d"attache A.

On a :

Ainsi, en utilisant la relation (1), on obtient :

FAE¡(k1Åk2)x~i.

ressort accroché au mur de gauche, de constante de raideurk1Åk2, et de longueur à

videl1Åx1.4.E nsupp osantq uece point commun a une mas sem, écrire l"équation qui régit le mouve-

ment dem. Pour cela on repérera la masse sur un axe horizontal par sa positionx(xAE0 quand le système est immobile). ment) sont perpendiculaires au mouvement et se compensent. En projetant sur l"axe

Oxet en utilisant la forme trouvée à la question précédente (xa bien la même défini-

tion) on a : m xAE05.Dé terminercomplètementx(t)ensupposantqu"àtAE0lamasseestlâchéedepuisx0sans vitesse.UJF L1 3 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

L"équation différentielle à résoudre est une équation différentielle homogène linéaire

à rechercher des solutions exponentielles complexes. Ici nous sommes dans un cas classique (terme du premier ordre absent et terme constant positif) caractéristique de l"oscillateur harmonique. Les solutions sont des fonctions sinusoïdales de pulsa- tion!0AEqk

1Åk2m

x(t)AEAcos(!0tÅÁ) oux(t)AE®cos(!0t)ůsin(!0t) tions connues car l"équation est d"ordre 2. Ici les deux conditions connues sont les conditions initiales sur la position et la vi- tesse :x(0)AEx0etx(0)AE0. On trouve facilement (AAEx0etÁAE0) ou (®AEx0et¯AE0) ce qui nous donne la solution complète : x(t)AEx0cos(!0t) avec!0AEsk

1Åk2m

Ressort et gravité

?Exercice n° 2 Une massemest pendue à un ressort sans masse de raideurket de longueur à videl0. On repérera la position de la massempar sa coordonnéezsur un axe vertical.

Orientons l"axe vertical par un vecteur unitaire

# uzdirigé vers le bas.1.Dé terminerla long ueurl00du ressort lorsquemest à l"équilibre.

Les forces sur la massemsont son poidsm#gAEmg# uzet la force de rappel du ressort#FAE¡k(l00¡l0)# uz(sil00Èl0le ressort est en extension et donc "tire vers le haut" ce qui

explique le signe "-»). L"équilibre de la masse s"écrit donc : m #gÅ#FAE#0,mg# uz¡k(l00¡l0)# uzAE#0)mg¡k(l00¡l0)AE0UJF L1 4 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

On en déduit donc la position d"équilibre.

l

00AEl0Åmgk

2. O né cartela masse v ersl ebas d "uned istance¢zpar rapport à sa position d"équilibre. dez. Le choix de l"origine deszle plus naturel pourrait être celui correspondant à l"allon- gement " à vide ». Dans ce cas l"allongement du ressort vaudrazet la force de rap- pel s"écrira très simplement#FAE ¡kz# uz. Cependant nous savons par expérience que la masse va osciller autour de sa position d"équilibre et il apparaît donc judicieux de choisirl"origineencepoint.Danscecaslaforcederappels"écrit#FAE¡k(zÅl00¡l0)# uz.

Le PFD s"écrit donc :

m #aAEm#gÅ#F,m¨z# uzAEmg# uz¡k(zÅl00¡l0)# uz)m¨zAEmg¡k(z¡l00¡l0) Comme on a montré quek(l00¡l0)AEmgon en déduit que l"équation du mouvement est : m

¨zAE¡kz3.Résoudr ecett eéqu ationen supp osantqu "àtAE0 on a lâché la masse sans vitesse initiale.

L"équation différentielle à résoudre est une équation différentielle homogène linéaire

à rechercher des solutions exponentielles complexes. Ici nous sommes dans un cas classique (terme du premier ordre absent et terme constant positif) caractéristique de l"oscillateur harmonique. Les solutions sont des fonctions sinusoïdales de pulsa- tion!0AEqk m z(t)AEAcos(!0tÅÁ) ouz(t)AE®cos(!0t)ůsin(!0t) tions connues car l"équation est d"ordre 2. Ici les deux conditions connues sont les conditions initiales sur la position et la vi- tesse :z(0)AE¢zetz(0)AE0. On trouve facilement (AAE¢zetÁAE0) ou (®AE¢zet¯AE0) ce qui nous donne la solution complète :UJF L1 5 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 z(t)AE¢zcos(!0t) avec!0AEsk m i Remarquez que si le choix de l"origine deszavait été fait sur la position d"équi- libre du ressort à vide (l0), l"équation différentielle du mouvement aurait com- tion homogène en faisant le changement de variablez!ZÅmgk (ce qui revient à changer l"origine desz). L"autre possibilité est de résoudre l"équation telle quelle en prenant la solution générale sans second membre et une solution particulière (icizAEmgk

est une solution particulière évidente).4.R eprendrel epr oblèmeen u tilisantla con servationde l "énergieméca nique.

Toutes les forces considérées sont conservatives on peut donc appliquer le théorème de conservation de l"énergie mécanique totale. Le poids dérive de l"énergie potentielle¡mgz(Ozest vers le bas). La force de rappel dérive de l"énergie élastique 12 k(zÅl00¡l0)2. Le théorème s"écrit donc : 12 mz2¡mgzÅ12 k(zÅl00¡l0)2AECte l"équation du mouvement précédente.Le pendule simple ??,Exercice n° 3

La solution se trouve dans le poly de TD

Un pendule, constitué d"une boule de massemattachée à l"extrémité d"un fil inextensible de

longueurLet de masse négligeable, est suspendu à un point fixeO. On met le pendule en

mouvement, par exemple en l"écartant d"un angleµ0à la verticale, le fil étant tendu, puis en

le lâchant sans vitesse initiale. On néglige tous les frottements. L"objectif est de faire le tour du

problème, lequel a de nombreuses applications :

E tablirl"équationdifférentielledumouvementdelaboule.Cetteéquationdifférentiellegéné-

rale n"a pas de solution analytique en termes d"équation du mouvement (expression des co-

ordonnées en fonction du temps), c"est-à-dire que l"on ne sait pas la résoudre avec un crayonUJF L1 6 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 et un papier, sauf dans le cas del"approximation des petites oscillations. Hormis quelques cas

particuliers, seuls des calculs approchés (effectués par ordinateur) permettent de s"en sortir.

Résou drel "équationdiff érentielled ansl ec asde l"approximation des petites oscillationset en

déduire dans ce cas l"équation temporelle du mouvement. I lest c ependantpossible de calcule ran alytiquementl av itessee nfon ctionde la position d e la bouledans le cas général.

L "expressionde la v itessep ermetd ec onnaîtrela ten siondu fil en f onctionde l ap ositionde l a

boule.

Résolution du problème général :

Pour ceux qui veulent se débrouiller tout seul, traiter les différentes étapes ci-dessus.

Résolution guidée :

Soit un repèreR(O,~i,~j),Oétant le point où est fixé le fil du pendule,Oxl"axe vertical dirigé

vers le bas etOyl"axe horizontal dirigé vers la droite. Soitµl"angle polaire entreOxet le fil du

pendule compté positivement dans le sens direct. 1.

E quationdiff érentielledu m ouvement:

(a) Q uepeutondiresurlemouvementdelaboule?endéduirel"expressiondesvecteurs position, vitesse et accélération en fonction deµ,dµdt etd2µdt 2. (b) T ranscrirel esc onditionsi nitialespou rµetdµdt (c) F airele bil andes f orcese xtérieuresexer céessur l abou le. (d) E crirele pr incipefon damentalde la dy namique.P rojeterl "équationv ectorielleob- tenue dans les directions de ~uret~uµ. (e) E ndédu irel "équationd ifférentielled umou vement. 2.

A pproximationdes pet itesoscill ations:

Calculer l"angleµ(en degrés) tel que l"erreur relative faite en écrivant sin(µ)AEµest égale

à 5%. Réécrire l"équation différentielle en faisant l"hypothèse queµreste suffisamment

petit pour quesin(µ)'µ. Résoudre cette nouvelle équation différentielle pour établir

l"équation horaire du mouvementµ(t) en tenant compte des conditions initiales. 3.

V itesseen f onctionde la posit ion:

Il est tout à fait possible (et c"est souvent le cas) d"exprimer la vitesse en fonction de la po-

Voici la séquence à suivre :

(a) r eprendrel "équationdiff érentielledu mouv ementsan sfair ed "approximation. (b) pou réviter l adér ivéesecon de,réécr irel "équationen posan t!AEdµdt , doncd2µdt

2AEd!dt

(c) fa irepasser dtau numérateur. (d) on se r etrouveav ecd "uncôté d!qui serait facile à intégrer, et de l"autre sinµdtqui

ne s"intègre pas, mais qui serait facile à intégrer si on avait sinµdµ.UJF L1 7 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 (e) r emplacerdon csin µdtpar sinµdµdtdµ, puisdtdµpar1! (f)

int égrerséparémen tles di fférentiellessur !et surµ, pour obtenir l"expression finale

4.

T ensiondu fi l:

Reprendre l"équation obtenue par la projection du PFD suivant ~uret en déduire l"expres- sion du module de la force de tension du fil en fonction deµ.

Application :

Un enfant un peu trop grand se balance de bon coeur sur une balançoire dont les cordes sont

usées. En quel point de la trajectoire le risque de rupture des cordes est-il le plus grand?Exercices supplémentaires :

Molécule diatomique

??Exercice n° 4

Une molécule de diazote (N

2) peut être vue comme un système de deux massesmliées. On

associe à la liaison une énergie potentielle caractérisant la cohésion de la molécule.

Cette énergie est une fonctionEp(r) oùrest la distance séparant les deux atomes.Ep(r) est caractérisée par : -Ep(r)!0 lorsquer! Å1(l"énergie d"interaction est nulle lorsque les deux atomes sont éloignés) -Ep(r)! Å1lorsquer!0 (il est impossible de super- poser les deux atomes) -Ep(r) passe par un minimumE0Ç0 enrAEr0(enr0la

liaison est à son point d"équilibre)1.E nr aisonnantsu rla for mema thématiquede Ep(r), montrer qu"il existe une zone autour

der0dans laquelle la liaison chimique peut être modélisée par un ressort. En écrivantEp(r) par son développement de Taylor : E p(r)AEEp(r0)ÅdEpdr (r0)(r¡r0)Åd2Epdr

2(r0)(r¡r0)22

Å...ÅdnEpdr

n(r0)(r¡r0)nn!Å...UJF L1 8 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 on voit qu"autour der0, point pour lequeldEpdr (r0)AE0, on peut trouver un domaine dans lequel l"énergie est décrite par : E p(r)AEEp(r0)Åd2Epdr

2(r0)(r¡r0)22

Cette forme quadratique est caractéristique de celle de l"oscillateur harmonique.

Notez que le signe positif de

d2Epdr

2(r0) est impératif (minimum d"énergie, force de rap-

pel). Notez aussi que si le terme d"ordre 2 est nul alors le premier terme sera d"ordre 4

et on sort du cadre de l"oscillateur harmonique.2.Do nnerl "expressiond ela c onstantede r aideurken fonction ded2Epdr

2(r0) L"énergie élastique d"un ressort de raideurkestElAE12 k¢l2. Par analogie avec ce qui précède on a : kAEd2Epdr

2(r0)Ressort et frottement visqueux : analogie électrocinétique

??Exercice n° 5

tème est posé sur un support horizontal n"exerçant aucun frottement sur la masse. On repérera

la position de la massempar sa coordonnéexsur un axe horizontal (xAE¡l0repère le point fixe

du ressort etxAE0 repère le point d"équilibre de la masse). L"air (le fluide dans lequel se déplace

la masse) exerce une force de frottement visqueux qui s"exprime#fAE ¡´#voù´est un coeffi-

cient positif dépendant de la viscosité du fluide et de la forme de la masse (aérodynamique).

1. É tablirl "équationdiff érentiellequ iré gitle mou vementde la mas se. Les forces extérieures s"appliquant sur la massemsont : le poidsm#g(vertical), la réaction du support#R(verticale car il n"y a pas de frottements), la force de rappel (horizontale)#FAE ¡kx# uxet la force visqueuse (horizontale)#fAE ¡´#vAE ¡´x# ux. Le

PFD nous dit :

m #aAEm#gÅ#RÅ#FÅ#f)sur(Oz) 0AER¡mgetsur (Ox)m¨xAE¡kx¡´xUJF L1 9 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 L"équation sur (Oz) ne nous donne rien sur le mouvement (la réaction compense le poids). Le mouvement est donné par l"équation surOx: xÅ´m xÅkm xAE02.C omparerc etteéqu ationà cell eq uirégit l at ensionau xbor nesdu c ondensateurd "un circuit RLC série. La loi des mailles appliquée au circuit s"écrit :uRÅuLÅuCAE0. Par ailleurs nous connaissons les propriétés du circuit vis à vis de la charge du condensateur (atten- tion aux conventions adoptées sur la figure pour les signes). - Courant :iAEdqdt AEq - Capacité :uCAEqC - Résistance :uRAERiAERdqdt

AERCuC

- Inductance :uLAELdidt

AELC¨uC

Onadonc

¨uCÅRL

uCÅ1LC uC3.D iscuterdes di fférentsr égimesqu el "onobt ientpour le mou vementen fon ctiond el "im- portance relative des deux paramètres®AE4kmet¯AE´2. Nous avons une équation différentielle homogène, linéaire du deuxième ordre à co- efficients constants. En cherchant des solutions sous la formeertoùr2Con montre rÅkm

AE0.Laformedumouvementvadépendredu

fait que ces solutions soient purement réelles ou non. C"est le signe du discriminant ¢AE(´2¡4km)/mqui va donc définir les différents régimes.

®Ç¯(¢È0) :les deux solutions sont réelles et négativesr1AE¡1/¿1etr2AE¡1/¿2. La

solution de l"équation différentielle va s"écrire : x(t)AEAe¡t¿

1ÅBe¡t¿

2 On a un mouvement purement amorti caractérisé par les deux constantes de temps¿1et¿2

®È¯(¢Ç0) :les deux solutions sont complexes conjuguées et à partie réelle néga-

tive :r1AE¡1/¿Åi!etr2AE¡1/¿¡i!. La solution de l"équation différentielle va s"écrire : x(t)AEAe¡t¿ cos(!tÅÁ)UJF L1 10 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014 On a un mouvement oscillant amorti. La pseudo période d"oscillation estTAE

2¼/!et la constante de temps d"amortissement est¿. On peut noter que la

pseudo période tend versT0AE2¼pm/klorsque le frottement diminue et s"al- longe pour tendre vers l"infini lorsque le frottement augmente pour atteindre un niveau tel que´2AE4km.

®AE¯(¢AE0) :onauneseulesolutionréelleetnégativedeuxfoisdégénéréerAE¡1/¿AE

¡´/2m. La solution de l"équation différentielle va s"écrire : x(t)AE(AtÅB)e¡t¿

C"est le régime critique (retour à l"équilibre le plus rapide sans oscillations).Pendule simple et énergie

??Exercice n° 6 On considère une masse ponctuellemfixée au bout d"une tige rigide, de longueurl, pouvant tourner librement dans un plan vertical autour de l"autre extrémité O. 1. Dé finiru necoor donnéer eprésentantde man ièrec ommodel aposition de la mas sem. La tige étant rigide et de longueurlconstante, le mouvement de la massemsera

La coordonnéeµpermet alors de définir complètement le mouvement.2.É crireson éner giecinét iqueEcet son énergie potentielleEp

tation graphique. Les forces s"appliquant à la masse sont son poids (ver- tical) et la réaction de la tige (portée par la tige) qui ne travaille pas puisque perpendiculaire à la trajectoire. tentielle ne dérive que du poids (EpAEmghoùhest

l"élévation de la masse).lmOEn prenant comme origine d"énergie potentielle le point bas de la trajectoire on a :

E pAEmgl(1¡cosµ) etEcÅEpAEcteAEEm0)EcAEEm0Åmgl(cosµ¡1)UJF L1 11 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

Figure : E

pet Ecpour Em0AE2mgl-10-505100.00.51.01.52.0qHradLEpmgl-10-505100.00.51.01.52.0qHradLEcmgl3.D iscuterq ualitativementle mouv ementde la m assem, selon la valeur de son énergie

mécanique totale.

SiEm0È2mgl, le pendule tourne.

SiEm0AE2mgl, le pendule arrive àµAE¼avec une vitesse nulle.

SiEm0Ç2mgl, le pendule oscille entre§µmaxavecmgl(1¡cosµmax)AEEm0.4.O nsuppose qu ela ma ssemreste au voisinage de sa position d"équilibre. Écrire une ex-

pression du développement limité deEpautour de cette position d"équilibre. En déduire l"équation du mouvement. A quel autre système connu est-on ramené?

Pourµpetit, cosµ'1¡µ22

, ce qui donne : E pAEmglµ22 etEcAEml2µ22 On écrit la conservation de l"énergie mécanique et on la dérive : mgl

µ22

Åml2µ22

µAE0

On est ramené à l"équation différentielle d"un oscillateur harmonique de pulsation 0AErg l . Rappelons que la solution de cette équation différentielle est de la forme µ(t)AEµmaxcos(!0tÅ©)Oscillations d"un cube dans l"eau ???Exercice n° 7

UJF L1 12 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Oscillateur harmonique : corrections 2013-2014

Un cube de côtéa, de masse volumique½c, flotte en équilibre dans un liquide de masse volu-

mique½L(½LȽc). Les conditions sont telles que le cube ne bascule pas, gardant toujours sa

face inférieure horizontale. On ne prend pas en compte la pression de l"air, ni les frottements

visqueux avec le fluide. On choisit un repère dont l"origine se situe au niveau de la base du cube

lorsqu"il est à l"équilibre dans le fluide. A l"instanttAE0 on enfonce le cube dans le fluide (hau-

teur de cube immergéeh0) et on le lâche sans vitesse initiale. 1. É tablirl "équationdiff érentielledu m ouvementdan sle cas où h0Ça. Référentiel : terrestre supposé galiléen. Système : le cube de masse constantemAE½ca3.

Repère : R(O,

~k) avec O à la base du cube à l"équilibre et~kdirigé vers le bas.

Mouvement : mouvement rectiligne vertical.

Système de coordonnées cartésiennes, position de la base du cubezAEzbase.

Cinématique :¡¡!OMAEz~k

vAEd¡¡!OMdt AEz~k aAEd~vdt

AE¨z~k

Forces extérieures :

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