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U.F.R. de Mathématiques

Outils mathématiques pour

les sciences, M48, 2013-14

Outils mathématiques pour les sciences

Charles SUQUET

Chapitres 1 à 6

Chapitre 1

Séries numériques

1.1 Révision

En préliminaire, on rappelle ici le calcul de la somme des termes d"une suite géomé- trique. Définition 1.1(Suite géométrique).Une suite?un?n?Nde nombres réels ou complexes est une suitegéométriquesi elle vérifie pour toutn?Nla relation : u n?1?qun, oùqest une constante, réelle ou complexe, indépendante denet appeléeraisonde la suite. Remarque 1.2.La connaissance du premier terme et de la raison d"une suite géométrique permet de calculer tous les termes de la suite. On vérifie facilement que : ?n?N, un?u0qn. On peut généraliser cette formule en commençant avec un terme d"indice quelconque : u n?u1qn?1?u2qn?2?u3qn?3? ??? ?ukqn?k. Remarquez que dans ces formules, la somme de l"indice du premier terme utilisé et de l"exposant deqvaut toujoursn. Il est essentiel de savoir calculer la somme des termes d"une suite géométrique. Proposition 1.3(somme des termes d"une suite géométrique).Soit?un?n?Nune suite géométrique de raisonq. Posons pour tout entiern: S n:?n? k?0u k?u0?u1?u2? ??? ?un. Alors

Si q?1,

S n?u0?1?qn?1?1?q.

Si q?1,Sn? ?n?1?u0.

2Chapitre 1. Séries numériquesPreuve.En factorisant par le premier terme :

S n?u0?u0q1?u0q2?u0q3? ??? ?u0qn?u0?1?q?q2?q3? ??? ?qn?, on se ramène immédiatement au calcul de la sommeS?ndéfinie par : S ?n?1?q?q2?q3? ??? ?qn?n? k?0q k. Dans le cas particulier oùq?1,S?nest la somme den?1termes (on commence à k?0avecq0?1et on va jusqu"àn)tous égauxà1. Elle vaut donc?n?1?et donc S n? ?n?1?u0. Supposons désormais queq?1. Pour calculerS?n, il y a une petite astuce qui consiste à remarquer que?1?q?S?n?S?n?qS?nse simplifie considérablement. Pour le voir, il est commode de disposer le calcul comme ci-dessous. S ?n?1?q?q2?q3? ??? ??? ??? ?qn?1?qn ?qS?n? ?q?q2?q3?q4? ??? ??? ??? ?qn?qn?1S ?n?qS?n?1?0?0?0? ??? ??? ??? ??? ??? ?0?qn?1

On obtient ainsi

S ?n?qS?n? ?1?q?S?n?1?qn?1,

d"où le résultat en divisant par?1?q? ?0.La formule pour le calcul deS?ns"adapte facilement à des situations analogues. Par

exemple calculons pourq?1, T n?q3?q4?q5? ??? ?qn?n? k?3q k. En mettant le premier terme en facteur, on voit qu"on se ramène au calcul deS?n?3: T n?q3?q4?q5? ??? ?qn?1?qn ?q3?1?q?q2? ??? ?qn?4?qn?3? ?q31?qn?3?11?q ?q31?qn?21?q?q3?qn?11?q. Notons que l"on serait arrivé plus vite au même résultat en remarquant que T

On peut compléter la proposition

1.3 dans le cas q?1avec la règle-formule suivante permettant de s"y retrouver dans tous les cas de sommes de termes consécutifs d"une suite géométrique: Somme de termes consécutifs? ?1erterme? ?1?raisonnombre de termes1?raison.

1.2. Deux exemples introductifs31.2 Deux exemples introductifs

Peut-on donner un sens à la somme detousles termes d"une suite infinie de nombres réels? Voici deux exemples " familiers » montrant que c"est possible. Exemple 1.4(la tablette de chocolat).Peut-on partager un rectangle en une infinité de rectangles de façon à enlever à chaque étape la moitié de l"aire restante? La figure 1.1 montre une solution.1 21
4 1 81
16 1 321

64Figure1.1 - Découpage infini d"une tablette de chocolat

En prenant comme unité d"aire l"aire du rectangle de départ (la tablette), on en déduit la relation : 1?12 ?14 ?18 ?116 ?132 ?164 ?1128 ? ??? ?limn???n k?12 ?k. Exemple 1.5(une division qui " ne tombe pas juste »).Quelle écriture décimale peut-on donner du nombre rationnel 433
? On sait depuis l"école primaire qu"il suffit de poser la division.4 4 0 7 0 4 0 7 0 4 0 7 0 4 0 7 0 43 3

0,1 2 1 2 1 2 1 2

On voit bien que les restes 4 et 7 se reproduisent périodiquement et que la division pourrait continuer à l"infini. Si on veut donner un sens mathématique précis à cette " division infinie », on peut écrire : 433
?0,12121212121212...?limn???Sn, en définissantSnpar S

2nchiffres.

4Chapitre 1. Séries numériquesVérifions queSnainsi définie a bien pour limite433

quandntend vers l"infini. Pour cela on écritSnsous la forme : S n?12100 ?1210000 ? ??? ?1210 2n?n? k?112100 k?12100 n k?11100 k?1?12100 n?1? j?0? 1100
j ce qui montre queSnest la somme desnpremiers termes de la suite géométrique de premier termeu0?12100 et de raison1100 ?10?2. Par conséquent, S n?12100 ?1? ?10?2?n1?1100 ?12100 ?10099 ?1?10?2n? ?433 ?1?10?2n?, ce qui converge bien vers 433
quandntend vers l"infini.

1.3 Généralités

Définition 1.6.Soit?uk?k?Nune suite de nombres réels. Pour toutn?N, notons S n?n? k?0u k?u0?u1? ??? ?un. a) Si Sntend vers une limitefinieSquandntend vers??, on dit que lasériede terme généralukconvergeet on note : S???? k?0u k?limn???Sn. b) Si Snn"a pas de limite finie quandntend vers l"infini (c.-à-d. tend vers??ou vers ??ou n"a aucune limite), on dit que la série??? k?0ukdiverge. Nous venons de voir deux séries convergentes (exemples 1.4 et 1.5 ), justifiant les

égalités :

1???? k?12 ?k,433 k?112100 k.

Ici la borne inférieure dans le symbole

?est "k?1» au lieu de "k?0», mais on peut considérer que cela relève de la définition ci-dessus en posantu0?0(ou adapter cette définition de manière évidente). Remarque 1.7.On s"autorise dans les deux cas a) et b) l"écriture "??? k?0uk», mais on ne pourra considérer cet objet comme un nombre réel (et donc le faire intervenir dans des calculs) qu"après avoir établi la convergence.

Remarque 1.8.Les écritures "???

k?0uk» et "??? k?0u k» ont la même signification mathé- matique. La différence n"est que typographique. La première est utilisée pour les formules

" en ligne » à l"intérieur d"une phrase pour ne pas agrandir l"interligne, la deuxième dans

les formules " centrées » et mises en évidence. Pour l"écriture manuscrite, on n"utilise généralement que la deuxième forme.

1.3. Généralités5Définition 1.9(somme partielle et reste).Avec les notations de la définition1.6 ,Snest

appelée somme partielle de rangnde la série (S0?uoétant la somme partielle de rang zéro).Si la série converge,Rn?S?Snest appelé reste de rangnde la série. Remarque 1.10.On peut adapter facilement la définition1.6 p ourdéfinir les séries ??? k?n0uk, pourn0entier quelconque. La convergence d"une sériene dépend pas de ses premiers termes. En effet pour toutn0fixé, puisqueSn0est une constante1,Snconverge vers une limite finieSsi et seulement siSn?Sn0converge versS?Sn0. Autrement dit : ?n0?N,??? k?0u ket??? k?n0u ksont de même nature, c"est-à-dire ou toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes. Remarque 1.11.Ce qui précède montre que le reste de rangnd"une série,lorsqu"il existe, peut lui même s"écrire comme une série convergente : si k?0u kconverge, son reste de rangnestRn???? k?n?1u k. Nous n"avons vu pour l"instant que deux exemples de séries. Ces deux exemples ont d"ailleurs un point commun, c"est d"être bâtis sur des suites géométriques. Nous pouvons

systématiser ceci en examinant le cas particulier important des séries géométriques. Pour

de telles séries, on dispose d"un critère de convergence très simple et en cas de convergence,

on sait facilement calculerSn,SetRn. Si?uk?k?Nest une suite géométrique de raison q, l"étude de la sériegéométrique??? k?0uk???? k?0u0qkse ramène à celle de la série géométriquestandard??? k?0qkpar mise en facteur du premier terme dans les sommes partielles. Proposition 1.12(série géométrique standard). 1.

L asérie gé ométriquestandar d

k?0q kconverge si et seulement si?q? ?1. 2.

Si ?q? ?1,???

k?0q k?11?q. 3.

Si ?q? ?1,Rn????

k?n?1q k?qn?11?q. Preuve.On utilise la formule de calcul deSnsomme partielle de rangn, cf. Prop.1.3 . Dans le cas particulierq?1,Sn? ?n?1?tend vers l"infini avecn, donc la série diverge.

Siq?1,

S n?1?qn?11?q. a) Si ?q? ?1, la valeur absolue deqn?1tend vers l"infini et il en est de même pour celle du numérateur1?qn?1. Par conséquent la valeur absolue deSntend vers l"infini, ce

qui empêche queSnait une limite finie. Donc la série diverge2.1. Quitte à prolonger la définition desuks"ils ne sont définis que pourk?n0en posantuk?0pour

k?n0.

2. Siq?1,Sntend vers??, siq? ?1,S2ntend vers??etS2n?1tend vers??.

6Chapitre 1. Séries numériquesb)Si q? ?1,S2n?1etS2n?1?0pour toutn(évident directement), la suite des sommes

partielles oscille indéfiniment entre les valeurs0et1et n"a donc pas de limite. c) Si ?q? ?1,?qn?1? ? ?q?n?1tend vers0quandntend vers l"infini. Il en va de même pour q n?1, doncSna pour limite finie1??1?q?. À ce stade, nous avons justifié les points 1 et 2 de la proposition. Pour le calcul du reste R nlorsque?q? ?1, on écritRn?S?Sn, avec iciS?1??1?q?, d"où : R n?S?Sn?11?q?1?qn?11?q?qn?11?q,

le point 3 est ainsi vérifié.Lorsque l"on dispose de deux séries convergentes, on peut fabriquer une nouvelle série

convergente par combinaison linéaire.

Proposition 1.13.Si???

k?0uket??? k?0vkconvergent, la série??? k?0?auk?bvk?converge pour toutes constantes réellesa,b. La preuve est laissée en exercice. Grâce à cette proposition, on peut voir immédiate- ment par exemple que la série de terme généraluk?3??2??k?5? ?0,995?kconverge3. Peut-on trouver d"autres exemples de séries convergentes que les séries géométriques et leurs combinaisons linéaires? Voici une méthode simple pour construire de nombreux exemples. On part d"une suite réelle?vn?n?Nayant une limite finie?quandntend vers l"infini. On poseu0?v0et pour toutk?1,uk?vk?vk?1. Alors la série de terme général u kconverge et a pour sommeS??. En effet, S n?n? k?0u k?v0??v1?v0???v2?v1???v3?v2???????vn?1?vn?2???vn?vn?1? ?vn

Par exemple, la suite de terme général

v n?n2n?1 est convergente avec pour limite1?2. On calcule alors u k?vk?vk?1?k2k?1?k?12?k?1? ?1? ?????? ?14k2?1 et on en déduit que la série de terme généralukconverge et a pour somme : k?014k2?1?12

Réciproquement, toute série convergente

k?0ukpeut être construite sur ce modèle. Il suffit de prendrevn?Sncaruk?Sk?Sk?1pour toutk?1. Finalement, puisqu"il y a une telle correspondance entre suites convergentes et séries

convergentes, à quoi bon étudier les séries et pourquoi ne pas se contenter d"étudier les

suites? La réponse à cette objection naturelle est que la correspondance vue ci-dessus

a surtout un intérêt théorique. En effet, si on peut toujours calculerukà partir devk,3. Ne me croyez pas sur parole, vérifiez.

1.3. Généralités7l"opération inverse est rarement possible en pratique. La solution qui consiste à prendre

v n?Snn"a d"intérêt que si l"on a une formule de calcul explicite deSn, c.-à-d. permettant de calculer directementSnà partir den, sans additionner un par un tous lesuk. C"est le cas

pour les séries géométriques, mais c"est très loin d"être la situation générale. En pratique,

seuls lesuksont connus. Le premier problème est alors de savoir si la série converge. Si c"est le cas, on ne sait pas forcément calculer la valeur exacte de sa sommeS. En fait la convergence permet d"approximer numériquement le nombreSparSn(calculable par additions) et l"erreur d"approximation commise estRn. Il est alors utile de pouvoir contrôler la vitesse de convergence deRnvers0, pour savoir combien de termes de la série il va falloir additionner pour obtenir une précision donnée. Proposition 1.14.Si une série converge, son terme général tend vers0. Ceci nous donne le premier test à faire lorsqu"on est en présence d"une série : regarder

si son terme général tend vers0. Si cette condition n"est pas vérifiée, alors on est certain

que la série diverge.

Preuve de la proposition

1.14 .SoitSn??n k?0ukla somme partielle de rangnd"une série convergente. Alors pour toutn?N?,un?Sn?Sn?1. Puisque la série converge, notons Ssa somme qui est un nombre réel. Par définition de la convergence de la série,Sntend versSquandntend vers l"infini. Il en va de même pourSn?1:?Sn?1?n?N?met ses pieds dans les traces de?Sn?n?Navec un pas de retard, donc les deux suites parcourent le même chemin et ont même limiteS. Par conséquent : lim

n???un?limn????Sn?Sn?1? ?limn???Sn?limn???Sn?1?S?S?0.Remarque 1.15.Attention, la réciproque de la proposition est fausse! Pour que la série???

k?0ukconverge, il estnécessairequeuktende vers0(c"est ce que dit la proposition1.14 ),

mais ce n"est passuffisant. En effet, il existe des séries divergentes dont le terme général

tend vers0. La plus célèbre de toutes est lasérie harmonique. Exemple 1.16(divergence de la série harmonique).La série k?11k

est appelée série harmonique. Son terme général tend évidemment vers zéro. Pour voir

qu"elle diverge, nous allons minorerS2n?Sncomme suit. Pour toutn?1, S ntermes supérieurs ou égaux au dernier12n?n?12n?12 Raisonnons maintenant par l"absurde en supposant que la série harmonique converge et notonsSsa somme. AlorsS2ncommeSndoivent converger versSet en passant à la limite dans l"inégalité ci-dessus, on obtiendraitS?S?0?12 , ce qui est bien sûr faux. Par conséquent, la série harmonique ne peut converger.

8Chapitre 1. Séries numériques1.4 Séries à termes positifs

Les séries à termes positifs jouent un rôle clé dans la théorie des séries car leur di-

vergence n"arrive que si et seulement si la suite des sommes partielles tend vers??. Les possibilités de divergence sont bien plus diverses pour une série dont les termes changent de signe une infinité de fois. Pour comprendre le comportement d"une série à termes positifsuk, il convient d"ob- server que dans ce cas?Sn?n?Nest une suitecroissantede réels positifs. En effet, pour toutn?1,Sn?Sn?1?un?0, doncSn?Sn?1. Il est commode de représenter une telle suite croissante?Sn?n?N(ou la série??? k?0uk) par un escalier infini, où lanemarche est le segment horizontal d"extrêmités les points de coordonnées?n,Sn?et?n?1,Sn?. Ainsi la figure 1.2 représen te(les premières marc hesde) l"escalier asso ciéà la série harmonique (en posantu0?0,S0?u0).y x

01 2 3nFigure1.2 - Escalier infini de la série harmonique

Sur cette figure, on voit que la pente est de plus en plus douce, mais comme dans le cas d"une représentation graphique de fonction, cela ne suffit pas pour conclure à l"existence d"une asymptote horizontale. On observe le même phénomène avec la représentation gra- phique de la fonction logarithme et il est bien connu quelnxtend vers l"infini quandx tend vers l"infini et donc qu"il ne peut y avoir d"asymptote horizontale 4. Pour un escalier infini représentant une série à termes positifs, il y a une alternative : ou bien l"escalier e stplafonné, cf. figure1.3 , autrement dit il existe une altitudeM qu"il ne peutjamaisfranchir (mathématiquement,Mest unmajorantde l"ensemble de toutes les valeurs de la suite?Sn?n?N:?n?N,Sn?M);

ou bien il n"est pas plafonné et finit donc par dépasser toute altitu defixée à l"a vance.

Dans le deuxième cas, comme la suite?Sn?n?Nest croissante, pour chaque altitudeA fixée, dès queSn0?Apour un certain indicen0,Sn?Apour tous les indices suivants.

CommeAest quelconque, cela signifie queSntend vers l"infini.4. En fait, on peut montrer que pour la série harmonique,Sn?lnntend vers1en l"infini et doncSn

tend vers??avec la même vitesse quelnn(cf. T.D.).

1.4. Séries à termes positifs9y

x

01 2 3nMFigure1.3 - Escalier infini plafonné

Revenons au premier cas. NotonsSlaplus petite altitude possible d"un plafondpour l"escalier

5, cf. figure1.4 . AlorsSna pour limiteS. Pour le voir, on note d"abord que pour

toutn?N,Sn?S(puisqueSest l"altitude d"un plafond pour l"escalier). Si on choisity x

01 2 3nM

SFigure1.4 - Escalier infini plafonné et son asymptote une altitude quelconque inférieure strictement àS, disonsS?εavecε?0, alors cette altitude ne peut être celle d"un plafond, puisque le plus bas des plafonds possibles a pour altitudeS. Donc il existe au moins une marche qui franchit cette altitudeS?ε, notons n

0son numéro (Sn0?S?ε). Mais comme l"escalier est croissant, toutes les marches

suivantes sont au dessus de l"altitudeS?ε, autrement dit :Sn?S?εpour toutn?n0. Comme le raisonnement a été fait avecε?0quelconque, nous avons montré que : ?ε?0,?n0?N,?n?n0, S?ε?Sn?S.

Ceci prouve queSntend versSquandntend vers l"infini.5. L"ensemble des majorants d"un ensemble non videEde nombres réels a un plus petit élément,

appelé borne supérieure deE. C"est une propriété fondamentale de l"ensembleRdes nombres réels. Ici on

prend pourEl"ensemble de toutes les valeurs prises parSnlorsquendécritNetSest la borne supérieure

deE

10Chapitre 1. Séries numériquesRésumons cette discussion comme suit.

Proposition 1.17.Pour une série à termespositifs??? k?0uk, la suite des sommes par- tielles?Sn?n?Nest croissante. 1. Ou bien ?Sn?n?Nest majorée. Elle converge alors vers un réelSfini. La série??? k?0uk converge et a pour sommeS. 2. Ou bien ?Sn?n?Nn"est pas majorée. Elle tend alors vers??et la série??? k?0uk diverge. Remarque 1.18.On a clairement un résultat analogue pour une série dont tous les termes sont positifs à partir d"un certain rangk0, la seule modification étant que la croissance de?Sn?n?Na lieu à partir dek0. On peut aussi étendre ce résultat aux séries

à termes tous négatifs à partir d"un certain rangk0, dans ce cas?Sn?n?Ndécroît à partir

dek0, il faut remplacer " majorée » par " minorée » et??par??pour la limite deSn dans le cas 2. Voyons maintenant une application importante de la proposition 1.17

Théorème 1.19(théorème de comparaison des séries à termespositifs).On suppose qu"il

existe un entierk0tel que :quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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