[PDF] Chapitre 4 : APPROXIMATION POLYNÔMIALE DUNE FONCTION

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Chapitre 4 : APPROXIMATION

POLYNÔMIAL

E D'UN E

FONCTIO

N

Introductio

n Le s polynôme s fon t parti e de s fonction s le s plu s simple s qu'o n ren

-contre en analyse. Leurs valeurs en un point sont aisément calculablespar des opérations algébriques élémentaires. Dans ce chapitre, on chercheà approcher une fonction par un polynôme ; et si la différence entre lafonction et son polynôme d'approximation est assez petite, alors en peutdans certains cas pratiques remplacer les calculs sur la fonction, par descalculs sur son polynôme associé.

I l exist e plusieur s manière s d'approche r un e fonctio n pa r de s poly

-nômes, suivant l'usage qu'on veut faire de cette approximation. Danscertains cas, la fonction considérée est définie par une expression ma-thématique ou. plus fréquemment, par une suite de valeurs prises endes points distincts x,,f, - f(x,),i G {0.1,2... . n} (/ est dite alorséchantillonnée ou discrétisée).

Pou r d e nombreuse s questions i l es t alor s util e d'approche r pa r un efonction polynômiale P convenablement choisie tel que P(x,) = /¿. pour 1, 2 n Cett e approch e peu t

êtr

e réalisé e soi t su r u n intervall e[a. 6], soit sur un voisinage d'un point XQ. 4.1

Approximatio

n polynômial e su r [a. b] 4.1.1

Interpolatio

n (méthod e d e

Lagrange

Soi t un e fonctio n défini e su r l'intervall e [a,b].

Connaissan

t le s va leur s /o. d e au x point s

Xç,

x". d e [a.b] o n cherch e u n po lynôm e P n d e degr n te l qu e P n (x,) i l...n Ce s

équation

s déterminen t l e polynôm e P n appel polynôme de La- grange. E n

écrivan

t P n sou s l a form e P n (x a o x xi)( x X2) -(x-x n ai{x x o )(x-x 2 (x-x n h a n x x o x xi x ar n _i

90Approximation polynom.ia.le d'une fonction

o n obtien t l e systèm e d'équation s P n (x 0 a o (x 0 -^i)(.v 0 x 2 ...(x 0 x n P n {x n a n (x n X 0 )(x n X\) (X n Xn-l) fn qu i détermin e le s coefficient s ao.a\ a,, E n introduisan t le s polynôme s O n obtien t P n {x) sou s la form e 1=0

Eremple

Donner

l'interpolation parabolique (n 2 de f(x) si n x sur [0 f Soi t .i' o 0 f i e t r o O n a

Pi(xo)

/(O 0 do

ùP2(x2) = f(~) = 1

L() e t P 2 (j -V- 7 4.2

Approximatio

n polynômial e a u voisinag e d'u n poin t .r 0

Polynôm

e d e Taylo r Soi t C I? e t xo G O n sai t qu e s i es t derivabl e e n Jo

-ëlle peut être approchée au voisinage de ^o par une fonction affine ç (unpolynôme de degré 1) :

Polynôme de Taylor 91

avec f()

ç(x

o e t Plu s généralemen t o n cherche dan s l e ca s o es t derivabl e e n jusqu' l'ordr e n. n 1 u n polynôm e P{x) d e degr n te l qu e E n

écrivan

t c e polynôm e sou s lquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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