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UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT

UFR de Mathématiques

ECOLE DOCTORALE SAVOIRS SCIENTIFIQUES : EPISTEMOLOGIE, HISTOIRE DES SCIENCES,

DIDACTIQUE DES DISCIPLINES

AAnnnnééee 22000033

THESE

Pour l"obtention du Diplôme de

Docteur de L"Université Paris 7

Spécialité :

Didactique des Mathématiques

Présentée et soutenue publiquement

Le 12 décembre 2003

Par

Véronique BATTIE

Spécificités et potentialités de l"Arithmétique élémentaire pour l"apprentissage du raisonnement mathématique

Directeur de thèse : Michèle ARTIGUE

Membres du jury

Michèle ARTIGUE Directeur

Jean-Luc DORIER Rapporteur

Viviane DURAND-GUERRIER Examinateur

Catherine GOLDSTEIN Examinateur

Marc ROGALSKI Rapporteur

Michel SERFATI Examinateur

2 V.Battie

à ma LuMière

Il y a quatre ans, commençait pour moi une belle aventure. J"aimerais que cette page

témoigne de sa riche dimension humaine.

Je tiens avant tout à exprimer toute ma gratitude à l"égard de Michèle Artigue grâce à qui

ces années de recherche ont été extraordinairement formatrices. Tout en m"évitant certains

égarements, elle a su me laisser une grande liberté sans laquelle je n"aurais pu m"épanouir dans cette

recherche. Je la remercie très chaleureusement aussi pour m"avoir soutenue et fait pleinement

confiance lorsqu"il s"est agi pour moi de vivre plusieurs mois à l"autre bout de la planète... Le jour

où elle a accepté de devenir ma directrice de thèse (ce même jour où je la rencontrais pour la première

fois), j"étais bien loin d"imaginer à quel point j"étais chanceuse.

Je suis très reconnaissante envers Michel Serfati qui a encadré avec une généreuse

disponibilité mon travail épistémologique. Son aide m"a été extrêmement précieuse.

Je remercie vivement Martine Bühler, professeur de mathématiques au lycée Flora Tristan

et animatrice à l"IREM-Paris 7, avec qui il m"a été très agréable et enrichissant de travailler, ainsi

que ses élèves de terminale scientifique, pour m"avoir chaleureusement accueillie dans leur classe.

Jean-Luc Dorier et Marc Rogalski m"ont fait l"honneur d"être rapporteurs sur ma thèse. Viviane Durand-Guerrier, Catherine Goldstein et Michel Serfati m"ont fait celui de faire partie du jury. Qu"ils soient tous ici grandement remerciés. Je tiens à remercier Gilles Dowek, Georges Lion, Daniel Perrin et François Pluvinage pour

avoir très gentiment répondu à mes questions. Leurs réponses ont nourri de façon très riche ma

réflexion. Je remercie vivement Annie, Martine, Nadine et Nicole de l"équipe de l"IREM-Paris7 pour leur extrême gentillesse et tout le soutien qu"elles m"ont apporté. Je tiens à remercier l"équipe DIDIREM et plus particulièrement ses jeunes chercheurs qui

m"ont répondu avec enthousiasme lorsque j"ai eu envie de refonder l"équipe jeunes chercheurs. Merci

à Caroline et à Eric pour avoir énergiquement et efficacement pris le relais ! Durant ces quatre années, j"ai eu la chance de bénéficier d"une merveilleuse ambiance de

travail au célèbre bureau 5B1 ;-) Un grand Merci à Vincent :-), Christian, Florent, Caroline,

Michela, Nuray et Mohamed pour avoir contribué, chacun à leur façon, à la beauté de cette

aventure ! Il m"est inconcevable de tourner cette page sans y déposer pudiquement un Merci plein d"Amour en pensant à " mon noyau », en pensant à ses cinq éléments

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION................................................................................................................................. 8

PARTIE 1 : .......................................................................................................................................... 12

ANALYSE EPISTEMOLOGIQUE................................................................................................... 12

CHAPITRE 1 : .................................................................................................................................... 13

DIMENSIONS ORGANISATRICE ET OPERATOIRE DU RAISONNEMENT EN

ARITHMETIQUE .............................................................................................................................. 13

INTRODUCTION............................................................................................................................... 14

I. " IL N"EXISTE PAS DE TRIANGLE RECTANGLE EN NOMBRES DONT L"AIRE SOIT

UN CARRE »....................................................................................................................................... 14

I.1 VOCABULAIRE ET RESULTATS PRELIMINAIRES..................................................................................... 14

I.2 LA PREUVE DE FRENICLE...................................................................................................................... 16

I.3 UNE PREUVE INSPIREE DE CELLE DE FRENICLE..................................................................................... 17

I.3.1 Préliminaire..................................................................................................................................................... 17

I.3.2 Première étape................................................................................................................................................. 18

I.3.3 Deuxième étape................................................................................................................................................ 21

I.3.4 Troisième étape................................................................................................................................................ 21

II. DISTINCTION ENTRE DEUX DIMENSIONS AU SEIN D"UNE DEMONSTRATION

ARITHMETIQUE .............................................................................................................................. 21

III. FERMAT ET FRENICLE...................................................................................................... 23

III.1 LA PREUVE DE FERMAT....................................................................................................................... 23

III.2 ANALYSE COMPARATIVE..................................................................................................................... 30

CHAPITRE 2 : .................................................................................................................................... 35

PENSEES ORGANISATRICES FONDAMENTALES EN ARITHMETIQUE .......................... 35

INTRODUCTION............................................................................................................................... 36

I. DESCENTE INFINIE - RECURRENCE ................................................................................. 36

I.1 FORMALISATION DE LA DESCENTE INFINIE........................................................................................... 37

I.2 DESCENTE INFINIE ET RAISONNEMENT PAR RECURRENCE..................................................................... 38

I.2.1 Avec l"exemple sur lequel Fermat inventa la descente infinie.......................................................................... 38

I.2.2 Généralisation.................................................................................................................................................. 39

I.3 APPLICATIONS DE LA DESCENTE INFINIE.............................................................................................. 40

I.3.1 Montrer qu"une propriété P(n) est vraie pour tout entier n............................................................................. 41

I.3.2 Résolutions d"équations diophantiennes.......................................................................................................... 42

II. RAISONNEMENT PAR DISJONCTION DE CAS ET RECHERCHE EXHAUSTIVE42

II.1 DISJONCTION DE CAS............................................................................................................................ 43

II.1.1 Définition......................................................................................................................................................... 43

II.1.2 Nature d"une disjonction de cas - Notion de partition primaire...................................................................... 44

II.1.3 Exemples.......................................................................................................................................................... 45

II.2 RECHERCHE EXHAUSTIVE..................................................................................................................... 48

II.2.2 Démarche algorithmique et recherche exhaustive........................................................................................... 48

II.2.3 Un exemple....................................................................................................................................................... 50

III. JEU D"EXTENSION-REDUCTION : UNE METHODE SPECIFIQUE AUX ANNEAUX

FACTORIELS..................................................................................................................................... 50

IV. IMBRICATION DE DESCENTE INFINIE, DISJONCTION DE CAS ET JEU

D"EXTENSION-REDUCTION ......................................................................................................... 54

II.4.1 Résultats préliminaires..................................................................................................................................... 55

II.4.2 Une démonstration inspirée des idées de Fermat............................................................................................. 56

II.4.3 Un organigramme synthétisant la dimension organisatrice............................................................................. 59

Spécificités et potentialités de l"arithmétique élémentaire pour l"apprentissage du raisonnement mathématique

V.Battie 5 CHAPITRE 3

: .................................................................................................................................... 61

POLES OPERATOIRES FONDAMENTAUX EN ARITHMETIQUE........................................ 61

INTRODUCTION............................................................................................................................... 62

I. DIFFERENTES FORMES DE REPRESENTATION DES ENTIERS................................. 64

I.1 STRUCTURATION DES ENTIERS AUTOUR DES NOMBRES PREMIERS........................................................ 64

I.1.1 Introduction...................................................................................................................................................... 64

I.1.2 Exemples de problèmes associés...................................................................................................................... 65

I.2.3 Niveau Technologique......................................................................................................................................67

I.2.4 Une pensée organisatrice associée .................................................................................................................. 67

I.2 STRUCTURATION DES ENTIERS A L"AIDE DE RESEAUX REGULIERS........................................................ 67

I.2.1 Introduction...................................................................................................................................................... 67

I.2.2 Exemples de problèmes associés...................................................................................................................... 68

I.2.3 Niveau Technologique......................................................................................................................................70

I.2.4 Pensées organisatrices associées..................................................................................................................... 71

II. UTILISATION DE THEOREMES-CLEFS......................................................................... 72

II.1 INTRODUCTION..................................................................................................................................... 72

II.2 EXEMPLES ASSOCIES AUX THEOREMES DE GAUSS ET BEZOUT............................................................. 73

II.3 NIVEAU TECHNOLOGIQUE.................................................................................................................... 75

III. L"OUTIL ALGEBRIQUE...................................................................................................... 76

III.1 INTRODUCTION..................................................................................................................................... 76

III.2 FACTORISATION ET DIVISIBILITE.......................................................................................................... 76

III.3 COMBINAISONS LINEAIRES D"ENTIERS.................................................................................................. 77

III.4 RETOUR A FERMAT ET FRENICLE......................................................................................................... 77

IV. ORDRES NATUREL ET DIVISIBILITE............................................................................ 79

IV.1 INTRODUCTION..................................................................................................................................... 79

IV.2 NIVEAU TECHNOLOGIQUE ET ILLUSTRATION DES TECHNIQUES ASSOCIEES.......................................... 80

CHAPITRE 4

: .................................................................................................................................... 83

CONCLUSION.................................................................................................................................... 83

INTRODUCTION............................................................................................................................... 84

I. DIMENSIONS ORGANISATRICE ET OPERATOIRE ET LEURS INTERACTIONS AU

SEIN DE DEUX DEMONSTRATIONS ........................................................................................... 84

I.1 LA DEMONSTRATION INSPIREE DE FRENICLE........................................................................................ 84

I.2 REPRESENTATION DES ENTIERS COMME SOMME DE DEUX CARRES....................................................... 85

II. SYNTHESE ET PERSPECTIVES DIDACTIQUES........................................................... 87

II.1 SYNTHESE............................................................................................................................................ 88

II.2 PERSPECTIVES DIDACTIQUES................................................................................................................ 89

6 V.Battie PARTIE 2

: .......................................................................................................................................... 92

ANALYSE DIDACTIQUE................................................................................................................. 92

CHAPITRE 5 : .................................................................................................................................... 93

L"EPREUVE DE L"ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE AU BACCALAUREAT DEPUIS LA

MISE EN APPLICATION DES PROGRAMMES DE 1998.......................................................... 93

INTRODUCTION............................................................................................................................... 94

I. UNE CLASSIFICATION DES SUJETS ETUDIES................................................................ 96

II. REGROUPEMENT AUTOUR DE LA RESOLUTION D"EQUATIONS

DIOPHANTIENNES......................................................................................................................... 100

II.1 RESOLUTION D"EQUATIONS DU TYPE AX+BY+CZ=D........................................................................... 100

II.1.1 La tâche t"...................................................................................................................................................... 101

II.1.2 La tâche t....................................................................................................................................................... 102

II.1.3 Résolution d"équations du type ax+by+cz=d avec c non nul......................................................................... 117

II.2 TRIPLETS PYTHAGORICIENS ET EQUATIONS DU TYPE N²-SN+11994 (S ENTIER NATUREL)................. 120

III. REGROUPEMENT AUTOUR DE LA NOTION DE DIVISIBILITE............................ 121

III.1 QUESTIONS DE DIVISIBILITE............................................................................................................... 122

III.1.1 Type de tâche T1 ....................................................................................................................................... 124

III.1.2 Types de tâche T2 et T3............................................................................................................................. 127

III.1.3 Importance quantitative et qualitative des questions de divisibilité.......................................................... 127

III.2 PGCD ................................................................................................................................................ 129

III.2.1 Un cas particulier : nombres premiers entre eux...................................................................................... 130

III.2.2 Autres cas rencontrés................................................................................................................................ 131

III.3 PGCD ET PPCM................................................................................................................................ 134

IV. REGROUPEMENTS AUTOUR DES NOTIONS DE DIVISION EUCLIDIENNE ET

PRIMALITE...................................................................................................................................... 136

IV.1 PRIMALITE.......................................................................................................................................... 136

IV.2 DIVISION EUCLIDIENNE...................................................................................................................... 138

V. CONCLUSION...................................................................................................................... 138

CHAPITRE 6

: .................................................................................................................................. 143

RESSOURCES DESTINEES AUX ENSEIGNANTS.................................................................... 143

INTRODUCTION............................................................................................................................. 144

I. RESOLUTION D"EQUATIONS DIOPHANTIENNES LINEAIRES : LA TACHE

EMBLEMATIQUE........................................................................................................................... 146

I.1 DOCUMENT DU GEPS ........................................................................................................................ 146

I.2 BROCHURES DE L"IREM DE MONTPELLIER........................................................................................ 148

II. RESOLUTION D"EQUATIONS DIOPHANTIENNES DE DEGRE SUPERIEUR OU

EGAL A 2........................................................................................................................................... 150

II.1 TRIPLETS PYTHAGORICIENS................................................................................................................ 150

II.2 REPRESENTATION DES ENTIERS COMME SOMME DE DEUX CARRES.................................................... 152

II.2.1 Brochure de l"APMEP ................................................................................................................................... 152

II.2.2 Brochure de l"IREM de Montpellier............................................................................................................... 157

II.3 AUTRES EQUATIONS DIOPHANTIENNES............................................................................................... 157

II.3.1 Document du GEPS........................................................................................................................................ 158

II.3.2 Brochures de l"IREM de Montpellier............................................................................................................. 158

III. CONCLUSION...................................................................................................................... 160

Spécificités et potentialités de l"arithmétique élémentaire pour l"apprentissage du raisonnement mathématique

V.Battie 7 CHAPITRE 7

: .................................................................................................................................. 165

UNE EPREUVE D"ENTRAINEMENT AU BACCALAUREAT................................................. 165

INTRODUCTION............................................................................................................................. 167

I. ANALYSE A PRIORI............................................................................................................... 168

I.1 ANALYSE A PRIORI DES SOLUTIONS POSSIBLES POUR LES DIFFERENTES QUESTIONS........................... 169

I.2 ANALYSE MATHEMATIQUE ET DIDACTIQUE EN TERMES DE DIMENSIONS ORGANISATRICE ET OPERATOIRE............... 172

I.2.1 Mener une recherche exhaustive.................................................................................................................... 173

I.2.2 Recherche exhaustive et traitement des contraintes du système (S)............................................................... 177

I.2.3 Synthèse et compléments : élaboration d"organigrammes et de grilles d"analyse......................................... 179

I.3 EMERGENCE D"UN QUESTIONNEMENT DIDACTIQUE............................................................................ 187

II. ANALYSE A POSTERIORI................................................................................................. 189

II.1 QUELLE(S) PENSEE(S) ORGANISATRICE(S) RENCONTRE-T-ON DANS LES COPIES ETUDIEES ?............... 189

II.1.1 Entre reconstruction de la pensée sous-jacente à l"énoncé et création d"une autre pensée organisatrice..... 191

II.1.2 Trois copies proposent une résolution complète du problème (P")................................................................ 212

quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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[PDF] Pablo Neruda MADRID 1936

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