( ) )f { } [ [
O i
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Les coniques - Lycée dAdultes
19 sept. 2021 leur avaient donné comme nom : ellipse hyperbole
ÉQUATIONS POLAIRE DES CONIQUES
(parabole ellipse
P 2
a 2+y2 b 2= 1 %x=aθ y=bθ, θP[´π,π] O y x B 1 A 1 B A b a A,B,A1,B1 O
(AA1) (BB1) a Ǘ b Ǘ a2´y2
b 2= 1 xě0$ %x=at %x=´at y=bt tPR O x y A 1 A a b x a ˘y b = 0 %x=t2 2p y=ttPR O x yO p ĕ
C ax2+ 2γxy+by2+ 2cx+ 2dy+e= 0 (a,γ,b,c,d,e)PR6 (a,γ,b)‰(0,0,0)C C ĕ P ā
C ĕR= (O,⃗i,⃗j)
R1= (O1,⃗i1,⃗j1 ĕ P
O1RP=
a1,1a1,2 a (⃗i,⃗j)(⃗i1,⃗j1)MPP
xR
x1 y R1 x a1,1a1,2 a x1 y a(α+a1,1x1+a1,2y1)2+2γ(α+a1,1x1+a1,2y1)(β+a2,1x1+a2,2y1) +b(β+a2,1x1+a2,2y1)2 + 2c(α+a1,1x1+a1,2y1) + 2d(β+a2,1x1+a2,2y1) +e= 0 ax+by+c= 0C R= (O,⃗i,⃗j) ĕ P
2γxy+by2+ 2cx+ 2dy+e= 0(a,γ,b)‰(0,0,0)
R (Ω,⃗I,⃗J) (O,⃗I,⃗J)
a1,1a1,2 a 1 0 (O,⃗J,⃗I) (⃗i,⃗j)(⃗I,⃗J) āĕ(O,⃗I,⃗J)
(⃗i,⃗j)(⃗I,⃗J)M(x,y)RM(X,Y)R1 $
%x= (θ)X´(θ)Y y= (θ)X+ (θ)Y a(Xθ´Yθ)2+ 2γ(Xθ´Yθ)(Xθ+Yθ) +b(Xθ+Yθ)2+¨¨¨= 0 XY ´2aθθ+ 2bθθ+ 2γ(2θ´2θ)2γ(2θ) + (b´a)(2θ) = 0
a=b θ=π 4 a‰b θ (2θ) =2γ a´b θ=1 2 (2γ a´b) by2+ 2cx+ 2dy+e= 0(a,b)‰(0,0)
C ax2+by2+ 2cx+ 2dy+e= 0(a,b)‰(0,0)
ab‰0 a )2+b(y+d b )2+k= 0 kPR xy ĕ(Ω,⃗i,⃗j) ɍÝÑOΩ =´c a ⃗i´d b ⃗jC ax2+by2+k= 0
abą0 ´1 aą0,bą0 ką0 C=H k= 0 C=tΩu 2+y2 abă0 ´1 aą0,bă0 k‰02´y2
2= 1 2+y2 2= 1C ĕ
(Ω,⃗j,⃗i) @(x,y)PR2,by2+ 2cx+ 2dy+e=b[(y+d b )2+ 2c b x+k] kPR xy b )2+ 2c b x+k= 0 c= 0 ką0 C=H b y=´d b ´k b (x´x0) b x CH ĕ
C=tMPP,MF=eˆMH=d(M,D)uɍH M
D D F F D O D K i j? ??? O F H M cPRkPR RF(c,0)K(k,0)ɍK FDM(x,y)ÝÝÑHM
x´kÝÝÑFM
x´cMF=eMHðñ(x´c)2+y2=e2(x´k)2
ðñx2(1´e2) + 2x(ke2´c) +y2=e2k2´c2
e‰1 O ke2´c= 0 O (K,e2)(F,´1) k2e2´c2=c2 e2´c2=c2
e2(1´e2)c‰0 k=c= 0 FPD
MF=eMHðñx2(1´e2) +y2=e2k2´c2
x2 a 2+y2 a2(1´e2)= 1a2=c2
e 2 a 2+y2 b 2= 1 Ox a 2=c2 e2,b2=a2(1´e2) =a2´c2k=c
e 2=a2 c a2´y2
b 2= 1 Ox a 2=c2 e2,b2=a2(e2´1) =c2´a2k=c
e 2=a2 c e= 1 MF=MHðñ2x(k´c) +y2=k2´c2O FK k=´c
MF=MHðñy2= 4cx
R= (O,⃗i,⃗j) ĕ P
a 2+y2 b2= 1aąb
D F E=tMPP,MF=eˆMHu
O B A?? F F 1 K K 1 D D 1 c2=a2´b2,e=c
a ( BF=a) F cD:x=a2
c F1
´cD1:x=´a2
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