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Factorisation de polynômes de degré 3

Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle ? alors ce polynôme est On peut donc le factoriser par (x ? 1)



Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 +3x?5 car 2(1)2 +3(1)?5 = 0. 2 Factorisation



Trinômes du second degré

On a = 1² – 4 × 1 × 1 = 1 – 4 = – 3. Il n'y a donc pas de solution réelle. Le trinôme x² + x + 1 ne peut pas être factorisé.



SECOND DEGRE (Partie 2)

a = 1 b = 3 et c = 10 donc A = b2 – 4ac = 32 – 4 x 1 x 10 = -31. Comme A < 0



FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

Les coefficients a et b sont des réels donnés avec ?0. II. Représentation graphique. Propriétés : Soit f une fonction polynôme de degré 3 telle que ( 



Exercices Maths 1ère S - Factorisation de polynôme de degré 3

Factorisations 2nd degré - http://www.toupty.com. Classe de 1èreS. Exercice 1. ?1. Soit E = x3 + 20x2 + 109x + 90 a) Vérifier que ?10 est une racine de E.



FACTORISATIONS

Exemple : L'équation 3 ?6 ?2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme + + le nombre réel



Les Polynômes

Définition 1 : Un trinôme du second degré est une expression de la forme ax la factoriser à l'aide de l'identité remarquable a ... 3) Signe du trinôme.



POLYNOMES

Une fonction polynôme P de degré n à coefficients réels possède au plus n racines réelles. I.4 Factorisation. Théorème 3. Si une fonction polynôme P à 



Polynômes

Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : P(0) = 1 et P(1) = 0 et Factoriser dans R[X] et C[X] les polynômes suivants : a) X3 ?3.



[PDF] Factorisation de polynômes de degré 3

Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle ? alors ce polynôme est factorisable par (x ??) on a alors : P(x) = (x ??)×Q(x) où Q(x) est un polynôme 



[PDF] Exercices Maths 1ère S - Factorisation de polynôme de - Toupty

Exercice 1 ?1 Soit E = x3 + 20x2 + 109x + 90 a) Vérifier que ?10 est une racine de E b) Factoriser E ?2 Soit F = ?25x3 + 75x2 ? 71x + 21



[PDF] Exercices Maths 1ère S - Factorisation de polynôme de - Toupty

3 + 20x 2 + 109x + 90 = (x 2 + 10x + 9) × (x + 10) b) On doit maintenant factoriser le polynome E2 = x2 + 10x + 9 Je calcule ? = 102



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Factoriser un polynome de degré 3 pdf Dans cet article nous allons vous présenter les polynômes du troisième degré avec leur résolution en terminale



[PDF] FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 - maths et tiques

Définition : Les fonctions définies sur ? par ? ou ? + sont des fonctions polynômes de degré 3 Les coefficients et sont des réels 





[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math

3-2 Inéquations du second degré Méthode générale : on calcule la valeur du discriminant du trinôme associé à l'inéquation On en déduit le signe du trinôme 



[PDF] [pdf] factorisation de polynômes

Techniques de factorisation : mise en évidence double 3 Techniques de factorisation : factorisation d'un polynôme de degré 2



[PDF] FACTORISATION DE POLYNÔMES

Définitions = 1500 + 70 ? 2 2 Forme développée Forme factorisée 3 Techniques de factorisation : factorisation d'un polynôme de degré 2



[PDF] Polynôme de degré 3

Déterminer trois réels a b et c tels que P(x)=(x ? 1)(ax2 + bx + c) (On admettra que tout polynôme admettant ? comme racine peut se factoriser par (x ? ?))

  • Comment factoriser un Trinome de degré 3 ?

    Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle ? , alors ce polynôme est factorisable par (x ??). on a alors : P(x) = (x ??)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 ?4x2 ?7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.

  • Comment on factorise un Trinome ?

    Un trinôme du second degré ax2 + bx + c, est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme a(x – x1)(x – x2). Si un trinôme ax2 + bx + c peut être factorisé, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a au moins une solution car on a a(x – x1)(x – x2) = 0 pour x = x1 ou x = x2.

  • Comment calculer un polynôme de degré 3 ?

    Une fonction (polynôme) de degré 3 est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax3 + bx² + cx + d avec a un réel non nul, b, c et d trois réels. La fonction f définie par f(x) = –2x3 + 3x² – 5x + 1 est une fonction du troisième degré. On identifie les coefficients : a = –2 ; b = 3 ; c = –5 ; d = 1.
  • Si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x ? x1)(x ? x2). Si x0 est l'unique racine d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x ? x0)2.
Second degré : Résumé de cours et méthodes

1Définitions :

DÉFINITIONOn appelle trinôme du second degré toute fonctionfdéfinie surRparf(x) =ax2+bx+c(a,betcréels aveca6=0).Remarque :Par abus de langage, l"expressionax2+bx+cest aussi appelée trinôme du second degré.

DÉFINITIONOn appelle racine du trinômef, tout réel qui annulef.Exemple :1 est une racine du trinôme 2x2+3x5, car 2(1)2+3(1)5=0.

Remarque :Chercher les racines du trinômeax2+bx+c, revient à résoudre dansRl"équationax2+bx+c=0.

2Factorisation, racines et signe du trinôme :

DÉFINITIONOn appelle discriminant du trinômeax2+bx+c(a6=0), le réelD=b24ac.2-1SiD<0:

Racines :Pas de racines réelles.

Factorisation :Pas de factorisation dansR.

Signe :ax2+bx+cest toujours du signe dea.?

O?ı??a >0

a <01 reSérie Générale - Second degréc

P.Brachet -www .xm1math.net1

2-2SiD=0:

Racines :Une racine réelle dite "double" :x1=b2a.

Factorisation :Pour toutx,ax2+bx+c=a(xx1)2.

Signe :ax2+bx+cest toujours du signe deaet s"annule pourx=x1.?

O?ı??a >0

a <0x

12-3SiD>0:

Racines :Deux racines réelles :x1=bpD

2aetx2=b+pD

2aFactorisation :Pour toutx,ax2+bx+c=a(xx1)(xx2).

Signe :ax2+bx+cest du signe deaà l"extérieur des racines. (on suppose quex1O?ı??a >0 a <0x 1x2x 1x22 c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Second degré

3Exemples de résolution d"équations et d"inéquations du second degré

3-1Equations du second degré

Résolution dansRde l"équationx2+2x3=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=2 etc=3 ).

Calcul du discriminant :D=b24ac= (2)24(1)(3) =16.

Le discriminant est strictement positif, donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l"équa-

tion :

Calcul des solutions :

x 1=bpD

2a=2p16

21=242

=3x2=b+pD

2a=2+p16

21=2+42

=1. L"ensemble solution est doncS=f3;1g.

Résolution dansRde l"équation 2x22p2x+1=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=2p2 etc=1 ). Calcul du discriminant :D=b24ac= (2p2)24(2)(1) =428=0.

Le discriminant est nul, donc le trinôme admet une seule racine réelle qui est en fait la solution de l"équation :

Calcul de la solution :

x

1=b2a=(2p2)22=p2

2 . L"ensemble solution est doncS=( p2 2

Résolution dansRde l"équation 3x2+4x+5=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=3,b=4 etc=5 ). Calcul du discriminant :D=b24ac=424(3)(5) =1660=44.

Le discriminant est strictement négatif, donc le trinôme n"admet aucune racine réelle. L"ensemble solution est doncS=/0

Résolution dansRde l"équationx2+4x=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=4 etc=0 ).

Comme à chaque fois queb=0 ouc=0, il est inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes

traditionnelles vues en Seconde sont plus simples et plus rapides. Ici, il suffit de factoriser parx:

x

2+4x=0,x(x+4) =0,x=0 oux+4=0,x=0 oux=4. L"ensemble solution est doncS=f4;0g

Résolution dansRde l"équation 4x21=0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=4,b=0 etc=1 ). Icib=0, il est donc inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées.

4x21=0,4x2=1,x2=14

,x=12 oux=12 . L"ensemble solution est doncS=12 ;12

3-2Inéquations du second degréMéthode générale :on calcule la valeur du discriminant du trinôme associé à l"inéquation. On en déduit le signe du trinôme sur

R. On détermine alors l"ensemble solutionS, en cherchant les valeurs dexvérifiant l"inéquation.(Pour les bornes, on applique les

règles habituelles : les bornes sont toujours ouvertes aux infinis et pour les "doubles-barres", les autres bornes sont ouvertes si

l"inéquation est de la forme<0 ou>0 et sont fermées si l"inéquation est de la forme60 ou>0 .)

Remarque :Sib=0 ouc=0, il est inutile d"utiliser le discriminant et les formules associées. Les méthodes vues en Seconde

sont plus simples et plus rapides : il suffit en général de factoriser et de faire un tableau de signes.Exemples nécessitant le calcul du discriminant :

Résolution dansRde l"inéquationx2+4x560 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=4 etc=5 ).

Calcul du discriminant :D=b24ac= (4)24(1)(5) =36.

Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe deaà l"extérieur des racines". Il faut donc commencer par

calculer les deux racines : x 1=bpD

2a=4p36

21=462

=5x2=b+pD

2a=4+p36

21=4+62

=1

Signe du trinôme surR: (icia=1 est positif, donc le trinôme est positif à l"extérieur des racines et négatif à l"intérieur)1

reSérie Générale - Second degréc

P.Brachet -www .xm1math.net3

x-∞ -51+∞x

2+ 4x-5+0-0+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquelsx2+4x-5 est inférieur ou égal à 0. Cela

revient à déterminer lesxpour lesquels on a le signe-dans le tableau de signe. D"où,S= [-5;1]. Ce qui peut se vérifier

graphiquement :y x 1 -5ORésolution dansRde l"inéquation2x25x+3<0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=5 etc=3 ).

Calcul du discriminant :D=b24ac= (5)24(2)(3) =49.

Le discriminant est strictement positif, la règle est donc "signe deaà l"extérieur des racines". Il faut donc commencer par

calculer les deux racines : x 1=bpD

2a=(5)p49

2(2)=574=12

x

2=b+pD

2a=(5)+p49

2(2)=5+74=3

Signe du trinôme surR: (icia=2 est négatif, donc le trinôme est négatif à l"extérieur des racines et positif à l"intérieur)x-∞

-312

+∞-2x2-5x+ 3-0+0-Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels-2x2-5x+3 est strictement inférieur à 0. Cela

revient à déterminer lesxpour lesquels on a le signe-dans le tableau de signe. D"où,S=]-¥;-3[[]12

;+¥[. Ce qui peut se vérifier graphiquement :y x

1/2-3+

-ORésolution dansRde l"inéquation2x2+5x4>0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=2,b=5 etc=4 ).

Calcul du discriminant :D=b24ac=524(2)(4) =7.

Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe dea" , c"est à dire toujours négatif cara=2.

Signe du trinôme surR:4

c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Second degré

x-∞+∞-2x2+ 5x-4-Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels-2x2+5x-4 est supérieur ou égal à 0, ce qui

est impossible vu le tableau de signe. D"où,S=/0.

Résolution dansRde l"inéquationx2+p2x+1>0 :

(Par rapport aux formules, on a ici :a=1,b=p2 etc=1 ). Calcul du discriminant :D=b2-4ac= (p2)2-4(1)(1) =-2.

Le discriminant est strictement négatif, la règle est donc "toujours du signe dea", c"est à dire toujours positif cara=1.

Signe du trinôme surR:x-∞+∞x

2+⎷2x+ 1+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquelsx2+⎷2x+1 est strictement supérieur à 0, ce

qui est toujours le cas vu le tableau de signe. D"où,S=R. Résolution dansRde l"inéquation 4x2-4⎷3x+3>0 : (Par rapport aux formules, on a ici :a=4,b=-4⎷3 etc=3 ). Calcul du discriminant :D=b2-4ac= (-4⎷3)2-4(4)(3) =0.

Le discriminant est nul, la règle est donc "toujours du signe dea(c"est à dire toujours positif cara=4) et s"annule pour

la racine doublex1=-b2a=-(-4⎷3)24=⎷3 2

Signe du trinôme surR:x-∞

⎷3 2

+∞4x2-4⎷3x+ 3+0+Ensemble solution :les solutions de l"inéquation sont lesxpour lesquels 4x2-4⎷3x+3 est strictement supérieur à 0, ce

qui est toujours le cas vu le tableau de signesaufpour⎷3 2 . D"où,S=R-( ⎷3 2

4Relations entre les coefficients et les racines d"un trinôme

PROPRIÉTÉSoit un trinômeax2+bx+c(a6=0) dont le discriminantDest strictement positif. Les deux racinesx1etx2sont telles que :

x

1+x2=-ba

etx1x2=ca

Application :Cela permet de déterminer rapidement une racine connaissant l"autre, en particulier lorsque le trinôme admet une

racine "évidente". Remarque : le fait de trouver une racine implique forcément que le discriminant est supérieur ou égal à 0. Il est

donc inutile de le calculer! Exemple :x1=1 est une racine "évidente" du trinôme 2x2-5x+3. On doit donc avoir :

1x2=ca

=32 . D"où la deuxième racinex2est forcément égale à32

Une conséquence de ces relations entre les coefficients et les racines d"un trinôme est la propriété suivante :1

reSérie Générale - Second degréc

P.Brachet -www .xm1math.net5

PROPRIÉTÉ

Dire que deux nombres réels ont pour sommeSet pour produitPéquivaut à dire qu"ils sont solutions dansRde l"équation du

second degré :x2Sx+P=0 .Exemple :Pour déterminer (s"ils existent) deux réels dont la sommeSest égale à 6 et dont le produitPest égal à 1, on résoud

dansRl"équationx2Sx+P=0,x26x+1=0. On aD= (6)24(1)(1) =32. Il ya donc deux solutions réelles : x

1=6p32

2 =64p2 2 =32p2 etx2=6+p32 2 =6+4p2 2 =3+2p2. Les deux réels cherchés sont donc 32p2 et

3+2p2.

5Equations bicarrées :ax4+bx2+c=0Méthode générale :Pour résoudre ce genre d"équations, on utilise un changement d"inconnue :

En posantX=x2, l"équationax4+bx2+c=0 est équivalente au système(X=x2 aX

2+bX+c=0Exemple :Résolution dansRde l"équationx47x2+12=0

On poseX=x2, l"équation est équivalente au système(X=x2 X

27X+12=0

On résoud l"équation du second degréX27X+12=0 :

D= (7)24(1)(12) =4948=1 ,X1=(7)p1

21=62
=3 ,X2=(7)+p1 21=82
=4 On a doncX=3 ouX=4, ce qui équivaut àx2=3 oux2=4.

D"où,x=p3 oux=p3 oux=2 oux=2.

Ainsi, l"ensemble solution estS=p3;p3;2;2.

6Equations irrationnelles avec des racines carréesMéthode générale :On isole la racine carrée et on utilise le fait quesiA=BalorsA2=B2. On obtient une deuxiéme équation du

de l"équation initiale. (En effet, on ne procéde pas par équivalence mais par implication. La vérification est donc indispensable.)Exemple :Résolution dansRde l"équationp4x19=x4.p4x19=x4)4x19= (x4)2)4x19=x28x+16)0=x28x+164x+19)x212x+35=0

Résolution de l"équation du second degré obtenue :

D= (12)24(1)(35) =4 ,x1=(12)p4

21=102

=5 ,x2=(12)+p4

21=142

=7 .

Vérification :

p4519=p1=1 existe et est bien égal à 54p4719=p9=3 existe et est bien égal à 74.

L"ensemble solution est :S=f5;7g.6

c P.Brachet -www .xm1math.net1reSérie Générale - Second degréquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
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