Factorisation de polynômes de degré 3
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle ? alors ce polynôme est On peut donc le factoriser par (x ? 1)
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 +3x?5 car 2(1)2 +3(1)?5 = 0. 2 Factorisation
Trinômes du second degré
On a = 1² – 4 × 1 × 1 = 1 – 4 = – 3. Il n'y a donc pas de solution réelle. Le trinôme x² + x + 1 ne peut pas être factorisé.
SECOND DEGRE (Partie 2)
a = 1 b = 3 et c = 10 donc A = b2 – 4ac = 32 – 4 x 1 x 10 = -31. Comme A < 0
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3
Les coefficients a et b sont des réels donnés avec ?0. II. Représentation graphique. Propriétés : Soit f une fonction polynôme de degré 3 telle que (
Exercices Maths 1ère S - Factorisation de polynôme de degré 3
Factorisations 2nd degré - http://www.toupty.com. Classe de 1èreS. Exercice 1. ?1. Soit E = x3 + 20x2 + 109x + 90 a) Vérifier que ?10 est une racine de E.
FACTORISATIONS
Exemple : L'équation 3 ?6 ?2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme + + le nombre réel
Les Polynômes
Définition 1 : Un trinôme du second degré est une expression de la forme ax la factoriser à l'aide de l'identité remarquable a ... 3) Signe du trinôme.
POLYNOMES
Une fonction polynôme P de degré n à coefficients réels possède au plus n racines réelles. I.4 Factorisation. Théorème 3. Si une fonction polynôme P à
Polynômes
Trouver le polynôme P de degré inférieur ou égal à 3 tel que : P(0) = 1 et P(1) = 0 et Factoriser dans R[X] et C[X] les polynômes suivants : a) X3 ?3.
[PDF] Factorisation de polynômes de degré 3
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle ? alors ce polynôme est factorisable par (x ??) on a alors : P(x) = (x ??)×Q(x) où Q(x) est un polynôme
[PDF] Exercices Maths 1ère S - Factorisation de polynôme de - Toupty
Exercice 1 ?1 Soit E = x3 + 20x2 + 109x + 90 a) Vérifier que ?10 est une racine de E b) Factoriser E ?2 Soit F = ?25x3 + 75x2 ? 71x + 21
[PDF] Exercices Maths 1ère S - Factorisation de polynôme de - Toupty
3 + 20x 2 + 109x + 90 = (x 2 + 10x + 9) × (x + 10) b) On doit maintenant factoriser le polynome E2 = x2 + 10x + 9 Je calcule ? = 102
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Factoriser un polynome de degré 3 pdf Dans cet article nous allons vous présenter les polynômes du troisième degré avec leur résolution en terminale
[PDF] FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 - maths et tiques
Définition : Les fonctions définies sur ? par ? ou ? + sont des fonctions polynômes de degré 3 Les coefficients et sont des réels
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3-2 Inéquations du second degré Méthode générale : on calcule la valeur du discriminant du trinôme associé à l'inéquation On en déduit le signe du trinôme
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Techniques de factorisation : mise en évidence double 3 Techniques de factorisation : factorisation d'un polynôme de degré 2
[PDF] FACTORISATION DE POLYNÔMES
Définitions = 1500 + 70 ? 2 2 Forme développée Forme factorisée 3 Techniques de factorisation : factorisation d'un polynôme de degré 2
[PDF] Polynôme de degré 3
Déterminer trois réels a b et c tels que P(x)=(x ? 1)(ax2 + bx + c) (On admettra que tout polynôme admettant ? comme racine peut se factoriser par (x ? ?))
Comment factoriser un Trinome de degré 3 ?
Si un polynôme P de degré 3 admet une racine réelle ? , alors ce polynôme est factorisable par (x ??). on a alors : P(x) = (x ??)×Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Utilisation : Le polynôme P(x) = x3 ?4x2 ?7x +10 admet comme racine évidente le nombre 1.Comment on factorise un Trinome ?
Un trinôme du second degré ax2 + bx + c, est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme a(x – x1)(x – x2). Si un trinôme ax2 + bx + c peut être factorisé, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a au moins une solution car on a a(x – x1)(x – x2) = 0 pour x = x1 ou x = x2.Comment calculer un polynôme de degré 3 ?
Une fonction (polynôme) de degré 3 est une fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax3 + bx² + cx + d avec a un réel non nul, b, c et d trois réels. La fonction f définie par f(x) = –2x3 + 3x² – 5x + 1 est une fonction du troisième degré. On identifie les coefficients : a = –2 ; b = 3 ; c = –5 ; d = 1.- Si x1 et x2 sont les racines d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x ? x1)(x ? x2). Si x0 est l'unique racine d'un polynôme du second degré ax2 + bx + c, alors il se factorise sous la forme a(x ? x0)2.
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Chap 2 :?
???Les PolynômesI. Trinôme du second degré
Définition 1 :Un trinômedu second degré est une expression de la formeax2+bx+c, aveca?=0.Exemple :x2,-2x2+x-1, 10000x2-30000x...
Nous allons déterminer une technique pour résoudretoutesles équations du typeax2+bx+c=0, aveca?=0 , appeléeséquations du second degré.1) Forme canonique du trinôme
Proposition-DéfinitionPour tout trinôme on a :ax2+bx+c=a?? x+b2a? 2 -b2-4ac4a2? Une telle écriture (où lesxn"apparaissent qu"une seule fois) s"appelle la forme canoniquedu trinôme. A quoi ça sert?: Cette écriture permet dans tous les cas de résoudre l"équationax2+bx+c=0, il fautla factoriser à l"aide de l"identité remarquablea2-b2puis, si cette factorisation est possible, dire qu"un
??produit de facteurs est nul si et seulement si l"un des facteurs est nul??et enfin conclure. Exemple :la forme canonique de 2x2-4x-6 est 2?(x-1)2-4?donc l"équation 2x2-4x-6=0 peut se réécrire 2?(x-1)2-4?=02?(x-1)2-22?=0
2(x-1-2)(x-1+2)=0
2(x-3)(x+1)=0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l"un des facteurs est nul donc : soitx-3=0 soitx+1=0 et les solutions sont doncx=3 etx=-1.2) Résolution de l"équationax2+bx+c=0, avecanon nul
Définition 2 :On appelleracine(ouzéro) du trinômeax2+bx+ctoute solutiondeax2+bx+c=0.Page 1/5
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Proposition 1 :αest une racine deax2+bx+csi et seulement si on peut factoriserax2+bx+cpar (x-α) c"est-à-dire si et seulement siax2+bx+c=(x-α)(...). Définition 3 :SoitP(x)=ax2+bx+c, on appellediscriminantdeP, le nombreΔ=b2-4ac.
Théorème 1 :SoitSl"ensemble des solutionsdeax2+bx+c=0. SiΔ<0 :S=?, c"est-à-dire que l"équation n"a pas de solution surR.SiΔ=0 :S=?
-b 2a?SiΔ>0 :S=?
-b-?2a;-b+?
2a? Exemple :Résoudre les équations suivantes :x2-3x+2=0,2x2+4x+2=0,
-3x2+2x-2=0.
Proposition 2 :Si un trinôme a deux racinesx1etx2on peut le factoriser ena(x-x1)(x-x2).3) Signedu trinôme
Dans chacun des trois cas pourΔon peut déterminer le signe du trinôme en fonction dex. Théorème 2 :De la forme canonique du trinôme, on déduit :SiΔ<0 :ax2+bx+cest toujoursdu signe dea.
SiΔ=0 :ax2+bx+cest toujoursdu signedeasauf pourx=-b2a(il est alorsnul).
SiΔ>0 :ax2+bx+cest :
du signe deaà l"extérieur des racines.
du signe de-aà l"intérieur des racines.
Ce qui donne sous forme de tableau
x-∞x1x2+∞ ax2+bx+csigne dea0signe de-a0signe deaPage 2/5
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Remarque :Dans la pratique on peut retrouverces résultats en factorisant le trinôme. Par exemplepourlesignedex2-3x+2 :onconnaîtsesracinesquisont1 et 2 doncgrâceà la proposition2 on sait qu"on peut factoriser ce trinômeenx2-3x+2=(x-1)(x-2) puis un tableau de signes nous donne : x-∞1 2+∞ (x-1) -0++ (x-2) --0+ x2-3x+2
+0-0+4) Interprétation géométrique
On considère la fonctionf:?R-→R
x?-→ax2+bx+c. On appelleCfsa courbe représentative dans un repère orthonormé. On peut retrouver les résultatsdes théorèmes précédents surCf: Oy xx1x2C f a>0Δ>0Oy xx0C f a>0Δ=0Oy x a>0Δ<0C f Oy x x1x2 C fa<0Δ>0 Oy x x0 C fa<0Δ=0 Oy x a<0Δ<0 C fPage 3/5
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II. Polynômes
1) Définition
Définition 4 :Unpolynômeest une fonction de la formeP:x?-→anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0.
oùa0,a1, ...,ansont des nombres réels et oùnest un entier naturel.Exemple :f(x)=x2-2x+1,g(x)=-2+5x-3x5,h(x)=21...
Vocabulaire:Les nombres réelsa0,a1, ...,ans"appellent lescoefficientsdu polynômeP. On lita??indice??0,a??indice??1, ...,a??indice??n. Le nombreapxps"appelle leterme de degré pdu polynômeP.Le nombrea0x0=a0s"appelle le
terme constantdu polynômeP.2) Egalitéde polynômes
Définition 5 :LedegrédePest la plus grande puissance dexdansP. Théorème 3 :On a l"équivalence suivante entre deux polynômesPetQ:P=Q???degP=degQ
les coefficients dePetQsont identiques. A quoiça sert?: Ce théorème est fondamental pour factoriser un polynôme. Proposition 3 :Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.Plus précisément, pour toutxréel on a :
P(x)=anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0=0??a0=0,a1=0, ...,an=0.3) Factorisation
Définition 6 :SoitPun polynôme de degrén?1.On appelle
racine(ouzéro) dePtout nombreatel queP(a)=0.Page 4/5
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Théorème 4 :aest racine deP??P(x)=(x-a)(......). on dit quePest factorisablepar (x-a). Remarque :Pour le degré 2 on retrouve la proposition 1. On peut en déduire une technique pourcomplètementfactoriser un polynôme :La méthode par
identification des coefficients Remarque :c"est la méthode utilisée par la proposition2. Exemple :Pour factoriser le polynômeP(x)=x3+x2-4x-4 il faut connaître au moins une racine. Pour cela on calcule quelques valeurs, par exempleP(0),P(1) etP(-1). Une fois qu"on a une racine, ici-1, on peut écrireP(x)=(x+1)(......) et (......) est forcément un polynôme de degré 2. On peut l"écrireax2+bx+c.En développant (x+1)(ax2+bx+c) ondoit
retrouver les coefficients deP. On ax3+x2-4x-4=(x+1)(ax2+bx+c)=ax3+(a+b)x2+(b+c)x+cet ainsi???????1=a 1=a+b -4=b+c b=0 -4=0+c c=-4et donca=1,b=0 etc=-4 puis x3+x2-4x-4=(x+1)(x2-4).
On refait la même chose pourx2-4 en utilisant la proposition 2 :Δ=0+4×4=16 et les racines dex2-4 sont donc0-42=-2 et0+42=2, puisx2-4=(x-2)(x+2).
(on aurait pu le voir tout de suite avec l"identité remarquablea2-b2.)On a ainsi la factorisationcomplète deP(x) :
x3+x2-4x-4=(x+1)(x+2)(x-2).
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