PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss
1.1 PGCD de deux nombres entiers naturels . Si la division euclidienne de a par b s'écrit a = bq + r avec 0 <r<b alors D (a ; b)= D (b ; r).
Propriété - Définition (voir démonstration 01)
plus grand commun diviseur de a et b on le note PGCD(a ; b). Démonstration 01. (retour au cours) a et b sont deux entiers naturels non nuls.
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PGCD ET NOMBRES PREMIERS. I. PGCD de deux entiers. 1) Définition et propriétés. Exemple :.
Théorème de Gauss Terminale S Spécialité - PGCD - THEOREME
Chapitre 04 PGCD - Théorème de Bézout - Théorème de Gauss PGCD(a b) = PGCD(b
Terminale S – Spécialité Principales démonstrations 1
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r). Démonstration. • Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq.
Vdouine – Terminale maths expertes – Arithmétique PGCD et
PGCD a b PGCD b r. = . Cette propriété est à la base de l'algorithme PGCD a b il suffit d'effectuer successivement la division euclidienne de a par.
Vdouine – Terminale S – Chapitre 1 spé – Arithmétique PGCD et
PGCD a b PGCD b r. = . Cette propriété est à la base de l'algorithme d'Euclide. Comment déterminer le PGCD ? Algorithme d'Euclide. Pour déterminer.
Chapitre 2 - Arithmétique des polynômes
Q2)=R2. R1. Si Q1 6= Q2 i.e. Q1. Q2 6= 0
( );q r ( ); ( ); ( );0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ); ( ) { } { }
??. ????? ??????? ?????? ??????? a?b. ???? ??? ???? ?? ? ???? a b. D. D. ?. ??????? ????? ???? ??????? a?b. ????? ?? ??. : ( );. PGCD a b.
Synthèse de cours PanaMaths ? Divisibilité et congruences
a b. b r. = La propriété fondamentale précédente conduit à un procédé itératif (algorithme) permettant de calculer le PGCD de deux entiers naturels non nuls
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
On appelle PGCD de a et b le plus grand commun diviseur de a et b et note PGCD(a;b) Remarque : On peut étendre cette définition à des entiers relatifs Ainsi
[PDF] PGCD - THEOREME DE GAUSS
si r0 = 0 d'après la propriété fondamentale PGCD(a b) = PGCD(b r0) on remplace a par b et b par r0 a b r0 b r0 on effectue la division euclidienne de b
[PDF] PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss
Propriété 1 : Soient a et b deux entiers naturels non nuls Si b divise a alors D (a ; b) = D (b) On a donc PGCD (a ; b)=
[PDF] Propriété - Définition (voir démonstration 01)
L'ensemble des diviseurs communs à a et à b possède un plus grand élément que l'on appelle le plus grand commun diviseur de a et b on le note PGCD(a ; b)
[PDF] Arithmétique des polynômes
2 2 Diviseurs communs - PGCD 2 2 1 pgcd de deux polynômes Proposition 2 8 Soit (AB) 6= (00) 2 (K[X])2 L'ensemble des degrés des diviseurs communs
[PDF] PGCD - PPCM Théorèmes de Bézout et de Gauss - Lycée dAdultes
15 juil 2016 · L'ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément D appelé plus grand commun diviseur On note : D = pgcd(a b)
[PDF] Arithmétique de & et corps Rinis - Page A Christian PAULY
PGCD (ab) = le + gd des diviseurs communs a etb Remarque: Tout diviseur commun a et too est aussi un diviseur du PGCD
[PDF] chapitre 1 : divisibilité et premiers
Quand on a pgcd(a b)=1 on dit que a est premier avec b ou que a et b sont premiers entre eux Quelques autre propriétés des pgcd : Propriétés 3 3
[PDF] Chapitre 2 Larithmétique des entiers
L'algorithme d'Euclide permettant de calculer le pgcd de deux entiers repose sur cette division et sur le lemme suivant : Lemme 2 11 Soit (a b) ? Z × Z? ; si
[PDF] Terminale S – Chapitre 1 spé – Arithmétique PGCD et congruences
PGCD a b PGCD b r = Cette propriété est à la base de l'algorithme d'Euclide Comment déterminer le PGCD ? Algorithme d'Euclide Pour déterminer
Comment calculer le PGCD AB ?
La recherche du PGCD par la méthode des divisions euclidiennes est la conséquence du lemme d'Euclide. Lemme d'Euclide : soit un couple d'entiers naturels non nuls (a,b), si des entiers naturels q et r, avec r ? 0, sont tels que a = bq + r , alors : PGCD(a,b) = PGCD(b,r).Comment calculer le PGCD formule ?
Le PGCD de deux entiers est leur plus grand diviseur commun. Le principe adopté est l'algorithme d'Euclide que l'on peut formellement décrire ainsi : La division entière se définit par A= (B * Q) + R avec A, B, Q, R entiers naturels.Comment calculer le PGCD et le PGCD ?
Méthode 2 : le tableau des diviseurs premiers
Cette méthode consiste à diviser simultanément les nombres étudiés par des diviseurs premiers. Le PGCD sera alors le produit de ces diviseurs premiers. Cette méthode est plus rapide et efficace lorsque l'on cherche le PGCD entre deux grands nombres.- Pour déterminer le PGCD de deux polynômes on applique l'algorithme d'Euclide, utilisant les divisions euclidiennes successives des polynômes et les résultats suivants : dans la division euclidienne de F par G , si F = G Q + R , alors P G C D ( F , G ) = P G C D ( G , R ) = P G C D ( G , ? R ) où ? est un scalaire non
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Un entier naturel qui divise a et qui divise b est appelé diviseur commun à a et b. L'ensemble des diviseurs communs à a et à b possède un plus grand élément que l'on appelle le
plus grand commun diviseur de a et b, on le note PGCD(a ; b).Démonstration 01 (retour au cours)
a et b sont deux entiers naturels non nuls.Considérons l'ensemble
D(a ; b), ensemble des diviseurs communs à a et b. Le nombre 1 est un diviseur commun à a et b.D(a ; b) est donc une partie non vide de IN.
De plus on sait que tout diviseur commun à a et b sera inférieur ou égal à a et à b.
Donc D(a ; b) est une partie finie de IN.
D(a ; b) a donc un plus grand élément que l'on peut obtenir en rangeant dans l'ordre croissant (ou
décroissant) les éléments de D(a ; b). C'est ce plus grand élément de D(a ; b) qui est noté PGCD(a ; b)Propriétés
(voir démonstration 02)Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
On a PGCD(a ; b) a ; PGCD(a ; b) b ; PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a)Si b divise a, on a PGCD(a ; b) = b , en particulier PGCD(a ; 1) = 1 et PGCD(a ; a) = a Démonstration 02 (retour au cours)
a étant un entier naturel, on sait que tous les diviseurs de a sont inférieurs ou égaux à a.
PGCD(a ; b) est un diviseur de a, donc PGCD(a ; b) ab étant un entier naturel, on sait que tous les diviseurs de b sont inférieurs ou égaux à b.
PGCD(a ; b) est un diviseur de b, donc PGCD(a ; b) bIl est immédiat que les diviseurs communs à a et b, sont aussi les diviseurs communs à b et a.
Donc PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a)
Si b divise a, alors b est un diviseur de a
Mais b est aussi un diviseur de b
Donc b est un diviseur commun à a et b ,
PGCD(a ; b) étant le plus grand des diviseurs communs à a et b, on a donc PGCD(a ; b) b Or on a vu précédemment que PGCD(a ; b) bOn en déduit :
PGCD(a ; b) = b
En prenant b = 1, et comme 1 divise a, on a PGCD(a ; 1) = 1 (résultat qui est par ailleurs évident)
En prenant b = a, et comme a divise a, on a PGCD(a ; a) = a (résultat qui est par ailleurs évident)
Propriété
(voir démonstration 03)Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Soient q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. (On a a = b x q + r )
Alors Si r = 0, PGCD(a ; b) = b
Si r 0, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r)
Démonstrations des propriétés d'arithmétique 2Démonstration 03 (retour au cours)
a et b sont deux entiers naturels non nuls. q et r sont le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.On a a = b
x q + r avec q IN , r IN et 0 r < bSi r = 0, alors a = b
x q avec q IN , donc b divise a et par conséquent PGCD(a ; b) = bSi r 0,
Considérons d un diviseur commun à a et b.On peut écrire r = a - b
x q Comme d divise a et b, on en déduit que d divise r Donc d est un diviseur commun à b et r. On a donc D(a ; b) D(b ; r) Considérons d un diviseur commun à b et r.On sait que a = b
x q + r Comme d divise b et r, on en déduit que d divise a Donc d est un diviseur commun à a et b. On a donc D(b ; r) D(a ; b) On a donc démontré que D(a ; b) = D(b ; r) Le plus grand élément de D(a ; b) est donc aussi le plus grand élément de D(b ; r) c'est-à-dire PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) Propriété - Algorithme d'Euclide (voir démonstration 04)Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
On définit la suite r
n d'entiers naturels de la façon suivante : r 0 = b ; r 1 est le reste de la division euclidienne de a par bPour n 1 : si r
n = 0 alors r n+1 = 0 si r n0 alors r
n+1 est le reste de la division euclidienne de r n-1 par r nAlors il existe un entier n
0 tel que r n 00 et pour tout n > n
0 , r n = 0On a PGCD(a ; b) = r
n 0Remarque
En effectuant ainsi des divisions euclidiennes successives: de a par b, puis du diviseur par le reste, ...
le premier reste non nul est le PGCD de a et de b. C'est l'algorithme d'EuclideSuivant les nombres a et b, le nombre d'itérations à effectuer peut être plus ou moins grand.
Sachant que PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a) on aura toujours intérêt à prendre b aDémonstration 04 (retour au cours)
a et b sont deux entiers naturels non nuls.La suite r
n d'entiers naturels est définie par : r 0 = b ; r 1 est le reste de la division euclidienne de a par bPour n 1 : si r
n = 0 alors r n+1 = 0 si r n0 alors r
n+1 est le reste de la division euclidienne de r n-1 par r nSupposons que pour tout entier n, on a r
n 0Alors pour tout entier n, r
n+1 est le reste de la division euclidienne de r n-1 par r n D'après l'encadrement du reste dans une division euclidienne on a r n+1 < r nOn a alors r
1 < r 0 donc r 1 < b donc r 1 b - 1 r 2 < r 1 donc r 2 r 1 - 1 donc r 2 b - 2 On pourrait alors démontrer par récurrence que pour tout n r n b - nOn aurait alors r
b+1 b - (b + 1) c'est-à-dire r b+1 -1 ce qui est absurde puisque r b+1 INEn supposant que r
n0 pour tout entier n, on aboutit à une contradiction.
Démonstrations des propriétés d'arithmétique 3Il existe donc un entier n tel que r
n = 0 Considérons l'ensemble E des entiers n tels que r n = 0 Cet ensemble est une partie non vide de IN. Elle a donc un plus petit élément n 1On a donc r
n 1 = 0 et d'après la définition de la suite (r n ) il est immédiat que r n = 0 pour tout n n 1Posons n
0 = n 1 - 1Puisque n
1 est le plus petit élément de E, n 0E donc r
n 0 0De plus si n > n
0 on a n n 1 et par conséquent r n = 0 donc r n = 0 pour tout n tel que n > n 0 On a vu que lorsque r est le reste non nul de la division euclidienne de a par b, on aPGCD(a ; b) = PGCD(b ; r)
En utilisant cette propriété avec les éléments de la suite (r n ) pour n n 0 on peut écrire :PGCD(a ; b) = PGCD(a ; r
0 ) = PGCD(r 0 ; r 1 ) = PGCD(r 1 ; r 2 ) = ... = PGCD(r n 0-1 ; r n 0Comme de plus r
n 0+1 = r n 1 = 0 , cela signifie que r n 0-1 est divisible par r n 0 et donc PGCD(r n 0-1 ; r n 0 = r n 0On a alors obtenu PGCD(a ; b) = r
n 0Propriété (voir démonstration 05)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
L'ensemble des diviseurs communs à a et à b est l'ensemble des diviseurs de leur PGCD.Démonstration 05 (retour au cours)
a et b sont deux entiers naturels non nuls.Notons D = PGCD(a ; b)
Soit d un diviseur de D. d divise D et D divise a, donc d divise a d divise D et D divise b, donc d divise b.Donc d est un diviseur commun à a et b.
Tout diviseur du PGCD est un diviseur commun à a et b. Soit d un diviseur commun à a et b. (on peut supposer que b a) Si b divise a, alors PGCD(a ; b) = b, donc D = b, donc d divise DSi b ne divise pas a.
Écrivons la division euclidienne de a par b, a = b x q + r avec 0 < r < bOn a D = PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r)
Si r divise b, alors D = PGCD(b ; r) = r,
D'autre part puisque d divise a et b, alors d divise r = a - b x q, donc d divise D Si r ne divise pas b, on peut alors recommencer l'opération. Or, d'après l'algorithme d'Euclide, on obtiendra D = PGCD(r n-1 ; r n avec r n le dernier reste non nul, c'est-à-dire avec r n diviseur de r n-1 . Donc D = r n A chaque étape on pourra écrire que d divise r i et par conséquent d divise r nOn aura donc démontré que d divise D.
Tout diviseur commun à a et b est donc un diviseur de leur PGCD. L'ensemble des diviseurs communs à a et b est l'ensemble des diviseurs de leur PGCD.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] conversion notes erasmus
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