[PDF] Corrigé du baccalauréat S Asie juin 2004

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?Corrigé du baccalauréat S Asie juin 2004?

EXERCICE13 points

Commun à tous les candidats

1.L"affirmation signifie quef?(0)=-1

4. fest dérivable comme quotient de fonctions dérivables, le dénominateur ne s"annulant pas car 1+ex?1>0. f ?(x)=-ex (1+ex)2etf?(0)=-1(1+1)2=-14.

L"affirmation est vraie.

2.----→MM?= ---→MA+--→MB+4--→MC??---→MG+---→GM?= ----→MG---→GA+---→MG+--→GB+

4---→MG+4--→GC??---→GM?=3---→MG??---→GM?= -3---→GM(car par définition du

barycentre :---→GA+--→GB+4--→GC=-→0 . La dernière égalité trouvée montre bien queM?est l"image deMdans l"ho- mothétie de centre G et de rapport-3.

3.f(x)=1

2x??xsin3x=12x???

x=0 sin3x=12 sin3x=1

2??sin3x=sinπ6ou sin3x=sin5π6. Donc :

— d"une part sin3x=sinπ

6??3x=π6[2π]??x=π18?

2π3?.

— ou d"autre part sin3x=sin5π

6??3x=5π6[2π]??x=5π18?

2π3?.

Donc l"affirmation est vraie.

EXERCICE25 points

Pour lescandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

1. a.On développe (z-7i)(z+i)=z2-6iz+7.

b.M?=A est invariant si et seulement siM=M??? z ?=z??z=3iz-7 z-3i??z(z-3i)=3iz-7??z2-3iz=3iz-7?? z

2-6iz+7=0??(z-7i)(z+i)=0 d"après la question précédente???z=7i

z= -i Il existe donc deux points invariants parf: B(7i) et C(-i).

2. a.On vérifie aisément que le milieu de [BC] est le point A qui est donc le

centre du cercleΣet que BC = 8 dont le rayon deΣest égal à 4.

En posantθ=?-→e1,--→AM?

, on a en calculant l"affixe du vecteur--→AM: z-3i=4eiθ??z=3i+4eiθ. b.On a doncz?=3i?3i+4eiθ?-7 Cette dernière égalité montre queM?appartient lui aussi au cercleΣ. c.On a avecz=3i+4eiθ, z=-3i+4eiθ z=3i-4eiθ=z?comme on l"a vu à la question précédente. Le pointM?se construit en prenant le symétrique deMautour de l"axe des abscisses, puis le symétrique de ce point autour de O, ou encore plus simplement par symétrie autour de l"axe des ordonnées.

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

a une affixe égale àz=3i+reiθ.

On en déduit que :

z ?=3i?3i+reiθ?-7 Cette dernière égalité montre queM?appartient au cercle de centre A(3i) et de rayon 16 r. L"image d"un cercle de centre A est un cercle de centre A.

EXERCICE25 points

Pour lescandidats ayantsuivi l"enseignementde spécialité

1. a.Soitapair et tel quea2+9=2n??9=2n-a2.

Ceci ne peut être vrai puisque la différence de deux pairs estpaire. Donc siaexiste,aest impair. b.On a donca=2k+1,k?N, donca2+9=2n??4k2+4k+10=2n. Or 4k2+4k+10≡2 [4] et 2n≡0 [4], puisquen?4. Conclusion : il n"existe pas de solution à l"équationa2+9=2n.

2. a.a2+9=3n. Pourn?3, 3≡-1 [4], donc

3 n≡(-1)n[4]. Sinest pair 3n≡1 [4] et sinest impair 3n≡-1 [4] ou encore 3 n≡3 [4]. b.Soitatel quea2+9=3n. Siaest impair, son carré l"est aussi donca2+9 est pair, alors que 3 nest impair pour toutn.

Conclusion : siaexiste, il est pair.

Puisqueaest pair il existep?Ntel quea=2p, d"oùa2=4p2.

Donca2≡0 [4].

Il en résulte quea2+9≡9 [4] ou plus simplementa2+9≡1 [4]. Conclusion :a2+9=3nseulement si 3n≡1 [4], mais ceci n"est vrai que sinest pair.

Sia2+9=3n, alorsnest pair.

c.On pose doncn=2p,p?Nsupérieur à 1. - Sia=0, alorsa2+9=9=32p, d"oùp=1 : impossible carp>1. - Donca?=0

L"équation s"écrita2+9=32p??9=(3p)2-a2=9??

3p+a)(3p-a)=9.

Les diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9. Il y a donc deux possibilités

•?3p+a=3

3 p-a=3quin"apasdesolution carlesdeuxnombresnesont pas égaux,an"étant pas nul,

•?3p+a=9

3 p-a=1 car 3 p+a>3p-a. On en déduit en sommant : 2×3p=10??3p=5 qui n"a pas de solution car 5 n"est pas une puissance de 3. Conclusion : l"équationa2+9=3nn"a pas de solution.

3.a2+9=5n,n?2

a.Supposonsnimpair; il existe donck?Ntel quen=2k+1. 5 n=52k+1=52k×5, donc puisque 5≡2 [3], 52≡22[3], ou 52≡1 [3] et enfin 5 n≡2 [3].

Asie2juin 2004

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Donc s"il existe une solutiona, alorsa2+9≡2 [3]. Commeaest congru à 0, 1, ou 2 modulo 3, son carré est congru à 0 ou 1 modulo 3, et comme 9 est congru à 0 modulo 3,a2+9 est congru à 0 ou 1 modulo 3, alors que 5 nest congru à 2 modulo 3.

Ces deux nombres ne sont donc pas égaux.

Conclusion : sinest impair l"équationa2+9=5n,n?2 n"a pas de solu- tion. b.On suppose doncnpair; il existe donck?Ntel quen=2kaveck?1.

L"équation s"écrit :

a

2+9=52k??a2+9=?5k?2??9=?5k?2-a2???5k+a??5k-a?=9, d"où deux possibilités :

•?5k+a=3

5 k-a=3d"où par différence 2a=0??a=0, mais alors on auraita2+9=9=5nce qui n"est pas possible puisque 9 n"est pas une puissance de 5.

•?5k+a=9

5 k-a=1soit en sommant 2×5k=10??5k=5??k=1 et donca=4 Conclusion : l"équationa2+9=5n,n?2 a une seule solution : 4.

EXERCICE34 points

Commun à tous les candidats

1. (2 -1 0)) et((31 -1)) sont des vecteurs normaux respectivement àPetQ. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les plans ne sont pas paral- lèles et sont donc sécants suivant une droiteD. Tout point commun àPetQa des coordonnées (x;y;z) qui vérifient le système :?2x-y= -5

3x+y-z=0

En posantx=α, le système devient :???x=α

2x-y= -5

3x+y-z=0??

?x=α y=2α+5 z=5α+5

2.•Dest parallèle au planRsi un vecteur directeur deDest orthogonal à un

vecteur normal àRc"est-à-diresi((125))

·((-5

5 -1)) =0?? -5+10-5=0 qui est bien vraie. •Deux droites sont coplanaires si elles ont un point commun ousi elles sont parallèles. ?Si elles sont sécantes c"est-à-dire si???α= -3β

2α+5=1+β

5α+5=2+2β??

?α= -3β -6β+5=1+β

β=4

7

β=5

17Ce système n"a pas de solution.Conclusion : les deux droites ne sont pas sécantes.

Asie3juin 2004

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

?Si elles sont parallèles leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Da pour vecteur directeur-→u(1 ; 2 ; 5) etD?a pour vecteur directeur-→v(-3 ; 1 ; 2). Ces vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires. Donc

les droites ne sont pas parallèles.

Conclusion :DetD?ne sont pas coplanaires.

EXERCICE48 points

Commun à tous les candidats

f(x)=ln(1+2x) sur? -1

2;+∞?

I Premièrepartie étude d"une fonction

1.Comme 1+2x>0sur I,fest définiesur cetintervalle et est dérivablecomme

fonction composée de fonctions dérivables : f ?(x)=2

1+2x>0. La fonction est donc croissante sur I.

2. a.Comme lim

x→-1

2(1+2x)=0+, lim

x→-12f(x)=-∞. b.Sur I,g(x)=f(x)-x;gest dérivablecomme différence dedeux fonctions dérivables sur I etg?(x)=f?(x)-1=2

1+2x-1=2-1-2x1+2x=1-2x1+2xqui

est du signe de 1-2xpuisque sur I, 1+2x>0.

1-2x=0??x=1

2.

Conclusion :gest croissante sur?

-1 2;12? et décroissante sur?12;+∞? c.On ag?1 2? =ln2-12>0.

Cherchons la limite degau voisinage de+∞:

g(x)=ln(1+2x)-x=lnx? 2+1 x? -x=lnx+ln? 2+1x? -x= x lnx x+ln? 2+1 x? x-1????

Comme lim

x→+∞lnx x=0, limx→+∞ln? 2+1 x? x=0, la limite du crochet est donc

égale à-1 et limx→+∞g(x)=-∞.

Sur -1 2;12? ,gest croissante de-∞à ln2-12>0.fétant continue sur cet intervalle il existe un réel uniqueαtel quef(α)=0. Il est évident que

α=0.

De même sur?1

2;+∞?

,gdécroit de ln2-12>0 à-∞;gétant continue sur cet intervalle, il existe un réel uniqueβde cet intervalle tel que g(β)=0. On vérifie queg(1)≈0,098>0 et queg(2)≈-0,39<0.

Conclusion : 1<β<2.

d.On en déduit le signe deg:

— sur?

-1 2; 0? ,g(x)<0

— sur ]0 ;β[,g(x)>0

Asie4juin 2004

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

— sur ]β;+∞[,g(x)<0

—g(0)=g(β)=0.

3.0 f(0)=0 etf(β)=g(β)+β=0+β=β.

Conclusion : 0

II Étude d"une suite récurrente

1.Initialisation: on au0=1?]0 ;β[ (carβ>1). La propriété est vraie au rang 0;

Hérédité: soit un naturelnet supposons que 00 L"encadrement est vrai au rang 0, et s"il est vrai au rangnil l"est aussi au rang n+1 : on a donc montré par récurrence que pour tout entier natureln,un appartient à l"intervalle ]0 ;β[.

2.Initialisation: on au1=f(u0)=ln3>1 : la propriété est vraie au rang 1.

Hérédité: soit un naturelntel quen?1 et supposons queun+1>unalors par croissance de la fonctionf,f(un+1)>f(un)soitun+2>un+1: l"hérédité est établie. La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang au moins égal à 1, elle l"est aussi au rang suivant; on a donc démontré par le principe derécurrence que la suite est croissante à partir du rang 1.

3.La suite est majorée parβet croissante : elle converge donc vers un nombre

inférieur ou égal àβ.

II Limite de la suite

1.On a vu quef?(x)=2

1+2x. x?1?2x>2?1+2x>3?1

3>11+2x?23>21+2x.

2. a.(Hors-programme en 2009)Puisquef?(t)?2

3, on sait que?

u nf?(t)dt?23?β-un?et ce quel que soit n?N. b.Or? uquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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