[PDF] Baccalauréat S 2006 Lintégrale de septembre 2003 à juin 2004

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?Baccalauréat S 2006?

L"intégrale deseptembre 2003à juin 2004

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Antilles-Guyane septembre2003..................... 3 France septembre 2003............................... 7 Polynésie spécialité septembre 2003.................10 Amérique du Sud novembre 2003................... 12

Nouvelle-Calédonie novembre 2003.................18Nouvelle-Calédonie mars 2004...................... 21

Pondichéry avril 2003................................24 Amérique du Nord juin 2004.........................29 Antilles-Guyane juin 2004........................... 33 Asie juin 2004........................................ 37 Centres étrangers juin 2004..........................40 France juin 2004..................................... 43 Liban juin 2004.......................................47 Polynésie juin 2004.................................. 50 La Réunion juin 2004.................................55 année 2004 2 ?Baccalauréat S Antilles-Guyaneseptembre 2003?

EXERCICE15 points

Une association organise des promenades en montagne. Douzeguides emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du Soleil. L"été il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit s"inscrire la veille de la promenade. Mais l"expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des groupes inscrits ne se présente pas au départ de la promenadeest égale à1 8. On Les probabilités demandées seront arrondies au100ele plus proche.

1. a.Montrerquelaprobabilitéqu"unjourdonnéles12groupesinscritssoient

tous présents est comprise entre 0,20 et 0,21. b.On désigne parXla variable aléatoire égale au nombre de jours où les

12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d"un mois de 30

jours. Montrer queXsuit une loi binomiale dont on précisera les para- mètres. Donner la signification des évènementsX=30 puisX=0 et calculer la probabilité de ces évènements.

Préciser l"espérance mathématique E(X)

Quelle signification peut-on donner à ce résultat? pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade. Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l"association ne gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la jour- née. On nommeSla variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par l"association un jour donné. Calculer la probabilité de l"évènement [S=11].

Préciser l"espérance mathématique deS.

2. a.Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l"association

ment si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13 egroupe sera dirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplace- ment entraîne une dépense de 2 Crédits à l"association.

Quelle est a probabilité P

13qu"un jour donné il n"y ait pas de désiste-

ment, c"est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade? b.SoitRla variable aléatoire égale au coût de l"activité de substitution. Préciser la loi de la variable aléatoireRet calculer son espérance mathé- matique. c.Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est : 13? k=0k·? k 13? ?7 8? k?18? 13-k? -2P13.

Calculer ce gain.

d.La décision du dirigeant est-elle rentable pour l"association?

Baccalauréat Sannée 2004

EXERCICE24 points

Enseignementobligatoire

Soient A, B deux points distincts fixés d"un cercleCde centre I etMun point quel- conque de ce cercleC.

1.Le pointDest défini par-→IA+-→IB+--→IM=-→ID.

a.Prouver que les produits scalaires--→AD·--→BMet--→BD·--→AMsont nuls. En déduire à quelles droites particulières du triangle ABMle pointDap- partient puis préciser la nature du pointDpour le triangle AMB. b.SoitGl"isobarycentre des points A, B,M. Exprimer-→IDen fonction de-→IG.

2.Dans le plan complexe, rapporté à un repère otthonormal direct?

O,-→ı,-→??

on donne les points A, B, I d"affixes respectiveszA=2,zB=4+2i etzI=4. On nommefl"application qui, à tout pointMdu plan d"affixez, associe le point M ?d"affixeZtel queZ=1

3z+2+23i.

a.Montrer qu"il existe un unique pointΩtel quef(Ω)=Ωet calculer l"af- fixeωde ce point. Pour tout point d"affixez, exprimer alorsZ-ωen fonction dez-ω.

Préciser la nature de l"applicationf.

b.Métant un point quelconque d"affixezM, montrer que l"image par l"ap- plicationfdu pointMest l"isobarycentreGd"affixezGdes points A, B, M. c.Déterminer l"ensemble des pointsGlorsque le pointMdécrit le cercle

Cde centre I et de rayon 2.

par le pointDdéfini par-→ID=-→IA+-→IB+--→IMlorsque le pointMparcourt le cercleCde centre I et de rayon 2.

EXERCICE24 points

Enseignementde spécialité

Soit l"équation (1) d"inconnue rationnellex:

78x3+ux2+vx-14=0.

oùuetvsont des entiers relatifs.

1.On suppose dans cette question que14

39est solution de l"équation (1).

a.Prouver que les entiers relatifsuetvsont liés par la relation

14u+39v=1 129.

b.Utiliser l"algorithme d"Euclide,endétaillant lesdiversesétapesducalcul, pour trouver un couple (x;y) d"entiers relatifs vérifiant l"équation

14x+39y=1.

Vérifier que le couple (-25 ; 9) est solution de cette équation. c.En déduire un couple(u0;v0)solution particulière de l"équation 14u+

39v=1 129.

Donner la solution générale de cette équation c"est-à-direl"ensemble des couples (u;v) d"entiers relatifs qui la vérifient. d.Déterminer, parmi les couples (u;v) précédents, celui pour lequel le nombreuest l"entier naturel le plus petit possible.

2. a.Décomposer 78 et 14 en facteurs premiers.En déduire, dansN, l"ensemble des diviseurs de 78 et l"ensemble des di-

viseurs de 14.

Antilles-Guyane4septembre 2003

Baccalauréat Sannée 2004

b.SoitPQune solution rationnelle de l"équation (1) d"inconnuex:

78x3+ux2+vx-14=0 oùuetvsont des entiers relatifs.

Montrer que siPetQsont des entiers relatifs premiers entre eux, alorsP divise 14 etQdivise 78. c.En déduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant être solutions de l"équation (1) et écrire, parmi ces rationnels, l"ensemble de ceux qui sont positifs.

PROBLÈME10points

PartieA-Étudepréliminaired"unefonctionfdéfiniesurRpar (x)=(2-x)ex-1

1.Déterminer les limites de la fonction?en-∞et+∞.

2.Montrer que la fonction?est continue et dérivablesurRet étudier le signe de

sa dérivée. En déduire les variations de la fonction?et préciser les valeurs de?(-2), ?(0),?(1) et?(2). meraαetβ. On prendraα<β. Étudier alors le signe de la fonction?sur l"en- semble des réels et récapituler cette étude dans un tableau.

4.À l"aide de la calculatrice, fournir un encadrement d"amplitude 10-2des va-

leursαetβ.

5.Montrer que eα=1

2-α.

PartieB - Étude d"une fonctionfdéfinie parf(x)=ex-1 ex-xet calculintégral

1.Montrer que ex-xne s"annule pas surR. En déduire quefest définie surR.

2.Déterminer les limites de la fonctionfen-∞et+∞.

3.Calculer la dérivéef?de la fonctionfpuis, à l"aide des résultats delapartieA,

construire le tableau des variations def.

4.Montrer quef(α)=1

α-1, le nombreαétant la plus petite des deux valeurs pour lesquelles la fonction?de la partie A s"annule.

5.Déterminer une primitive de la fonctionfsurR. Donner une valeur exacte

puis une valeur décimale approchée à 0,01 près de l"intégrale : 1 0e x-1 ex-xdx.

PartieC - Étude de deux suites

1.Préciser l"ensemble de définition Dgde la fonctiongdéfinie sur cet ensemble

parg(x)=ln?1 2-x? où ln désigne la fonction logarithme népérien. Prouver que la fonctiongest croissante sur son ensemble de définition et que l"image pargde l"intervalle I = [-2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.

2. a.Soit la suite(un)définie pour tout entier naturelnpar :

?u0= -2 u n+1=g(un)

Antilles-Guyane5septembre 2003

Baccalauréat Sannée 2004

Montrer queu1appartient à l"intervalle I = [-2 ; 0]. Prouver par récur- rence, à l"aide des variations de la fonctiong, que la suite(un)a tous ses termes dans l"intervalle I et est croissante. b.On considère la suite(vn)définie pour tout entier naturelnpar : ?v0=0 v n+1=g(vn)

Calculer le termev1et montrer que-2?u1?v1?v0?0.

Établir par récurrence, à l"aide de la croissance de la fonctiongsur l"in- tervalle [-2 ; 0], que pour tout entier naturelnstrictement positif, on a : -2?un?vn?vn-1?0.

Préciser le sens de variation de la suite

(vn).

3. a.Soitmla fonction définie sur [0 ;+∞[ par :

m(x)=x-ln(1+x). Montrerquemestcroissante etcalculerm(0).Endéduireque,pour tout xpositif, on a ln(1+x)?x. b.Vérifier que, pour tout entiern,vn+1-un+1=ln?

1+vn-un

2-vn?

En déduire quevn+1-un+1?vn-un

2-vn. Sachantque,pour toutentiern,les termesdelasuite(vn)appartiennent à l"intervalle [-2 ; 0], donner un encadrement de1

2-vnet établir que :

v n+1-un+1?1

2(vn-un).

Prouver alors que, pour tout entier natureln,

v n-un?1

2n(v0-u0).

Que peut-on en déduire pour la suite de terme généralvn-unet pour les suites (un)et(vn)?

4.Donner, à l"aide de la calculatrice, un encadrement d"amplitude 10-4deu10

etv10.

Antilles-Guyane6septembre 2003

?Baccalauréat France série S septembre2003?

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct?

O,-→ı,-→??

On considère les points A etΩd"affixes respectives :a=-1+?

3+i etω=-1+2i.

On appellerla rotation de centreΩet d"angle2π

3ethl"homothétie de centreΩet

de rapport-1 2.

1.Placer sur une figureles points A etΩ, l"image B du point A parr,l"image C du

point B parret l"image D du point A parh.

2.On noteb,cetdles affixes respectives des points B, C et D.

Le tableau ci-dessous contient une suite de 18 affirmations,dont chacune débute dans la première colonne et s"achève sur la même ligne colonne 2, colonne 3 ou colonne 4. Lecandidatdoitseprononcer sur chacunedecesaffirmations.Pour celaildoitrem- plir le tableau dela feuille annexe, en faisant figurerdans chacune des cases la men- tion VRAI ou FAUX (en toutes lettres).

1.|a-ω|24?3-i

2.arg(a-ω)-5π6

47π

6 6 3. ?-→v,--→ΩC? 3

4.ω=1

3(a+b+c)a+b+cb-2i

5.b-d a-d= ?3 2i-?3 3i ?3

3il"image deΩparl"image deΩparl"image deΩpar la

6.Le point D estla translationl"homothétie de centrela rotation de centre

de vecteur12-→AΩA et de rapport32B et d"angle-π6

EXERCICE25 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité Un commerce possède un rayon "journaux» et un rayon "souvenirs». À la fin d"une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon. On constate que la caisse du rayon "journaux » contient 3 foisplus de pièces de 1 ?que celle du rayon "souvenirs ». Les pièces ont toutes le côtépile identique, mais le côté face differe et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique. Ainsi, 40 % des pièces de 1?dans la caisse du rayon " souvenirs » et 8 % de celle du rayon "journaux» portent une facesymbolisant un pays autreque laFrance (ondira"face

étrangère»).

1.Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces

portant une face étrangère. Pour cela il prélève au hasard etavec remise 20 pièces issues delacaisse "souvenirs». Onnote Xlavariablealéatoirequiasso- cie à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face"étrangère».

Baccalauréat Sannée 2004

a.Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale; déterminer lesparamètres de cette loi. b.Calculer la probabilité qu"exactement 5 pièces parmi les 20portent une face étrangère. c.Calculer la probabilité qu"au moins 2 pièces parmi les 20 portent une face étrangère.

2.Les pièces de 1?issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans

un sac.

On prélève au hasard une pièce du sac.

On note S l"évènement "la pièce provient de la caisse souvenirs» et E l"évène- ment "la pièce porte une face étrangère». a.Déterminer P(S), PS(E); en déduire P(S∩E). b.Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est

égale à 0,16.

c.Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la proba- bilité qu"elle provienne de la caisse "souvenirs».

3.Dans la suite, la probabilité qu"une pièce choisie au hasarddans le sac porte

une face étrangère est égale à 0,16. Le collectionneur prélèvenpièces (nentier supérieur ou égal à 2) du sac au hasard et avec remise. Calculernpour que la probabilité qu"il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à 0,9.

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

On rappelle que 2003 est un nombre premier.

1. a.Déterminer deux entiers relatifsuetvtels que :

123u+2003v=1.

b.En déduire un entier relatifk0tel que :

123k0≡1 [2003].

c.Montrer que, pour tout entier relatifx,

123x≡456 [2003]si et seulement six≡456k0[2003].

d.Déterminer l"ensemble des entiers relatifsxtels que :

123x≡456 [2003].

e.Montrer qu"il existe un unique entierntel que :

1?n?2002 et 123n≡456 [2003].

2.Soitaun entier tel que : 1?a?2002.

a.Déterminer :

PGCD(a, 2003).

En déduire qu"il existe un entiermtel que :

am≡1 [2003].

France8septembre 2003

Baccalauréat Sannée 2004

b.Montrer que, pour tout entierb, il existe un unique entierxtel que :

0?x?2002 etax≡b[2003].

PROBLÈME10points

Commun à tous les candidats

PartieA : Une équationdifférentielle

On considère l"équation différentielle :

(E)y?-3y=-3e ?1+e-3x?2. On donne une fonction?dérivable surRet la fonctionfdéfinie surRparf(x)= e -3x?(x).

1.Montrer quefest dérivable surRet pour tout réelx, exprimer??(x)-3?(x)

en fonction def?(x).

2.Déterminerfde sorte que?soit solution de (E) surRet vérifie?(0)=e

2.

PartieB : Étude d"une fonction

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :

f(x)=e1-3x

1+e-3x.

On désigne parCsa courbereprésentative dansle plan muni d"un repèreortho- normal d"unité graphique 2 cm.

1.Déterminer les limites defen-∞et en+∞, puis étudier les variations def.

2.TracerC.

3.Pourαréel non nul, on poseIα=?

0 f(x)dx. a.Donner le signe et une interprétation graphique deIαen fonction deα. b.ExprimerIαen fonction deα. c.Déterminer la limite deIαlorsqueαtend vers+∞.

PartieC : Étude d"une suite

On définit surN?la suite(un)par :

u n=? 1 0 f(x)ex ndx, oùfest la fonction définie dans lapartieB.

On ne cherchera pas à calculerun.

1. a.Donner, pour toutndeN, le signe deun.

b.Donner le sens de variation de la suite(un). c.La suite(un)est-elle convergente?

2. a.Montrer que pour toutndeN

I

1?un?e1

nI1 où I

1est l"intégrale de lapartie Bobtenue pourαégal à 1.

b.En déduire la limite de la suite(un).

Donner sa valeur exacte.

France9septembre 2003

?Baccalauréat S Polynésie spécialité? septembre 2003 L"utilisation d"une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

L"espace est rapporté à un repère?

O,-→ı,-→?,-→k?

orthonormé. Soitsun nombre réel. On donne les points A (8; 0; 8), B (10; 3; 10) ainsi que la droiteDd"équations para- métriques : ?x= -5+3s y=1+2s z= -2s

1. a.Donner un système d"équations paramétriques dela droiteΔdéfinie par

A et B.

b.Démontrer queDetΔsont non coplanaires.

2. a.LeplanPestparallèleàDetcontientΔ.Montrerquelevecteur-→n(2;-2; 1)

est un vecteur normal àP. Déterminer une équation cartésienne deP. b.Montrer que la distance d"un point quelconqueMdeDàPest indé- pendante deM. c.Donner un système d"équations paramétriques de la droite définie par l"intersection dePavec le plan (xOy).

3.La sphèreSest tangente àPau point C(10; 1; 6). Le centreΩdeSse trouve

à la distanced=6 deP, du même côté que O.

Donner l"équation cartésienne deS.

EXERCICE25 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité On désigne parpun nombre entier premier supérieur ou égal à 7. Le but de l"exercice est de démontrer que l"entier natureln=p4-1 est divisible par

240, puis d"appliquer ce résultat.

1.Montrer quepest congru à-1 ou à 1 modulo 3. En déduire quenest divisible

par 3.

2.En remarquant quepest impair, prouver qu"il existe un entier naturelktel

quep2-1=4k(k+1), puis quenest divisible par 16.

3.En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne deppar 5,

quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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