[PDF] Cours de mathématiques Partie I – Les fondements MPSI 4

View - Download Cours de mathématiques Partie I – Les fondements MPSI 4

Previous PDF

Next PDF

Lycée Louis-Le-Grand, ParisAnnée 2013/2014

Cours de mathématiques

Partie I - Les fondements

MPSI 4

Alain TROESCH

Version du:

12 octobre 2013

Table des matières

1 Sommes3

I Manipulation des signes?et?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.1 Définition des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 4 I.2 Règles de manipulation des signes?et?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.3 Changements d"indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 8 I.4 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9 I.5 Sommes multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 10 I.6 Rapide introduction à la notion de série . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12

II Sommes classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12

II.1 Somme des puissances d"entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 13 II.2 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 14

III Coefficients binomiaux, formule du binôme . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 16

2 Fondements logiques19

I Logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19

I.1 Construction formelle d"une formule . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19

I.2 Véracité d"une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 20

I.3 Équivalences entre formules, tautologies . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 22 I.4 Démonstration formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 23

II Calcul des prédicats du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 24

II.1 Construction formelle d"une formule du calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . 24 II.2 Règles concernant les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 26

II.3 Valeur de vérité et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 27

III Composition d"un texte mathématique . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 28

III.1 Description générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 28

III.2 Comment construire une démonstration . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 29

IV Quelques types classiques de démonstration . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 30

IV.1 Le Modus ponens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 30

IV.2 La transitivité de l"implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 30

IV.3 Démonstration par la contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 31 IV.4 Cas particulier : démonstration par l"absurde. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 31 IV.5 Disjonction des cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 31 IV.6 Analyse-Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32 IV.7 Raisonnement par récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 32 IV.8 Récurrence d"ordrek: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2Table des matières

IV.9 Récurrence forte : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34

IV.10 Récurrences multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 34

IV.11 Principe de la descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 34

3 Ensembles, applications, relations35

I Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 35

I.1 Définition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35

I.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 37 I.3 Unions et intersections infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 40 I.4 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 40 I.5 La crise des fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 41 I.6 Tentatives d"axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 42

II L"ensembleNdes entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II.1 Axiomatique deN(hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II.2 Propriétés deN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

III Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44

III.1 Définitions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 44

III.2 Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 47

III.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III.4 Notion de cardinal. Dénombrabilité. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 53

IV Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 55

IV.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 55

IV.2 Opérations sur les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 56

IV.3 Définition de quelques propriétés sur les relations . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 57

IV.4 Relations d"équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 58 IV.5 Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 60

4 Les corpsRetC67

I Le corpsQdes rationnels et le corpsRdes réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

I.1 Idée de constuctions possibles deQet deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 I.2 Division euclidienne dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 I.3 De l"existence de nombres non rationnels . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 69 I.4 Signe et inégalités dansRetQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

I.5 Partie entière, partie décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 72

I.6 Représentation décimale et binaire d"un réel . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 72

I.7 Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 76 I.8 Intervalles et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 77

I.9 Droite achevée

R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II Le corpsCdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

II.1 Définition, forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 81

II.2 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83 II.3 Cercle trigonométrique, formules de trigonométrie . .. . . . . . . . . . . . . . . . 84 II.4 L"exponentielle complexe et applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 89 II.5 Racinesn-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 II.6 Cas des racines carrées : expression sous forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . 93 II.7 Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 94

III Ensembles de nombres étendantC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

III.1 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 97 III.2 Octonions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 97 1

Sommes

Introduction

Le but de ce chapitre introductif est de systématiser l"usage du signe?pour désigner une somme

d"éléments. Dans la mesure du possible, l"utilisation de cette notation est préférable à celle utilisant des

petits points, bien moins rigoureuse. Nous supposons connues les notions et notations suivantes : •la compréhension intuitive des ensembles de nombres usuels, et les notations standard : ?N: ensemble des entiers naturels (i.e.positifs ou nuls); ?Z: ensemble des entiers relatifs (i.e.de signe quelconque); ?Q: ensemble des nombres rationnels (i.e.pouvant s"écrire sous forme d"une fraction); ?D: ensemble des nombres décimaux (i.e.admettant une écriture finie en base décimale); ?R: ensemble de tous les nombres réels; ?C: ensemble de tous les nombres complexes; •les sous-ensembles particuliers suivants deRetC: ?R+: ensemble des réels positifs ou nuls; ?R-: ensemble des réels négatifs ou nuls; ?R?: ensemble des réels non nuls; ?R?+: ensemble des réels positifs non nuls; ?R?-: ensemble des réels négatifs non nuls; ?C?: ensemble des nombres complexes non nuls; ?N?: ensemble des entiers naturels non nuls; ?Z-: ensemble des entiers négatifs ou nuls; ?Z?: ensemble des entiers non nuls; ?de même que pourR, on peut définirQ+,Q-,Q?,Q?+,Q?-,D+,D-,D?,D?+ouD?-; on rencontre aussi parfoisZ+pour désignerN, etZ?-;

•les intervalles de réels :?poura?b, la notation[a,b]désigne l"intervalle fermé délimité par les réelsaetb, c"est-à-dire

l"ensemble des réelsxtels quea?x?b;

?poura < b, la notation]a,b]désigne l"ensemble des réelsxtels quea < x?b. On définit de manière

similaire[a,b[et]a,b[; ?+∞désigne l"infini positif,-∞désigne l"infini négatif;

?les intervalles deRpeuvent être délimités par un infini, à condition d"avoir uneborne ouverte :

[a,+∞[par exemple désigne l"intervalle des réelsxtels quea?x;

•les intervalles d"entiers : siaetbsont deux entiers tels quea?b,[[a,b]]désigne l"intervalle d"entiers

délimité paraetb, c"est-à-dire : [[a,b]] ={a,a+ 1,...,b-1,b}={n?Z|,a?n?b};

4CHAPITRE 1. SOMMES

On trouve parfois[[a,+∞[[, lorsque l"intervalle n"est pas majoré; •la notion de fonction bijective d"un ensemble fini dans un autre;

Note Historique 1.0.1

Si on comprend assez bien les notationsN,R,CetD, il n"en est pas de même deZetQ. Voici un bref apreçu

historique de ces notations : •N: notation introduite par Peano (fin 19e, de l"italienNaturale) •Z: notation introduite par Dedekind (fin 19esiècle, de l"allemandZahlen) •D: notation introduite par les programmes pédagogiques français (1970) •Q: notation introduite par Peano (de l"italienQuotiente) •R: notation introduite par Dedekind (de l"allemandReal)

•C: notation introduite par Gauss en 1831.

I Manipulation des signes

?et?

Nous rappelons qu"une famille d"éléments deEindexée sur un ensembleIest une fonctionx:I-→E,

généralement donnée en notation indicielle (on notexiau lieu dex(i)). L"objet "famille» dans sa globalité

est noté(xi)i?I, ou parfois(xi)lorsque le contexte est clair, en opposition àxi, désignant uniquement le

terme d"indicei.

Dans cette section, nous considérerons uniquement le cas defamilles finies, c"est-à-dire de familles indexées

sur un ensembleIfini.

I.1 Définition des notations

Notation 1.1.1 (signes?et?: définition générale) SoitIun ensemble fini et(ai)i?Iune famille de nombres réels ou complexes.

•L"expression?

i?Ia idésigne la somme de tous les élémentsai, pour touti?I.

•L"expression?

i?Ia idésigne le produit de tous les élémentsai, pour touti?I.

Remarques 1.1.2

1. La lettreiutilisée pour énumérer les éléments deIrésulte évidemment d"un choix arbitraire : on

peut remplacer cette lettre par toute autre lettre n"ayant pas de signification externe à la somme.

On dit queiest unevariable muette. Ainsi :

i?Ia i=? j?Ia j=?

β?Ia

En revanche,

n=?[[1,n]]a nn"a pas de sens.

2. Pour une définition rigoureuse et universelle, il faut se donner un ordre de sommation. DansRou

C, ou les autres ensembles que l"on recontrera, l"addition sera toujours commutative, et l"ordre de sommation importe peu. C"est moins vrai pour les produits(voir le produit des matrices par exemple)

3. La donnée d"un ordre de sommation est la donnée d"une numérotation des éléments deI, possible

parce queIest fini. Ainsi, siIest de cardinaln, on peut trouver une numérotation

I={i1,...,in}.

Une telle numérotation est équivalente à la donnée d"une bijection?: [[1,n]]-→I: il suffit de

poserik=?(k). Il est important de bien conserver à l"esprit que toute bijection?de[[1,n]]-→I définit la même somme.

I Manipulation des signes?et?5

Notation 1.1.3 (signes?et?sur des ensembles d"entiers consécutifs )

Dans le cas particulier oùI= [[n,p]], donc oùIest un ensemble d"entiers consécutifs, on écrit générale-

ment :

•p?

i=na iau lieu de? i?[[n,p]]a i; ainsi,p? i=na i=an+an+1+···+ap. p? i=na iau lieu de? i?[[n,p]]a i; ainsi,p? i=na i=an×an+1× ··· ×ap. On lit respectivement " somme pouriallant denàpdesai» et " produit pouriallant denàpdes a i». Lorsquem=n, la somme (ou le produit) est réduite à un seul terme : n i=na i=an.

Convention 1.1.4 (somme vide, produit vide)

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] demontage banquette arriere peugeot 2008

[PDF] demontage thermomix 3000

[PDF] demontage thermomix tm21

[PDF] démontrer droite parallèle plan

[PDF] démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n

[PDF] démontrer qu'un point est le milieu d'un segment

[PDF] démontrer qu'une fonction est croissante

[PDF] démontrer qu'une fonction est décroissante sur un intervalle

[PDF] démontrer qu'une suite est arithmético-géométrique

[PDF] démontrer que deux droites sont orthogonales produit scalaire

[PDF] démontrer que deux plans sont parallèles

[PDF] démontrer que l'affirmation l'homme descend du singe est fausse

[PDF] démontrer que les droites (ab) et (cd) sont parallèles

[PDF] démontrer suite géométrique

[PDF] démucilagination