[PDF] GEOMETRIE EN 3ème Démontrer quun point est le milieu dun

View - Download GEOMETRIE EN 3ème Démontrer quun point est le milieu dun

Previous PDF

Next PDF

COLLEGE ROLAND DORGELES 75018 PARIS

GEOMETRIE EN 3ème

Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment .......................................................................... 2

Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d'un triangle ......................................... 3

Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d'un triangle ................................................ 3

Démontrer que deux droites sont parallèles ..................................................................................... 4

Démontrer que deux droites sont perpendiculaires .......................................................................... 5

Démontrer qu'une droite est une médiane ....................................................................................... 6

Démontrer qu'une droite est une hauteur ......................................................................................... 6

Démontrer qu'une droite est une tangente d'un cercle ..................................................................... 6

Démontrer qu'une droite est une médiatrice .................................................................................... 7

Démontrer qu'une demi-droite est une bissectrice ........................................................................... 8

Démontrer qu'un triangle est isocèle ................................................................................................ 9

Démontrer qu'un triangle est équilatéral .......................................................................................... 9

Démontrer qu'un triangle est rectangle ......................................................................................... 10

Démontre qu'un quadrilatère est un parallélogramme ................................................................... 11

Démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle .............................................................................. 12

Démontrer qu'un quadrilatère est un losange ................................................................................. 13

Démontrer qu'un quadrilatère est un carré .................................................................................... 14

Démontrer que deux segments ont la même longueur ................................................................... 15

Calculer la longueur d'un segment ................................................................................................ 16

Démontrer que deux angles ont la même mesure .......................................................................... 17

Calculer la mesure d'un angle ....................................................................................................... 18

Utiliser la trigonométrie ................................................................................................................. 19

Utiliser la symétrie par rapport à une droite .................................................................................. 20

Utiliser la symétrie par rapport à un point ..................................................................................... 20

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment

Définition (6°)

Le milieu d'un segment est le point

du segment qui est équidistant de ses extrémitésI point de [AB]I est un point de [AB] et IA = IB Donc

I est le milieu de [AB]

Définition (5°)

Deux points A et B sont

symétriques par rapport à un point

O signifie que O est le milieux du

segment [AB]A et B sont symétriques par rapport au point O Donc

O est le milieu de [AB]

Définition (6°)

La médiatrice d'un segment est la

droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu (d) est la médiatrice de [AB]La droite (d) est la médiatrice du segment [AB] Donc (d) passe par le milieu de [AB]

Définition (5°)

Une médiane d'un triangle est une

droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé. (d) est la médiane issue de CLa droite (d) est la médiane issue de C du triangle ABC Donc (d) passe par le milieu de [AB]

Propriété (5°)

Si un quadrilatère est un

parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu. ABCD est un parallélogrammeLe quadrilatère ABCD est un parallélogramme Donc

Les diagonales [AC] et [BD] ont le

même milieu.

Théorème (4°)

Si une droite passe par le milieu

d'un côté d'un triangle parallèlement à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu(EF) // (BC)La droite (EF) passe par le milieu E de [AB] parallèlement à (BC) Donc

La droite (EF) passe par le milieu

de [AC]

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontrer qu'un point est le centre du cercle circonscrit d'un triangle

Propriété (5°)

Le centre du cercle circonscrit

d'un triangle est le point de concours des médiatrices du triangleLes médiatrices des segments [AB] et [BC] sont sécantes en O Donc

O est le centre du cercle

circonscrit du triangle ABC

Propriété (4°)

Si un triangle est rectangle

alors le centre de son cercle circonscrit est milieu de l'hypoténuseLe triangle ABC est rectangle en A Donc

Le centre du cercle circonscrit du

triangle ABC est le milieu O de [BC] Démontrer qu'un point est le centre du cercle inscrit d'un triangle

Propriété (4°)

Le centre du cercle inscrit

dans un triangle est le point de concours des trois bissectrices du triangleLes bissectrices issues de A et B sont sécantes en I Donc

I est le centre du cercle inscrit

dans le triangle ABC

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontrer que deux droites sont parallèles

Propriété (6°)

Si deux droites sont parallèles

à une même droite alors elles

sont parallèles (d1) // (d3) et (d2) // (d3)(d1) // (d3) et (d2) // (d3) Donc (d1) // (d2)

Propriété (6°)

Si deux droites sont

perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles(d1) ┴ (d3) et (d2) ┴ (d3) Donc (d1) // (d2)

Propriété (5°)

Si deux droites coupées par

une sécante déterminent deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèlesa et bsont alternes-interneset a = b Donc (d1) // (d2)

Propriété (5°)

Si deux droites coupées par

une sécante déterminent deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles a et bsont correspondants et a = b Donc (d1) // (d2)

Définition (5°)

Un parallélogramme est un

quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles ABCD est un parallélogrammeABCD est un parallélogramme Donc (AB) // (DC)

Propriété (4°)

Si une droites passe par les

milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côtéI est le milieu de [AB]

J est le milieu de [AC]

Donc (IJ) // (BC)

Théorème (3°)

( Réciproque de Thalès )

Si les points A,M,B sont

alignés dans cet ordre si les points A,N,C sont alignés dans cet ordre si AM AB = AN

ACalors (MN) est parallèle à (BC)AM

AB = AN

ACA, M, B sont alignés dans cet ordre

A, N, C sont alignés dans cet ordre

AM

AB=....

AN

AC=......

On constate que

AM AB = AN

ACDonc (D'après la réciproque du

théorème de Thalès) (MN) // (BC)

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontrer que deux droites sont perpendiculaires

Propriété (6°)

Si deux droites sont parallèles et

qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre. (d1) // (d2)(d1) // (d2) (d3) ┴ (d1) Donc (d3) ┴ (d2)

Définition (6°)

La médiatrice d'un segment est la

droite perpendiculaire à ce segment en son milieu (d) est la médiatrice de [AB](d) est la médiatrice de [AB] Donc (d) ┴ (AB)

Définition (5°)

Une hauteur d'un triangle est une

droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (d) est la hauteur issue de C(d) est la hauteur du triangle

ABC issue de C

Donc (d) ┴ (AB)

Propriété (6°)

Si un quadrilatère est un losange alors

ses diagonales sont perpendiculaires.ABCD est un losange Donc (AC) ┴ (BD)

Propriété (6°)

Si un quadrilatère est un cerf-volant

alors ses diagonales sont perpendiculaires.ABCD est un cerf-volant Donc (AC) ┴ (BD)

Définition (4°)

A est un point d'un cercle de centre O.

La tangente au cercle au point A est la

droite perpendiculaire au rayon [OA] au point AO est le centre de cercle(d) est la tangente au cercle de centre O au point A Donc (d) ┴ (OA)

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontrer qu'une droite est une médiane

Définition (5°)

Une médiane d'un triangle est

une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé(AI) passe par le sommet A et le milieu I de [BC] Donc (AI) est la médiane issue de A du triangle ABC

Propriété (4°)

Si un triangle est isocèle alors

la hauteur , la médiane, la bissectrice issues du sommet principal la médiatrice de la base sont confondues(d) hauteur issue de A Le triangle ABC est isocèle en A (d) est la hauteur issue de A Donc (d) est aussi la médiane issue de A

Démontrer qu'une droite est une hauteur

Définition (5°)

Une hauteur d'un triangle est

une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposéLa droite (AP) passe par A et est perpendiculaire à (BC) Donc (AP) est la hauteur issue de A

Propriété (4°)

Si un triangle est isocèle alors

la hauteur , la médiane, la bissectrice issues du sommet principal la médiatrice de la base sont confondues(d) médiane issue de A Le triangle ABC est isocèle en A (d) est la médiane issue de A Donc (d) est aussi la hauteur issue de A Démontrer qu'une droite est une tangente d'un cercle

Définition (4°)

A est un point d'un cercle de

centre O.

La tangente au cercle au point A

est la droite perpendiculaire au rayon [OA] au point A O est le centre de cercle(d) est perpendiculaire au rayon [OA] en A Donc (d) est la tangente au cercle de centre O au point A

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontrer qu'une droite est une médiatrice

Définition (6°)

La médiatrice d'un segment

est la droite perpendiculaire

à ce segment qui passe par

son milieu(d) est perpendiculaire à (AB) (d) passe par le milieu I de [AB] Donc (d) est la médiatrice de [AB]

Propriété (6°)

Si un point est équidistant de

deux extrémités d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segmentMA = MB et NA = NB Donc

M et N appartiennent à la

médiatrice de [AB] Donc (MN) est la médiatrice de [AB]

Propriété (4°)

Si un triangle est isocèle

alors la hauteur , la médiane, la bissectrice issues du sommet principal la médiatrice de la base sont confondues(d) médiane (par exemple)Le triangle ABC est isocèle en A, (d) est la hauteur issue de A Donc (d) est aussi la médiatrice de [BC]

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontrer qu'une demi-droite est une bissectrice

Définition (6°)

La bissectrice d'un angle est

la demi-droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesurexOz = zOyDonc [Oz) est la bissectrice de l'angle xOy

Propriété (4°)

Si un point situé entre les

côtés d'un angle est

équidistant des côtés de

l'angle alors il appartient à la bissectrice de cet angleLe point M est équidistant des côtés [Ox) et [Oy) Donc

M appartient à la bissectrice de

l'angle xOyDonc

OM est la bissectrice de l'angle

xOy

Propriété

Les bissectrices d'un triangle

sont concourantesLes bissectrices [BI) et [CI ) sont sécantes en I Donc [AI) est la troisième bissectrice

Propriété (4°)

Si un triangle est isocèle

alors la hauteur , la médiane, la bissectrice issues du sommet principal la médiatrice de la base sont confondues(d) médiane par exempleLe triangle ABC est isocèle en A, (d) est la médiane issue de A Donc (d) est aussi la bissectrice issue de A

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontrer qu'un triangle est isocèle

Définition (6°)

Un triangle isocèle est un

triangle qui a deux côtés de même longueurAB = AC Donc

Le triangle ABC est isocèle en A

Propriété (6°)

Si un triangle a deux angles

de même mesure alors c'est un triangle isocèleABC= ACBDonc

Le triangle ABC est isocèle en A

Démontrer qu'un triangle est équilatéral

Définition (6°)

Un triangle équilatéral est un

triangle qui a ses trois côtés de même longueurAB = AC = BC Donc

Le triangle ABC est

équilatéral.

Propriété (5°)

Si les trois angles d'un

triangle mesurent 60° alors c'est un triangle équilatéralABC=

ACB=BAC= 60°

Donc

Le triangle ABC est équilatéral

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontrer qu'un triangle est rectangle

Définition (6°)

Un triangle rectangle est un

triangle qui a un angle droitACB= 90°

ACB= 90°

Donc le triangle ABC est rectangle en C

Propriété (5°)

Si un triangle a deux angles

complémentaires alors c'est un triangle rectangle BAC+ ABC= 90 °BAC+ ABC= 90 ° Donc le triangle ABC est rectangle en C

Théorème (4°)

Si un triangle est inscrit dans un

cercle de diamètre un côté du triangle alors le triangle est rectangleLe triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] Donc le triangle ABC est rectangle en C

Théorème (4°)

Si dans un triangle une médiane

issue d'un sommet a pour longueur la moitié de la longueur du côté opposé à ce sommet alors le triangle est rectangleLa médiane CI a pour longueur la moitié de AB

IC = AB

2 Donc le triangle ABC est rectangle en C

Théorème (4°)

(Réciproque de Pythagore)

Si dans un triangle le carré d'un

côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle est rectangleAB² = AC² + BC²AB² =.....

AC² + BC² =....

On constate que

AB² = AC² + BC²

Donc (D'après la réciproque

de Pythagore)

Le triangle ABC est rectangle

en C

Collège Roland Dorgelès 75018 Paris

Démontre qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Définition (5°)

Un parallélogramme est un

quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles (AB) // (DC) et (AD) // (BC)(AB) // (DC) (AD) // (BC) Donc

ABCD est un

parallélogramme

Propriété (5°)

Si un quadrilatère a ses

diagonales de même milieu alors c'est un parallélogramme.Les diagonales [AC] et [DB] ont le même milieu O Donc

ABCD est un

parallélogramme

Propriété (5°)

Si un quadrilatère (non croisé)

a ses côtés opposés de même longueur, alors c' est un parallélogramme.AB = DC

AD = BC

Donc

ABCD est un

parallélogramme

Propriété (5°)

Si un quadrilatère (non croisé)

a deux côtés parallèles et de même longueur alors c' est un parallélogramme. (AB) // (DC)(AB) // (DC)

AB = DC

Donc

ABCD est un

parallélogrammequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] démontrer qu'une fonction est croissante

[PDF] démontrer qu'une fonction est décroissante sur un intervalle

[PDF] démontrer qu'une suite est arithmético-géométrique

[PDF] démontrer que deux droites sont orthogonales produit scalaire

[PDF] démontrer que deux plans sont parallèles

[PDF] démontrer que l'affirmation l'homme descend du singe est fausse

[PDF] démontrer que les droites (ab) et (cd) sont parallèles

[PDF] démontrer suite géométrique

[PDF] démucilagination

[PDF] denis toupry

[PDF] dénoncer les travers de la société exemple

[PDF] denrées alimentaires autorisées usa

[PDF] denrées alimentaires autorisées usa 2016

[PDF] denrées alimentaires autorisées usa 2017

[PDF] densité de l'or