Monotonie
La fonction cube x ?? x3 est strictement croissante bien que sa dérivée s'annule (en zéro). Page 4. Fonctions croissantes non strictement croissantes. Quand
VARIATIONS DUNE FONCTION
Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle. [0 ; +?[. Démonstration au programme : Vidéo https://youtu.be/1EUTIClDac4.
LES SUITES
La fonction f est donc strictement croissante sur 0;+? . On déduit que la suite (un) est aussi strictement croissante. ? Suite arithmétique.
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I. On dit que f est dérivable en x0 si la limite Mais encore faut-il montrer qu'une telle primitive existe :.
1 Principes vrais principes faux
l'ensemble sur lequel on re- cherche la variable va jusqu'à l'infini si on démontre qu'à partir d'un certain seuil la fonction est croissante
Suites 1 Convergence
Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est constante à partir d'un certain rang Montrer que la fonction f est croissante sur R+ et que f(R+) ? R+.
FONCTIONS DE REFERENCE
Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? . Soit a et b deux nombres réels
FONCTIONS DE REFERENCE
Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement croissante sur l'intervalle 4;+????? .
Limites et continuité
monotone si elle est croissante ou décroissante Il suffit de montrer séparément que les deux fonctions f(g?l ) et (f ?l)l tendent.
Corrigé du TD no 11
Montrer que cette fonction est continue sur D. Par conséquent P est strictement croissante
HAPITRE
1LES SUITES
1.1Généralités sur les suitesDénition 1.1.1
Une suite(u
n )est une fonction définie de?dans?.Onnote(u n n?-→u n ?u n est appelé le terme général de la suite(u n ?Attention donc à bien faire la différence entre(u n )(la suite) etu n (un seul terme). ?On pourra noter indifféremment(u n )ou tout simplementu. ?Variations, monotonie d"une suiteDénition 1.1.2Soit(u
n )une suite. On dit que : a)la suite(u n )estcroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 b)la suite(u n )estdécroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 c)la suite(u n )estmonotonesi elle est croissante ou décroissante; d)la suite(u n )estconstantesi pour toutn??:u n+1 =u n ?Il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes :u n =(-1) n?Les premiers termes de la suite n"entrent pas forcément en compte dans la variation d"une suite. Ils
peuvent cependant donner une indication sur la monotonie de la suite.CHAPITRE11
1 ?Méthodes de détermination du sens de variation d"une suiteMÉTHODE1. ... SENS DE VARIATION DUNE SUITE
Pour déterminer le sens de variation d"une suite(u n ), on peut utiliser l"une des règles suivantes : a)On étudie le signe de la différenceu n+1 -u n ?Siu n+1 -u n est positive, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 -u n est négative, alors la suite(u n )est décroissante. b)Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapportu n+1 u nà1.
?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est décroissante. c)Si la suite(u n )est définie explicitement :u n =f(n), alors il suffit d"étudier les variations de la fonction fsur l"intervalle0;+∞.Lasuite(u n )et la fonctionfont le même sens de variation. d)On utilise un raisonnement par récurrence (voirsection 2).Il est bien évident que chacune de ces méthodes est adaptée au type de suite à laquelle nous serons
confrontés.Exemple
Déterminer le sens de variation des suites suivantes en utilisant la règle la mieux adaptée.
a)Pour toutn??,u n =n 2 -n. b)Pour toutn?? ,u n =2 n n. c)Pour toutn?2,u n =2n-1 n+1. a)Pour toutn??, u n+1 -u n =(n+1) 2 -(n+1)-(n 2 -n)=2n?0.Par conséquent, la suite(u
n )est croissante. b)Ici on étudie le rapportu n+1 u n . Pour toutn?1 u n+1 u n =2 n+1 n+1 2 n n= 2 n+1 n+1×n2 n =2n n+1=n+nn+1?1.Ainsi, la suite(u
n )est croissante. c)On au n =f(n)oùf(x)=2x-1 x+1.Lafonctionfest dérivable sur0;+∞et pour toutx?0,2LES SUITES
2Chapitre 1
f (x)=3 (x+1) 2 >0. La fonctionfest donc strictement croissante sur0;+∞. On déduit que la suite(u n )est aussi strictement croissante. ?Suite arithmétiqueDénition 1.1.3
Une suite(u
n n?? est arithmétique s"il existe un réelrindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =u n +rLe nombrerest appelé la raison de la suite(u
nExemple 1
La suite(u
n )définie par :u 0 =2etu n+1 =u n +3(n??) est arithmétique. Ici la raison estr=3. MÉTHODE2. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUEUne suite(u
n)est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante
est alors la raison de la suite.Ainsi, si pour toutn??,u
n+1 -u n =r, alors la suite(u n )est arithmétique de raisonr.Exemple
Soit(u
n )la suite définie pour toutn??par :u n =4n-1. Montrer que(u n )est arithmétique.Pour toutn??:
u n+1 -u n =4(n+1)-1-4n+1=4.Par conséquent, la suite(u
n )est bien arithmétique de raisonr=4.Propriété 1.1.4
A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 +nr; ?si le premier terme estu p (pS=(Nombre de termes)×
1 er terme+dernier terme 2CHAPITRE13
3Les suites
?Suite géométriqueDénition 1.1.5
Une suite(u
n n?? est géométrique s"il existe un réelqindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =q.u nExemple 2
a)La suite(u n )définie par :u 0 =2etu n+1 =3u n pour toutn??.Ici la raison estq=3.
b)La suite(v n )définie par :v 0 =-3etv n+1 =v n4pour toutn??.
La suite(v
n )est-elle géométrique? MÉTHODE3. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUEPour justifier qu"une suite(u
n )est géométrique, il suffit d"utiliser la définition suivante.Une suite(u
n )est géométrique si l"on peut écrireu n+1 sous la forme :u n+1 =qu n . Le nombre réelqest alors la raison de la suite géométrique(u nExemple
Soit(u
n )la suite définie pour toutn??par :u n =3 2 n .Montrerque(u n )est géométrique. On précisera le premier terme et la raison.Pour toutn??,
u n+1 =3 2 n+1 =12×32
n =1 2u nPar conséquent, la suite(u
n )est bien géométrique de raisonq=1 2. Une autre méthode (reposant aussi sur la définition) consiste à prouver que le rapportu n+1 u n est constant, mais il faut s"assurer que les termesu n ne s"annulent pas.4LES SUITES
4Chapitre 1
Propriété 1.1.6
Si(u n )est une suite géométrique de raisonq: A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 q n ?si le premier terme estu p (pSdésigne la somme de termes consécutifs d"une suite géométrique de raisonq(q?=1), alors :
S=(1 er terme)×1-q nombre de termes 1-q1.2Le raisonnement par récurrence
?Introduction et intérêt du raisonnement par récurrenceExemple
Soit la suite(u
n )définie par : (u n ):"u 0 =0 u n+1 =2u n +1En calculant les premiers termes de la suite, on peut donc émettre une conjecture quant à la forme
du terme généralu nOn a :u
1 =1;u 2 =3;u 3 =7. Il semble que pour toutn??:u n =2 n -1. Pour confirmer une telle conjecture, il nous faut la démontrer.Pour toutn??, notons
P n la propriété : P n :u n =2 n -1. a)On démontre que P 0 est vraie; on a d"une part u 0 =0 (définition) et d"autre part 2 0 -1=0, doncu 0 =2 0 -1. La propriété estinitialisée. b)Supposons que pour un certain entiern, P n soit vraie, c"est-à-dire qu"on aitu n =2 n -1. Alors on a u n+1 =2u n +1=2(2 n -1)+1=2 n+1 -1.Ce qui veut dire tout simplement que
P n+1 est vraie. Ainsi, on vient de prouver que pour un entiern quelconque P n entraîneP n+1 .Lapropriétéesthéréditaire.Conclusion
:lapropriétéestinitialiséeethéréditaire, elle est donc vraie pour tout entiern.CHAPITRE15
5Les suites
?Le principe de récurrenceCe principe de démonstration par récurrence s"applique lorsqu"on cherche à démontrer qu"une propriétéP
n dépendant d"un entier naturelnest vraie pour tout entiern?n 0 ,n 0étant un entier naturel donné.
Principe du raisonnement par récurrence 1.2.1
On considère une propriétéP
n . Pour démontrer queP n est vraie pour tout entiern?n 0 ,onprocèdeen trois étapes : A)Initialisation: on montre que la propriété est vraie pourn=nquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] démontrer qu'une suite est arithmético-géométrique
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