[PDF] VARIABLES ALÉATOIRES - maths et tiques





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VARIABLES ALÉATOIRES

Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers ? et prenant les valeurs x1x2



Probabilités et variables aléatoires

Espérance et variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler les deux théorèmes importants : loi des grands nombre et théorème de central 



Compléments sur les variables aléatoires discrètes

est appelée loi du couple (X Y ) ou loi conjointe des variables aléatoires X et Y . La loi de X est appelée première loi marginale du couple et celle de Y est 



Simulation de variables aléatoires

On présente ici quelques méthodes de simulation de variables aléatoires de On veut simuler une variable aléatoire de loi ”Pile ou Face” i.e. X ? B(1.



Variables aléatoires finies

Les variables aléatoires sont aux probabilités ce que les fonctions sont `a l'Analyse. Définition 1 (Variable aléatoire). Soit ? un ensemble fini muni d'une loi 



Couples de variables aléatoires discrètes

toires réelles. 3. 3 Couples de variables aléatoires discrètes. 4. 3.1 Loi d'un couple de variables discrètes . . . . . 4. 3.2 Lois marginales .



Variables aléatoires à densité

Proposition 1.12 : Caractérisation de la loi d'une variable aléatoire réelle. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. X et Y ont même loi de 



VARIABLES ALÉATOIRES (Partie 2)

I. Somme de variables aléatoires. Exemple : On considère deux jeux dont les gains sont donnés : - pour le premier jeu par la variable aléatoire qui 



Variables aléatoires continues

Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R. Exemple 1. Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas 



Chapitre 2 - Variables Aléatoires

Définition 0.1 Une variable aléatoire X est une fonction de l'ensemble fondamental ? à valeurs dans R X : ? ? R. Lorsque la variable X ne prend que des 



VARIABLES ALÉATOIRES - maths et tiques

Partie 1 : Variable aléatoire et loi de probabilité 1) Variable aléatoire Exemple : Soit l'expérience aléatoire : « On lance un dé à six faces et on regarde le résultat » L'ensemble de toutes les issues possibles E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} s'appelle l'univers des possibles On considère le jeu suivant :



Théorie des Probabilités - Stanford University

1 Variables Aléatoires Lois de probabilité Espérance 3 2 Couples Aléatoires et Théorème de changement de variable 5 3 Indépendance 6 4 Convergences p s et en probabilité loi des grands nombres 8 5 Fonctions caractéristiques Transformées de Laplace 11 6 Convergence en loi T C L 16 7 Conditionnement espérance conditionnelle lois de



Chapitre 10 Variables aléatoires

Chapitre 10 – Variables aléatoires Cours II Espérance variance et écart-type Soit une variable aléatoire X définie sur l'univers ? d'une expérience aléatoire La variable aléatoire X prend les valeurs xi pour 1?i?n La loi de probabilité de X associe à chaque valeur xi la probabilité pi=P(X=xi) Définition 6



Chapitre III VARIABLES ALEATOIRES 1 Généralités sur les

La loi d’une variable aléatoire discrète peut être donnée : Soit par la liste de probabilités ; Soit par une formule générale permettant de calculer les probabilités ponctuelles Elle doit satisfaire la condition que la probabilité totale soit égale à 1 : n x p 1 1 2 2 Diagramme en bâtons fonction de répartition



Variables aléatoires - PCSI2

On appellevariable aléatoiredéfinie sur(?;P(?);P)à valeurs dans un ensembleEtouteapplication définie sur?et à valeur dansE LorsqueE=R on parle de variable aléatoireréelle Exemple 2 1 On considère l’expérience qui consiste à lancer 6 fois une pièce de monnaie équili-brée et à noter la succession des pile/face



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Variable aléatoire réelle (discrète) Dé?nition 1 Soit?l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire Dé?nir unevariable aléatoiresur? c’est associer à chaque issue de?un nombre réel Vocabulaire et notation: Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule : XYZ

Comment calculer les variables aléatoires réelles ?

    On considère deux variables aléatoires réellesXetY. On suppose que :la loi conditionnelle deYsachantX=xest la loi B(1; F(x))(oùFest unefonction donnée deRdans]0;1[). la loi conditionnelle deXsachantY=ypossède une densitéLy(x)par rapportà la mesure de Lebesgue surR. Trouver une condition de compatibilité entre les trois fonctionsL0,L1 etF.

Comment montrer que les variables aléatoires sont indépendantes ?

    Montrer que les variables aléatoiresU=X1+X2+X3 etV= (X2 (X3 X1)2sont indépendantes. Exercice 8.3On considèrenvariables aléatoiresX1; : : : ; Xn indépendantes de loi normaleN(m; 2). On pose Quelle est la loi deX? Quelle est la loi den2=2? Montrer queXetS2 sont indépendantes. Montrer quen S2=2 suit une loi du2 àn1degrés de liberté.

Comment calculer la loi de probabilité d'une variable aléatoire?

    Ce tableau résume la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers W et prenant les valeurs x1, x2,..., xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité P(X = xi).

Comment calculer une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi Expo-nentielle ?

    Exercice 4.5Soit(Xn)une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi expo-nentielle de paramètre 1. On poseMn= max1knXk. En calculantP(Mn clnn)etP(Xnclnn)et en appliquant le lemme de Borel-Cantelli, montrer queMn=lnn!1p.
VARIABLES ALÉATOIRES - maths et tiques 1

VARIABLES ALÉATOIRES

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/krbtyBDeRqQ En 1654, Blaise Pascal (1623 ; 1662) entretient avec Pierre de Fermat (1601 ;

1665) des correspondances sur le thème des jeux de hasard et d'espérance de gain

qui les mènent à exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. Ils s'intéressent à la résolution de problèmes de dénombrement comme celui du Chevalier de Méré : " Comment distribuer équitablement la mise à un jeu de hasard interrompu avant la fin ? » Partie 1 : Variable aléatoire et loi de probabilité

1) Variable aléatoire

Exemple :

Soit l'expérience aléatoire : " On lance un dé à six faces et on regarde le résultat. »

L'ensemble de toutes les issues possibles E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} s'appelle l'univers des possibles.

On considère le jeu suivant :

• Si le résultat est 5 ou 6, on gagne 2 €. • Sinon, on perd 1 €.

On peut définir ainsi une variable aléatoire sur E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} qui donne le gain et

qui peut prendre les valeurs 2 ou -1.

Pour les issues 5 et 6, on a : = 2

Pour les issues 1, 2, 3 et 4, on a : = -1.

Définition : Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue de l'univers des

possibles. Méthode : Calculer une probabilité à l'aide d'une variable aléatoire

Vidéo https://youtu.be/IBqkrg8pxQ4

Vidéo https://youtu.be/OnD_Ym95Px4

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. - Si cette carte est un coeur, on gagne 5 €. - Si cette carte est un carreau, on gagne 2 €. - Dans les autres cas, on perd 1 €. Soit la variable aléatoire qui associe le gain du jeu. 2

Correction

(=5) est la probabilité de gagner 5 €. On gagne 5 € lorsqu'on tire un coeur. Soit :

=5 8 32
1 4

(=-1) est la probabilité de perdre 1 €. On perd 1 € lorsqu'on ne tire ni un coeur, ni un

carreau. Soit : =-1 16 32
1 2 =2 =-1 1 4 1 2 3 4

2) Loi de probabilité

Définition : Soit une variable aléatoire prenant les valeurs La loi de probabilité de est donnée par toutes les probabilités (=

Remarque : Les "

» sont toutes les valeurs prises par .

Méthode : Déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoire

Vidéo https://youtu.be/awtn6gsRwfs

Vidéo https://youtu.be/2Ge_4hclPnI

On lance simultanément deux dés à 6 faces et on note les valeurs obtenues. Soit la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs.

Établir la loi de probabilité de .

Correction

La variable aléatoire peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Par exemple, si on obtient la combinaison (2 ; 5), la plus grande valeur est 5 et on a : =5. La plus grande des deux valeurs est 1, si on obtient la combinaison : (1 ; 1). =1 1 36

La plus grande des deux valeurs est 2, si on obtient les combinaisons : (1 ; 2), (2 ; 1) ou (2 ; 2).

=2 3 36
1 12 La plus grande des deux valeurs est 3, si on obtient les combinaisons : (1 ; 3), (3 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 2) ou (3 ; 3). =3 5 36
La plus grande des deux valeurs est 4, si on obtient les combinaisons : (1 ; 4), (4 ; 1) (2 ; 4), 3 (4 ; 2), (3 ; 4), (4 ; 3) ou (4 ; 4). =4 7 36
La plus grande des deux valeurs est 5, si on obtient les combinaisons : (1 ; 5), (5 ; 1) (2 ; 5), (5 ; 2), (3 ; 5), (5 ; 3), (4 ; 5), (5 ; 4) ou (5 ; 5). =5 9 36
1 4 La plus grande des deux valeurs est 6, si on obtient les combinaisons : (1 ; 6), (6 ; 1) (2 ; 6), (6 ; 2), (3 ; 6), (6 ; 3), (4 ; 6), (6 ; 4), (5 ; 6), (6 ; 5) ou (6 ; 6). =6 11 36
On peut résumer les résultats dans le tableau de la loi de probabilité de :

Remarque :

On vérifie que la somme des probabilités est égale à 1 : 1 36
1 12 5 36
7 36
1 4 11 36
=1

Partie 2 : Espérance, variance, écart-type

Définitions : Soit une variable aléatoire prenant les valeurs La loi de probabilité de associe à toute valeur la probabilité - L'espérance de est : - La variance de est : - L'écrt-type de est : Méthode : Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire

Vidéo https://youtu.be/AcWVxHgtWp4

Vidéo https://youtu.be/CbCMJXGhC4k

Vidéo https://youtu.be/elpgMDSU5t8

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.

- Si on tire un coeur, on gagne 2 €. - Si on tire un roi on gagne 5 €. - Si on tire une autre carte, on perd 1 €. est la variable aléatoire donnant le gain du jeu.

1 2 3 4 5 6

1 36
1 12 5 36
7 36
1 4 11 36
4

1) Calculer l'espérance de .

2) Donner une interprétation du résultat.

3) Calculer la variance et l'écart-type de .

Correction

1) On commence par établir la loi de probabilité de :

peut prendre les valeurs -1 €, 2 €, 5 € mais aussi 7 €. En effet, si on tire le roi de coeur, on gagne 2 € (comme un coeur) + 5 € (comme un roi). Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), =2. (=2)= Si la carte tirée est un roi (autre que le roi de coeur), =5. (=5)= Si la carte tirée est le roi de coeur, =7. (=7)= Si la carte tirée n'est ni un coeur, ni un roi, =-1. (=-1)=

La loi de probabilité de est :

-1

×2+

×5+

1 32

×7=

15 32
≈0,47

2) Si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois, on peut espérer gagner, en

moyenne, environ 0,47 € par tirage. Si l'organisateur du jeu veut espérer faire un bénéfice, il pourra demander par exemple aux joueurs une participation de 0,50 € par tirage. Il gagnera en moyenne environ 0,03 € par tirage.

3) Variance :

×A-1-

15 32
B

×A2-

15 32
B

×A5-

15 32
B 1 32

×A7-

15 32
B ≈5,1865

Écart-type :

Propriétés de linéarité (non exigible) : Soit une variable aléatoire . Soit et deux nombres réels. On a : -1 2 5 7 21
32
7 32
3 32
1 32
5

Méthode : Simplifier les calculs d'espérance et de variance à l'aide d'une variable aléatoire

de transition (non exigible)

Vidéo https://youtu.be/ljITvCBExVY

Une entreprise qui fabrique des roulements à bille fait une étude sur une gamme de billes

produites. Le diamètre théorique doit être égal à 1,3 cm mais cette mesure peut être

légèrement erronée.

L'expérience consiste à tirer au hasard une bille d'un lot de la production et à mesurer son

diamètre.

On considère la variable aléatoire qui, à une bille choisie au hasard, associe son diamètre.

La loi de probabilité de est résumée dans le tableau suivant : Calculer l'espérance et l'écart-type de la loi de probabilité de .

Correction

Pour simplifier les calculs, on définit la variable aléatoire =1000-1300.

La loi de probabilité de est alors :

Calculons l'espérance et la variance de la loi de probabilité de : =0,2× 2-0,1 +0,1× -1-0,1 +0,2× 0-0,1 +0,4× 1-0,1 +0,1× 2-0,1 =1,69 On en déduit l'espérance et la variance de la loi de probabilité de :

1000-1300

=1000 -1300

Donc :

=1,3001

Donc :

0(+) $,12

Et donc :

$,12 =0,0013 Conclusion : ()=1,3001 =0,0013 .

1,298 1,299 1,3 1,301 1,302

0,2 0,1 0,2 0,4 0,1

-2 -1 0 1 2

0,2 0,1 0,2 0,4 0,1

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