VARIABLES ALÉATOIRES
Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers ? et prenant les valeurs x1x2
Probabilités et variables aléatoires
Espérance et variance d'une variable aléatoires sont définies avant de signaler les deux théorèmes importants : loi des grands nombre et théorème de central
Compléments sur les variables aléatoires discrètes
est appelée loi du couple (X Y ) ou loi conjointe des variables aléatoires X et Y . La loi de X est appelée première loi marginale du couple et celle de Y est
Simulation de variables aléatoires
On présente ici quelques méthodes de simulation de variables aléatoires de On veut simuler une variable aléatoire de loi ”Pile ou Face” i.e. X ? B(1.
Variables aléatoires finies
Les variables aléatoires sont aux probabilités ce que les fonctions sont `a l'Analyse. Définition 1 (Variable aléatoire). Soit ? un ensemble fini muni d'une loi
Couples de variables aléatoires discrètes
toires réelles. 3. 3 Couples de variables aléatoires discrètes. 4. 3.1 Loi d'un couple de variables discrètes . . . . . 4. 3.2 Lois marginales .
Variables aléatoires à densité
Proposition 1.12 : Caractérisation de la loi d'une variable aléatoire réelle. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. X et Y ont même loi de
VARIABLES ALÉATOIRES (Partie 2)
I. Somme de variables aléatoires. Exemple : On considère deux jeux dont les gains sont donnés : - pour le premier jeu par la variable aléatoire qui
Variables aléatoires continues
Une variable aléatoire continue est une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle de R. Exemple 1. Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas
Chapitre 2 - Variables Aléatoires
Définition 0.1 Une variable aléatoire X est une fonction de l'ensemble fondamental ? à valeurs dans R X : ? ? R. Lorsque la variable X ne prend que des
VARIABLES ALÉATOIRES - maths et tiques
Partie 1 : Variable aléatoire et loi de probabilité 1) Variable aléatoire Exemple : Soit l'expérience aléatoire : « On lance un dé à six faces et on regarde le résultat » L'ensemble de toutes les issues possibles E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} s'appelle l'univers des possibles On considère le jeu suivant :
Théorie des Probabilités - Stanford University
1 Variables Aléatoires Lois de probabilité Espérance 3 2 Couples Aléatoires et Théorème de changement de variable 5 3 Indépendance 6 4 Convergences p s et en probabilité loi des grands nombres 8 5 Fonctions caractéristiques Transformées de Laplace 11 6 Convergence en loi T C L 16 7 Conditionnement espérance conditionnelle lois de
Chapitre 10 Variables aléatoires
Chapitre 10 – Variables aléatoires Cours II Espérance variance et écart-type Soit une variable aléatoire X définie sur l'univers ? d'une expérience aléatoire La variable aléatoire X prend les valeurs xi pour 1?i?n La loi de probabilité de X associe à chaque valeur xi la probabilité pi=P(X=xi) Définition 6
Chapitre III VARIABLES ALEATOIRES 1 Généralités sur les
La loi d’une variable aléatoire discrète peut être donnée : Soit par la liste de probabilités ; Soit par une formule générale permettant de calculer les probabilités ponctuelles Elle doit satisfaire la condition que la probabilité totale soit égale à 1 : n x p 1 1 2 2 Diagramme en bâtons fonction de répartition
Variables aléatoires - PCSI2
On appellevariable aléatoiredéfinie sur(?;P(?);P)à valeurs dans un ensembleEtouteapplication définie sur?et à valeur dansE LorsqueE=R on parle de variable aléatoireréelle Exemple 2 1 On considère l’expérience qui consiste à lancer 6 fois une pièce de monnaie équili-brée et à noter la succession des pile/face
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Variable aléatoire réelle (discrète) Dé?nition 1 Soit?l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire Dé?nir unevariable aléatoiresur? c’est associer à chaque issue de?un nombre réel Vocabulaire et notation: Une variable aléatoire est généralement notée par une lettre majuscule : XYZ
Comment calculer les variables aléatoires réelles ?
- On considère deux variables aléatoires réellesXetY. On suppose que :la loi conditionnelle deYsachantX=xest la loi B(1; F(x))(oùFest unefonction donnée deRdans]0;1[). la loi conditionnelle deXsachantY=ypossède une densitéLy(x)par rapportà la mesure de Lebesgue surR. Trouver une condition de compatibilité entre les trois fonctionsL0,L1 etF.
Comment montrer que les variables aléatoires sont indépendantes ?
- Montrer que les variables aléatoiresU=X1+X2+X3 etV= (X2 (X3 X1)2sont indépendantes. Exercice 8.3On considèrenvariables aléatoiresX1; : : : ; Xn indépendantes de loi normaleN(m; 2). On pose Quelle est la loi deX? Quelle est la loi den2=2? Montrer queXetS2 sont indépendantes. Montrer quen S2=2 suit une loi du2 àn1degrés de liberté.
Comment calculer la loi de probabilité d'une variable aléatoire?
- Ce tableau résume la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers W et prenant les valeurs x1, x2,..., xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité P(X = xi).
Comment calculer une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi Expo-nentielle ?
- Exercice 4.5Soit(Xn)une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi expo-nentielle de paramètre 1. On poseMn= max1knXk. En calculantP(Mn clnn)etP(Xnclnn)et en appliquant le lemme de Borel-Cantelli, montrer queMn=lnn!1p.
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VARIABLES ALÉATOIRES
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/krbtyBDeRqQ En 1654, Blaise Pascal (1623 ; 1662) entretient avec Pierre de Fermat (1601 ;1665) des correspondances sur le thème des jeux de hasard et d'espérance de gain
qui les mènent à exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. Ils s'intéressent à la résolution de problèmes de dénombrement comme celui du Chevalier de Méré : " Comment distribuer équitablement la mise à un jeu de hasard interrompu avant la fin ? » Partie 1 : Variable aléatoire et loi de probabilité1) Variable aléatoire
Exemple :
Soit l'expérience aléatoire : " On lance un dé à six faces et on regarde le résultat. »
L'ensemble de toutes les issues possibles E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} s'appelle l'univers des possibles.On considère le jeu suivant :
• Si le résultat est 5 ou 6, on gagne 2 €. • Sinon, on perd 1 €.On peut définir ainsi une variable aléatoire sur E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} qui donne le gain et
qui peut prendre les valeurs 2 ou -1.Pour les issues 5 et 6, on a : = 2
Pour les issues 1, 2, 3 et 4, on a : = -1.
Définition : Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue de l'univers des
possibles. Méthode : Calculer une probabilité à l'aide d'une variable aléatoireVidéo https://youtu.be/IBqkrg8pxQ4
Vidéo https://youtu.be/OnD_Ym95Px4
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. - Si cette carte est un coeur, on gagne 5 €. - Si cette carte est un carreau, on gagne 2 €. - Dans les autres cas, on perd 1 €. Soit la variable aléatoire qui associe le gain du jeu. 2Correction
(=5) est la probabilité de gagner 5 €. On gagne 5 € lorsqu'on tire un coeur. Soit :
=5 8 321 4
(=-1) est la probabilité de perdre 1 €. On perd 1 € lorsqu'on ne tire ni un coeur, ni un
carreau. Soit : =-1 16 321 2 =2 =-1 1 4 1 2 3 4
2) Loi de probabilité
Définition : Soit une variable aléatoire prenant les valeurs La loi de probabilité de est donnée par toutes les probabilités (=Remarque : Les "
» sont toutes les valeurs prises par .
Méthode : Déterminer une loi de probabilité d'une variable aléatoireVidéo https://youtu.be/awtn6gsRwfs
Vidéo https://youtu.be/2Ge_4hclPnI
On lance simultanément deux dés à 6 faces et on note les valeurs obtenues. Soit la variable aléatoire égale à la plus grande des deux valeurs.Établir la loi de probabilité de .
Correction
La variable aléatoire peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Par exemple, si on obtient la combinaison (2 ; 5), la plus grande valeur est 5 et on a : =5. La plus grande des deux valeurs est 1, si on obtient la combinaison : (1 ; 1). =1 1 36La plus grande des deux valeurs est 2, si on obtient les combinaisons : (1 ; 2), (2 ; 1) ou (2 ; 2).
=2 3 361 12 La plus grande des deux valeurs est 3, si on obtient les combinaisons : (1 ; 3), (3 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 2) ou (3 ; 3). =3 5 36
La plus grande des deux valeurs est 4, si on obtient les combinaisons : (1 ; 4), (4 ; 1) (2 ; 4), 3 (4 ; 2), (3 ; 4), (4 ; 3) ou (4 ; 4). =4 7 36
La plus grande des deux valeurs est 5, si on obtient les combinaisons : (1 ; 5), (5 ; 1) (2 ; 5), (5 ; 2), (3 ; 5), (5 ; 3), (4 ; 5), (5 ; 4) ou (5 ; 5). =5 9 36
1 4 La plus grande des deux valeurs est 6, si on obtient les combinaisons : (1 ; 6), (6 ; 1) (2 ; 6), (6 ; 2), (3 ; 6), (6 ; 3), (4 ; 6), (6 ; 4), (5 ; 6), (6 ; 5) ou (6 ; 6). =6 11 36
On peut résumer les résultats dans le tableau de la loi de probabilité de :
Remarque :
On vérifie que la somme des probabilités est égale à 1 : 1 361 12 5 36
7 36
1 4 11 36
=1
Partie 2 : Espérance, variance, écart-type
Définitions : Soit une variable aléatoire prenant les valeurs La loi de probabilité de associe à toute valeur la probabilité - L'espérance de est : - La variance de est : - L'écrt-type de est : Méthode : Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoireVidéo https://youtu.be/AcWVxHgtWp4
Vidéo https://youtu.be/CbCMJXGhC4k
Vidéo https://youtu.be/elpgMDSU5t8
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
- Si on tire un coeur, on gagne 2 €. - Si on tire un roi on gagne 5 €. - Si on tire une autre carte, on perd 1 €. est la variable aléatoire donnant le gain du jeu.1 2 3 4 5 6
1 361 12 5 36
7 36
1 4 11 36
4
1) Calculer l'espérance de .
2) Donner une interprétation du résultat.
3) Calculer la variance et l'écart-type de .
Correction
1) On commence par établir la loi de probabilité de :
peut prendre les valeurs -1 €, 2 €, 5 € mais aussi 7 €. En effet, si on tire le roi de coeur, on gagne 2 € (comme un coeur) + 5 € (comme un roi). Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), =2. (=2)= Si la carte tirée est un roi (autre que le roi de coeur), =5. (=5)= Si la carte tirée est le roi de coeur, =7. (=7)= Si la carte tirée n'est ni un coeur, ni un roi, =-1. (=-1)=La loi de probabilité de est :
-1×2+
×5+
1 32×7=
15 32≈0,47
2) Si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois, on peut espérer gagner, en
moyenne, environ 0,47 € par tirage. Si l'organisateur du jeu veut espérer faire un bénéfice, il pourra demander par exemple aux joueurs une participation de 0,50 € par tirage. Il gagnera en moyenne environ 0,03 € par tirage.3) Variance :
×A-1-
15 32B
×A2-
15 32B
×A5-
15 32B 1 32
×A7-
15 32B ≈5,1865
Écart-type :
Propriétés de linéarité (non exigible) : Soit une variable aléatoire . Soit et deux nombres réels. On a : -1 2 5 7 2132
7 32
3 32
1 32
5
Méthode : Simplifier les calculs d'espérance et de variance à l'aide d'une variable aléatoire
de transition (non exigible)Vidéo https://youtu.be/ljITvCBExVY
Une entreprise qui fabrique des roulements à bille fait une étude sur une gamme de billesproduites. Le diamètre théorique doit être égal à 1,3 cm mais cette mesure peut être
légèrement erronée.L'expérience consiste à tirer au hasard une bille d'un lot de la production et à mesurer son
diamètre.On considère la variable aléatoire qui, à une bille choisie au hasard, associe son diamètre.
La loi de probabilité de est résumée dans le tableau suivant : Calculer l'espérance et l'écart-type de la loi de probabilité de .Correction
Pour simplifier les calculs, on définit la variable aléatoire =1000-1300.La loi de probabilité de est alors :
Calculons l'espérance et la variance de la loi de probabilité de : =0,2× 2-0,1 +0,1× -1-0,1 +0,2× 0-0,1 +0,4× 1-0,1 +0,1× 2-0,1 =1,69 On en déduit l'espérance et la variance de la loi de probabilité de :1000-1300
=1000 -1300Donc :
=1,3001Donc :
0(+) $,12Et donc :
$,12 =0,0013 Conclusion : ()=1,3001 =0,0013 .1,298 1,299 1,3 1,301 1,302
0,2 0,1 0,2 0,4 0,1
-2 -1 0 1 20,2 0,1 0,2 0,4 0,1
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