[PDF] LM 256 - Exercices corrigés - Feuille 2

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LM 256 - Exercices corrigés

Feuille 2

Exercice 1.1. Pour parvenir à l"identité demandée, on fait le calcul dea?(b?c)(selon la " règle du gamma » comme je l"ai expliqué en TD) : (a 1 a 2 a 3) (b 1 b 2 b 3) (c 1 c 2 c 3) (a 1 a 2 a 3) (b

2c3-b3c2

b

3c1-b1c3

b

1c2-b2c1)

(a

2b1c2-a2b2c1-a3b3c1+a3b1c3

a

3b2c3-a3b3c2-a1b1c2+a1b2c1

a

1b3c1-a1b1c3-a2b2c3+a2b3c2)

(et les calculs sont considérablement réduits si l"on remarque que dans tous les cas, pour

passer d"une ligne à la suivante il suffit de permuter les indices dans le sens1→2→3→

1). On remarque alors qu"en ajoutant et en retranchanta1b1c1à la première ligne du

résultat, on peut écrire celle-cib1(a·c)-c1(a·b). De même, la deuxième et la troisième

lignes s"écrivent respectivementb2(a·c)-c2(a·b)etb3(a·c)-c3(a·b). Autrement dit, on a exactement les composantes du vecteur(a·c)b-(a·b)c, ce qu"il fallait démontrer. Pour la non-associativité de?, on a en utilisant cette formule pour tousa,b,c: a?(b?c)-(a?b)?c=a?(b?c) +c?(a?b)(d"après l"anti-commutativité de?, u?v=-v?u), ce qui vaut donc(a·c)b-(a·b)c+(c·b)a-(c·a)b= (a·b)c+(c·b)a. Or pour prouver que?n"est pas associatif, on veut trouvera,betctels que cette différence soit non-nulle; un rapide examen nous incite à prendrea=b, par exemplet(1,0,0), etc orthogonal àaetb, par exemplet(0,1,0). On obtient alorsa?(b?c)-(a?b)?c=c?= 0, et l"on en déduit que?n"est pas associatif. On prendra donc garde à ne pas écrire de choses du genrea?b?c, qui n"auraient pas un sens précis.

2. On peut pour cette question calculer le déterminant3×3 det[a,b,c]selon la règle de

Sarrus, mais il y a plus rapide; si en effet on utilise le développement par rapport à la 1 2 première colonne, on a : det[a,b,c] =? ??????a 1b1c1 a 2b2c2 a

3b3c3?

??????=a1? ????b 2c2 b 3c3? ????-a2? ????b 1c1 b 3c3? ????+a3? ????b 1c1 b 2c2? =a1? ????b 2c2 b 3c3? ????+a2? ????b 3c3 b 1c1? ????+a3? ????b 1c1 b 2c2? en permutant les deux lignes du second déterminant2×2. Or on remarque que le premier de ces déterminants,? ????b 2c2 b 3c3? ????, n"est autre que la première composante deb?c=b2c3- b

3c2; de même, le second est la seconde composante deb?cet le troisième est la troisième

de ces composantes. Autrement dit,det[a,b,c] =a1·(b?c)1+a2·(b?c)2+a3·(b?c)3, ce qui est bien égal àa·(b?c), quantité que l"on appelleproduit mixte dea,betc. Pour obtenir la seconde égalité,det[a,b,c] = (a?b)·c, il suffit de permuter les colonnes aetc(et multiplier par-1) dansdet[a,b,c]- ou tout simplement dévelloper par rapport à la colonne de droite - et l"on a donca·(b?c) = det[a,b,c] =-det[c,b,a] =

-c·(b?a) =c·(a?b) = (a?b)·c. Cette formule nous dit donc, étant donnés trois vecteurs,

comment échanger produit scalaire et produit vectoriel (sans oublier le re-parenthésage). En somme, il suffit de garder l"ordre d"écriturea,b,c, et d"écrire les produits dans un ordre tel que l"expression obtenue ait un sens (produit vectoriel, puis produit scalaire).

3. La première question nous disait que pour tousu,v,w, on avaitu?(v?w) =

(u·w)v-(u·v)w. En posant iciu=a?b,v=cetw=d, on a :(a?b)?(c?d) =?(a?b)·d?c-?(a?b)·c?d. Apparaissent donc deux produits mixtes?celui de(a,b,d)et celui

de(a,b,c)?, et en échangeant produit scalaire et produit vectoriel comme nous l"enseigne la question 2., il vient(a?b)?(c?d) =?a·(b?d)?c-?a·(b?c)?d, ce qui est la première forme du résultat à démontrer. Pour la seconde, on part de(a?b)?(c?d) =-(c?d)?(a?b), et l"on procède de même. Exercice 2.1. Une des propriétés fondamentales du produit vectoriel de deux vecteurs est d"être orthogonal à ces deux vecteurs. Le plan passant par les pointsP,QetR

étant engendré par les vecteurs--→PQet-→PR?ou bien--→PQet--→QR, ou encore-→PRet--→QR?,

leur produit vectoriel sera bien perpendiculaire à ce plan. Or, un calcul direct donne

PQ?-→PR= 5(

(-8 3 -3)

2. Si l"on noteSle pointR+--→PQ(c"est-à-dire le point obtenu en traçant--→PQpartant

deR), on a que l"aire du parallélogrammePQSR(attention à l"ordre des lettres) est le double de celle du trianglePQR. Or l"aire de ce parallélogramme est aussi (c"est une

autre propriété du produit vectoriel) égale à la norme???--→PQ?-→PR???, soit5?(-8)2+ 32+

(-32)?1/2= 5⎷82. L"aire du triangle est donc de52 ⎷82.

3. Supposons, comme c"est le cas ici, que les trois vecteurs sont linéairement indépen-

dants (sans quoi la question est réglée). Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si 3 leur déterminant est nul; or d"après l"exercice 1, le déterminant d"un triplet de vecteurs est égal à leur produit mixte, et donc trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul. Une autre manière de l"expliquer est la suivante : le premier vecteur est dans le plan qu"engendrent les deux derniers si et seulement s"il est ortho- gonal à tout ce qui est orthogonal à ce plan, c"est-à-dire à ces deux derniers vecteurs; or cet orthogonal est de dimension1(car on est dans l"espace à trois dimensions, et cet orthogonal est un supplémentaire du plan en question), et est donc engendré par le produit vectoriel des deux derniers vecteurs. Le premier vecteur est donc dans le plan qu"engendrent les deux derniers si et seulement s"il est orthogonal à leur produit vecto- riel,i.e.si et seulement si son produit scalaire avec le produit vectoriel des deux autres est nul, ou encore si et seulement si le produit mixte des trois est nul.

Cela dit, le calcul donne?a??b=(

(9 -18 -9) ), puis? ?a??b?

·c= 0+(-18)·(-9)+(-9)·18 = 0.

4. L"aire du parallélépipède construit sur les vecteurs?a,?bet?c(qui est une figure

géométrique de dimension3) est simplement la somme des aires des parallélogrammes que sont ses faces. Ces parallélogrammes (au nombre de 6, comme pour le cube qui est un parallélépipède particulier) sont engendrés deux à deux par?aet?b,?bet?cet?aet ?c. Leur aire est donc respectivement????a??b???,????b??c???et??a??c?. Or?a??b=( (-18 20 3) b??c=( (-22 -76 -28) ), et?a??c=( (30 42
-5) ), de normes carrées respectives733,2712 = 4·(678)et

2689. L"aire recherchée est donc2?⎷733 +

⎷2712 + ⎷2689 , ce qui vaut environ262.

5. On refait la même chose;

--→PQ?-→PR=t(-6,0,3)?de norme3⎷5 ?,-→PR?-→PS= t(12,3,-6)?de norme3⎷21 ?et--→PQ?-→PS=t(7,7,0)?de norme7⎷2 ?. L"aire recherchée est donc2?

3⎷5 + 3

⎷21 + 7 ⎷2 , ce qui vaut dans les60,7. Exercice 3.Si je trouve comment utiliser les logiciels de calcul formel que j"ai sous la main, je vous mettrai les dessins avec un petit commentaire... Exercice 4.Tous les champs de vecteurs et fonctions de cet exercice étantC∞dans l"espace entier, on ne se posera plus la question de leur dérivabilité.

1. On applique la définition formelle de la divergence,div?u=?? ·?u, à?r=t(x,y,z),

et l"on trouvediv?r=∂x∂x +∂y∂y +∂z∂z = 3. De même pour le rotationnel,-→rot?r=?? ??r=( (∂∂x ∂∂y ∂∂z (x y z) (∂z∂y -∂y∂z ∂x∂z -∂z∂x ∂y∂x -∂x∂y )=0.

2. On trouve icidiv?u=y+z+x, et-→rot?u=-t(y,z,x).

3. En un pointMde coordonnées(x,y,z), on adiv?w= 2xy-6y2x2+xy2, ce qui

4 en(1,-1,1)donne-7.

4. En un pointMde coordonnées(x,y,z), on a--→gradf=t(6xy,3x2-3y2z2,-2zy3),

ce qui lorsqueM= (1,-2,-1)donnet(-12,-9,16). Exercice 5.Je rappelle qu"une matrice est dite symétrique si par définition deux de ses coefficients qui sont symétriques par rapport à la diagonale principale (celle qui va du haut à gauche au bas à droite) sont égaux. Un simple calcul donne -→rot?u=( (h-f c-g d-b) donc?uest irrationnelssison rotationnel est nul, soitssih=f,c=getb=d, ce qui équivaut encore à dire queAest symétrique. Supposons que ce soit le cas; le cours nous dit alors, puisque l"on travaille sur l"espace

tout entier qui est " sans trou », que?us"écrit--→gradfpour une fonction (régulière)f:

R

3→R. Ceci nous donne les trois équations∂f∂x

=ax+by+cz,∂f∂y =bx+ey+fz et ∂f∂z =cx+fy+iz. Résoudre la première comme on le ferait en une variable nous donnerait à une constante près(x,y,z)?→a2 x2+bxy+cxz. Ici, il faut être un peu plus prudent et voir que : ∂∂x ?f-(a2 x2+bxy+cxz)?=∂f∂x -(ax+by+cz) = 0.

Ainsi,f-(a2

x2+bxy+cxz)ne dépend pas dex, et s"écrit sous la formeg(y,z)pour une fonction (régulière) de deux variablesg. On récrit ceci sous la forme :f(x,y,z) = a2 x2+bxy+cxz+g(y,z)pour tout(x,y,z)?R3, et il s"agit de déterminergen utilisant les deux équations qu"il nous reste. Dérivons la dernière relation par rapport ày; il vient :∂f∂y =bx+∂g∂y

En comparant cette équation à l"équation

∂f∂y =bx+ey+fz, on obtient∂g∂y =ey+fz, qui comme on doit s"y attendre ne dépend pas dex. Cette équation se résout en disant qu"il existe une fonctionhdeztelle queg(y,z) =e2 y2+fzy+h(z)(l"intégration naïve donne e2 y2+fzy, et la dérivée partielle deg-(e2 y2+fzy)par rapport àyest nulle; comme en outreg-(e2 y2+fzy)ne dépend pas dex, on a bien notre fonctionhdez).

En résumé, on af(x,y,z) =a2

x2+bxy+cxz+e2 y2+fzy+h(z)pour tout(x,y,z)?R3. Il ne nous reste plus qu"à dériver par rapport àzpour obtenir∂f∂z =cx+fy+h?(z), ce qui comparé à ∂f∂z =cx+fy+izdonneh?(z) =izpour toutz, soith(z) =i2 z2+k, et f(x,y,z) =a2 x2+bxy+cxz+e2 y2+fzy+i2 z2+kpour tout(x,y,z)?R3,kétant une constante réelle arbitraire. Exercice 6.1. Il suffit d"appliquer la définition du gradient et de se souvenir que la

règle pour la dérivée partielle d"un produit est la même que pour la dérivation à une

5 variable (règle de Leibniz) : gradfg=( ((∂(fg)∂x ∂(fg)∂y ∂(fg)∂z (∂f∂x g+f∂g∂x ∂f∂y g+f∂g∂y ∂f∂z g+f∂g∂z )=?--→gradf?g+f?--→gradg?. On peut donc retenir que pour l"opérateur gradient, on a aussi une règle de Leibniz, car on fait agir l"opérateur sur un produit en sommant d"une part ce qu"on obtient en ne le faisant agir que sur l"un des facteurs?(--→gradf)g?et d"autre part en ne le faisant agir que sur l"autre facteur?f(--→gradg)?.

2. Ici aussi il suffit d"appliquer la définition pour parvenir rapidement au résultat :

div(f?u) =( (∂∂x ∂∂y ∂∂z (fu 1 fu 2 fu 3) )=∂(fu1)∂x +∂(fu2)∂y +∂(fu3)∂z ?∂f∂x u1+∂f∂y u2+∂f∂z u3? +f?∂u1∂x +∂u2∂y +∂u3∂z et l"on reconnaît dans le premier terme le produit scalaire --→gradf·?u, tandis que le second terme vaut clairementfdiv(?u).

3. C"est le plus difficile. Pour commencer, on calcule?u??v=(

(u

2v3-u3v2

u

3v1-u1v3

u

1v2-u2v1)

). Ensuite, on applique la définition de la divergence pour voir que : dv(?u??v) =∂(u2v3-u3v2)∂x + (termes obtenus par permutations1→2→3→1 etx→y→z→x) ∂u2∂x v3+u2∂v3∂x -∂u3∂x v2-u3∂v2∂x ∂u3∂y v1+u3∂v1∂y -∂u1∂y v3-u1∂v3∂y ∂u1∂z v2+u1∂v2∂z -∂u2∂z v1-u2∂v1∂z =u1?∂v2∂z -∂v3∂y +u2?∂v3∂x -∂v1∂z +u3?∂v1∂y -∂v2∂x -v1?∂u2∂z -∂u3∂y -v2?∂u3∂x -∂u1∂z -v3?∂u1∂y -∂u2∂x ce qui n"est rien d"autre que la différence ?-→rot?u·?v--→rot?v·?u?.

4. Celui-ci est plus facile; il suffit d"écrire ce que l"on a avec la définition et ensuite

de reconnaître la formule que l"on nous demande de démontrer. 6 Exercice 7.La fonctionr, qui indique la distance d"un point à l"origine, est définie et continue dans le plan ou l"espace tout entiers (selon que l"on travaille en dimension 2 ou

3), mais dérivable (et en réalitéC∞) en dehors de l"origine seulement. Ceci provient du

fait quer=⎷r

2, avec certesr2=x2+y2+z2(our2=x2+y2en dimension 2), avec

certesr2lisse y compris autour de l"origine, mais s"annulant en ce point; il en résulte la singularité évoquée,⎷n"étant pas dérivable en0. Cela dit, passons à l"exercice proprement dit. On le fait en dimension 3, les résultats étant analogues en dimension 2. Commençons par le cas der2; on a grad(r2) =( ((∂(x2+y2+z2)∂x ∂(x2+y2+z2)∂y ∂(x2+y2+z2)∂z (2x 2y 2z) )= 2?r. D"après l"exercice 6, en dehors de l"origine, on a --→grad(r2) = 2r--→grad(r), d"où--→grad(r) = ?rr . De même (ou plutôt par dérivation des fonctions composées, voir exercice 13), toujours surR3\{0},--→grad?lnr?=1r --→grad(r) =?rr

2et pour toutk?R,--→grad(rk) =krk-1--→grad(r) =

kr k-2?r(ce qui est encore valable en 0 sik≥2), et en particulier--→grad?1r ?=-?rr 3. Exercice 8.1. Le champ de vecteurs?ua pour composantesx/r2,y/r2etz/r2et est donc un champC∞sur l"ouvertR3- {(0,0,0)}. La première composante de-→rot?uvaut donc ∂(z/r2)∂y -∂(y/r2)∂z =-2r 3? z∂r∂y -y∂r∂z . Or,∂r∂t =tr pourt=x,y,z, et donc la première composante de -→rot?uest nulle. Par isotropie, les deux autres le sont aussi. Le cours (Théorème 3.2.8) nous dit alors que?upeut s"écrire comme le gradient d"une fonctionC∞surR3-{0}(qui est troué en l"origine, mais néanmoins simplement connexe, condition disant que l"on peut ramener continûment tout lacet à un seul point sans sortir du domaine); si l"on notefcette fonction, on a donc--→gradf=?u, ce qui se traduit par les trois équations : ∂f∂x =xr

2,∂f∂y

=yr

2et∂f∂z

=zr

2. La fonction12

log(x2+y2+z2) = logr

étant une primitive par rapport àxdexr

2, la première de ces équations nous donne :

f(x,y,z) = logr+g(y,z), avecgune fonction lisse deyetzsur le domaine. La méthode usuelle voudrait que l"on redérive cette ligne par rapport àypuis par rapport àzpour déterminerg; nous aurons l"occasion de le faire dans le 2., car on remarque ici (toujours par isotropie) quelogrest aussi une primitive respectivement par rapport àyetzde yr 2etzr

2, et l"on en déduit immédiatement que la fonction recherchée est de la forme

logr+c,c?R.

2. La première composante de-→rot?uvaut∂(2y3z+4z3)∂y

-∂(x2+3y2z2)∂z = 6y2z-6y2z= 0, la deuxième ∂(2xy)∂z -∂(2y3z+4z3)∂x = 0et la troisième∂(x2+3y2z2)∂x -∂(2xy)∂y = 2x-2x= 0, et-→rot?uest bien nul. Soit doncfune fonction (lisse) sur l"espace entier telle que--→gradf=?u,i.e.∂f∂x = 2xy, ∂f∂y =x2+ 3y2z2et∂f∂z = 2y3z+ 4z3. En intégrant (par rapport àx) la première égalité il vientf(x,y,z) =x2y+g(y,z),glisse surR2- comme je l"ai expliqué pendant le TD, cela vient de ce qu"une fois que l"on ax2ycomme primitive par rapport àxde2xy, 7 ∂∂x (f-x2y) = 2xy-2xy= 0, soit :f-x2y, qui est lisse, ne dépend pas dex, et s"écrit doncg(y,z). La méthode consiste alors à dériverf(x,y,z) =x2y+g(y,z)par rapport ày; on obtient ∂f∂y =x2+∂g∂y . Or, la seconde de nos trois équations de départ était :∂f∂y =x2+

3y2z2; en comparant ces deux égalités il vient∂g∂y

= 3y2z2, soitg(y,z) =y3z2+h(z), où hest lisse surR, et apparaît pour la même raison quegci-dessus. On a doncf(x,y,z) = x

2y+y3z2+h(z), ce que l"on dérive par rapport àzet qui nous donne∂f∂z

= 2y3z+dhdz or, ∂f∂z = 2y3z+ 4z3, doncdhdz = 4z3, soith(z) =z4+cavecc?R. En conclusion,fest de la formef(x,y,z) =x2y+y3z2+z4+c.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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