[PDF] 2.3 Dérivabilité en plusieurs variables

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222.3.D ´erivabilit ´eenplusieursvariables

2.3D´eriv abilit´eenplusieursvariables

Lad´e riv´eed'unefonction,lorsqu' elleexiste,estl i´eeauxvariationsde lafonc tiontandisquel'undesesva riablesparcourt unedirec tion.Pour fonctionsd'unevariabler´eel lelaseuledirec tionpossible`aparcour irest l'axede sabscisse s.Forfonctionsdeplusieursvariableslasituationest tr`esdi

´erente.L'espaceR

n poss`edeuneinfinit´ede direction s.Ilpeut s'av´ererint´eressantd'´et udiercommentunefonction´evoluelorsque ses variables´evoluentlelong d'unedirectiondonn´ee.Pourc ettera ison onintro duitlanotionded´eriv´ eedirectionnelle(d ´eriv´ eed'unefonction parrapport `aunedirection quelconque).Sila direc tionchoisiestl'un desaxesdere ference, onparlede d´eriv´eepartielledelafonctionpar rapport`al'unde sesvariables . tiond´ efiniesurunouvertDdeR n etsoitx 0

2D.Soitvunvecteur de

R n denorme unitaire.Onpose v (t)=f(x 0 +tv).On ditquefadmet d´eriv´eedansladirectionvaupoint x 0 si v (t)estderivable en0eton pose: D v f(x 0 )=0 v (0)=lim t!0 f(x 0 +tv)f(x 0 t

Exemple8Onconsider elafonctionf:R

2 7!R f(x,y)=e x y Onveutc alculerlad ´eriv´eedir ectionnelle delafonctionflelongla directionv=( 3 5 4 5 )aupoint (2,0). D v f(2,0)=lim t!0 f(2+ 3 5 t), 4 5 t t =lim t!0 4 5 e 2+ 3 5 t t t 4 5 e 2 fonctiond´ efiniesurunouvertDdeR n etsoitx 0

2D.Ondit que

fadmetd ´eriv´eepartielleaupointx 0 parrapport `asavariablex i (i=

Chapter2:Fonctionsdep lusie ursvariables23

1,···,n)silalimite

lim h!0 f(x 1 ,···,x i1 ,x i +h,x i+1 ,···,x n )f(x 1 ,···,x i1 ,x i ,x i+1 ,···,x n h existeetest finie.Cettelimite estnot´ eef x i 0(x 0 )ou f x i ou@ x i f(x 0 Remarque6Ils'agitdelimitesd'une fonctionr´ eellede variabler ´eel le! Enpratique,pour calculerlad´er iv´eepartiel ledefparrapport `asa variablex i ong` eletouteslesvariablesx j pourj6=ietond ´er ivef commeunefonctiondela seulevariable x i

Exemple9Onconsider elafonctionf:R

2 7!R f(x,y)=3x 2 +4xy+7y 2 Lad´eriv ´eepartielledefparrapport `axestdonn´ epar: x f(x,y)=6x+4y. Lad´er iv´eepartielledefparrapport `ayestdonn´ epar: y f(x,y)=4x+14y.

Exemple10Onconsider elafonctionf:R

3 7!R f(x,y,z)=5xzln(1+7 y) Lad´er iv´eepartielledefparrapport `axestdonn´ epar: x f(x,y,z)=5zln(1+7 y). Lad´eriv ´eepartielledefparrappor t`ayestdonn´ epar: y f(x,y,z)= 35xz
7y Lad´eriv ´eepartielledefparrapport `azestdonn´ epar: y f(x,y,z)=5xln(1+7 y).

242.3.D ´erivabilit ´eenplusieursvariables

D´efinition2.3.3[D´erivabilit´e]Sifadmettoutesles d´er iv´ees partielles premi`eresonditquefestd´ erivable. Remarque7[Important]Contrairementaucasdefonctions d'uneva- riable,enplusieurs variablesc'est pasvraiqueune fonctiond´erivable estn´ ecessairementcontinue.Parexempleonconsid`erela fonctionf: R 2

7!Rd´efiniepar:

f(x,y)= xy x 2 +y 2 si(x,y)6=(0,0)

0sinon

Cettefonctionadmet d´ eriv´ eespartielles@

x f(x,y),@ y f(x,y)aupoint (0,0): x f(0,0)= lim h!0 f(h,0)f(0,0) h 00 h =0, y f(0,0)=lim h!0 f(0,h)f(0,0) h 00 h =0. Cependantlafonctionn 'estpas continueau point(0,0)(onl'a d´ej` a montr´e!). D´efinition2.3.4[Vecteurgradient]Legradient d'unefonctiond´erivable faupoint x 0 2R n estleve cteur: rf(x 0 x 1 f(x 0 x 2 f(x 0 x n f(x 0 oulesc omposantes sontlesd´eriv´eesp artielles defaupoint x 0

Lorsqueilexiste ,lev ecteurgradientdefaupoin tx

0 estort hogonal`a lacourb edeniveaudefpassantparx 0

Onconsid` ereunefonctionf:R

n 7!R p ,p>1.Ondit quef estd´ erivableaupointx 0 sit outeslescomposantesf i (x 1 ,···,x n ),i= 0 n 7!R p ,p>1,f d´erivableaupointx 0 2R n .La matricejacobiennede faupoint x 0 2R n

Chapter2:Fonctionsdep lusie ursvariables25

estlamatr ice: J f (x 0 0 B f 1 x 1 (x 0 f 1 x n (x 0 f p x 1 (x 0 f p x n (x 0 1 C A o`uleslignessontlesgr adientsdesc omposantesf i ,i=1,···,p,au pointx 0 Exactementcommedanslecas desfonctiond'u nevariable,en plu- sieursvariableslaco mpositiondefonctionsd´er ivable sestd´erivable.La d´eriv´eecompos´eesecal cule`al'aidedela"chainrule ".Ici ondonnela formulepourdeuxcastr` essimples.

Th´eor`eme2.3.6[Chainrule]

- CasR7!R 2 7!R

Soienth:R7!R

2 etf:R 2

7!Rtellesquesoitbien d´efinie

lafonctionc ompos ´eeg=fh:R7!R.Sih estd´ erivableau pointt2Retfestd´ erivableaupoint(x(t),y(t))2R 2 alorsgest d´erivableentetsad ´eriv ´eeestdonn´eepar: g0(t)= f x (x(t),y(t))x0(t)+ f y (x(t),y(t))y0(t) - CasR 2 7!R 2 7!R

Soienth:R

2 7!R 2 etf:R 2

7!Rtellesquesoitbien d´efinie

lafonctionc ompos ´eeg=fh:R 2

7!R.Sih estd ´erivable au

point(u,v)2R 2 etfestd´ erivableaupoint(x,y)2R 2 alorsgest d´erivableen(u,v)etsesd ´eriv ´eespartiellessontdonn´eespar: g u (u,v)= f x (x(u,v),y(u,v)) x u (u,v)+ f y (x(u,v),y(u,v)) y u (u,v), g v (u,v)= f x (x(u,v),y(u,v)) x v (u,v)+ f y (x(u,v),y(u,v)) y v (u,v).

262.3.D ´erivabilit ´eenplusieursvariables

Exemple11Onvise` acalculer lad´eriv´ eedelafonctionz:R7!R, o`u: - z(t)=f(x(t),y(t)) - f(x,y)=x 2 +y 2 +xy - x(t)=sint - y(t)=e t z(t)estd ´er ivablecarelleestcompositiondefonctionsd ´erivables.D'apr` es lachainr uleon a: z0(t)=@ x f(x(t),y(t))x0(t)+@ y f(x(t),y(t))y0(t)= (2x(t)+y(t))x0(t)+(2y(t)+x(t))y0(t)= (2sint+e t )cost+(2e t +sint)e tquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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