[PDF] Correction du baccalauréat STI 2D/STL Antilles-Guyane 19 juin 2013

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Durée : 4 heures

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Antilles-Guyane19 juin 2013

EXERCICE14 points

1.Pourn=1, l"algorithme afficheu1=2×1,5=3.

Pourn=2, l"algorithme afficheu2=3×1,5=4,5.

Pourn=3, l"algorithme afficheu3=4,5×1,5=6,75.

2. a.D"après la définition,(un)est une suite géométrique de raisonq=1,5 et

de premier termeu0=2. b.On sait que pour tout natureln,un=u0×qn=2×1,5n.

3. a.S0=u0=2;

S

1=u0+u1=2+3=5;

S

2=u0+u1+u2=2+3+4,5=9,5.

b.Voici l"algorithme modifié :

Entrée: Saisir la valeur de l"entier natureln

Traitement: Affecter 2 à la variableu

Affecter 2 à la variableS

Pourivariant de 1 àn

Affecter 1,5uàu

AffecterS+uàS

Fin de Pour

Sortie: AfficherS

c.La somme des termes deu0àunest égale à : S n=n? k=0u k=u0×1-qn+1 S n=6×1,5n-4. d.Comme 1,5>1, on sait que limn→+∞1,5n=+∞, donc limn→+∞Sn=+∞.

EXERCICE25 points

1. a.Il y a 1+3+3=7 boules dont la masse n"appartient pas à l"intervalle

[1197; 1203]. Il y a donc 50-7=43 boules de " de bonne qualité » sur

50 soit

43

50=86100=0,86=86%.

b.La moyenne : m=1×1195+3×1196+...3×120450=1199,76≈1200 (g). Pour l"écart-typeσ, la calculatrice donneσ≈2.

2. a.Le choix de chaque pièce d"un lot étant assimilé à un tirage avec remise,

et comme il n"y a que deux issuesXsuit une loi binomiale de paramètres n=50 etp=0,86. b.Cette probabilité est égaleàp(X=48)+p(X=49)+p(X=50)≈0,01723+

0,00432+0,00053≈0,02208≈0,022.

3. a.Xsuit la loi binomiale de paramètresn=50 etp=0,86, doncm=50×

0,86=43 etσ=?

b.On aP(X?48)=0,5-P(43?X?48)≈0,02.

Baccalauréat STI 2D/STLA. P. M. E. P.

4. a.L"intervalledefluctuationasymptotiqueà95%delafréquencedesboules

de bonne qualité pour un lot de 50 pièces est égal à : I=?

0,86-1,96?

0,86×0,14

50; 0,86+1,96?

0,86×0,14

50?
≈[0,764; 0,956]. b.On vérifie que :n=50 ;np=50×0,86=43 ;n(1-p)=50×0,14=7. Toutes les conditions sont réunies et il y a 42boules de bonnequalité sur

50 soit une fréquencef=42

50=0,84.

Comme 0,84?[0,764 ; 0,956], on peut dire au seuil de confiance de 95% que 86% des boules sont de bonne qualité.

EXERCICE35 points

1. a.(2-i)z=2-6i??z=2-6i

2-i??z=(2-6i)(2+i)(2-i)(2+i)

??z=4+2i-12i+6

4+1??z=10-10i5=2-2i.

On a doncz1=2-2i.

b.Sirest le module dez1, on ar2=22+22=4+4=8, doncr=?

8=2?2.

2?2=1?2=?

2 2 sinθ=-2

2?2=-1?2=-?

2 2

On a doncθ=-π

4etz1=2?2e-iπ4.

2×2?2e-iπ4=2?2e-i?π2+π4?

=2?2e-i3π4. Or e -iπ

2=cos?-π2?+isin?-π2?=0--i=-i.

Doncz2=-i(2-2i)=-2i-2=-2-2i.

2. a.Voir la figure

b.Le repère étant orthonormal, avec--→CA?-2 -2? et--→CB?2 -2? , on a c.D"aprèslaquestion précédente--→CA et--→CB sontorthogonauxdonc(CA)est perpendiculaire à (CB) : le triangle ABC est rectangle en C.

D"autre part CA

2=(-2)2+(-2)2=4+4=8 et

CB

2=(-2)2+(-2)2=4+4=8.

CA

2= CB2donc CA = CB : le triangle est isocèle en C.

Conclusion : le triangle ABC est rectangle isocèle en C.

EXERCICE46 points

1. a.Sur le graphique on voit quefest décroissante sur ]0 ;+∞[; donc sur cet

intervallef?(x)<0 : seuls les points deΓont leurs ordonnées négatives :

Γest donc la représentation def?.

b.D"aprèslaquestion précédenteCestlareprésentation graphiquedel"une des primitives def. On lit sur le graphe que le point deCd"abscisse 1 a pour ordonnée 1.F(1)=1.

2. a.On a pourx>0, limx→01

x= +∞et limx→0lnx= -∞, donc par différence lim x→01 x-lnx=+∞. Graphiquement ceci signifie que l"axe des ordonnées est asymptote ver- ticale au graphe def.

Antilles-Guyane219 juin 2013

Baccalauréat STI 2D/STLA. P. M. E. P.

b.limx→+∞1x=0 et limx→+∞-lnx=-∞, donc par somme de limites, lim x→+∞f(x)=-∞. c.Sur ]0 ;+∞[,fest dérivable et f ?(x)=-1 x2-1x=-1-xx2=-x+1x2=-x-1x2. -x-1>0?? -1>x??x<-1 et-x-1<0?? -1-1. Commex>0, la dérivée est donc négative et ceci confirme que la fonc- tionfest décroissante sur ]0 ;+∞[. D"où le tableau de variations : x-∞ +∞ f ?(x)- f(x)

3. a.On aH?(x)=1-1lnx-(x-1)×1

x=1-lnx-1+1x=1x-lnx=f(x).

Hest donc une des primitives def.

b.On aH(1)=1

1-ln1=1 et on a vu queF(1)=1, doncF=HetF(x)=

x-(x-1)lnx. c.On connaît une primitive defon peut donc calculer l"intégrale :?e 1 f(x)dx=[F(x)]e0=F(e)-F(1)= e-(e-1)lne-[1-(1-1)ln1]=e-(e-1)-1=1-1=0.

Antilles-Guyane319 juin 2013

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