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TD no 3 : Fonctions dune variable réelle

Montrer que l'application x ? cos(x) n'admet pas de limite en +?. Exercice 3.2. Soient I un intervalle de R f une fonction de I dans R

Exercice I - étude dune fonction réelle de variable réelle

Module M131 : fonctions d'une variable réelle Solution de l'exercice I ... Exercice III - calcul de limites avec DLs et/ou règle de L'Hôpital.

Généralités sur les fonctions numériques dune variable réelle

Plan du Cours. 1. Fonction numériques d'une variable réelle a) Définitions notions de limites et continuité b) Fonctions inverses ou réciproques.

Fonctions réelles dune variable réelle

Exercice. 8. Continuité d'une fonction. 8. Évaluation formative. 16. A. Limite d'une fonction. Une partie est un voisinage de.

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

4 Fonctions d'une variable réelle. 39. 4.1 Limite et continuité . Merci `a Michele Bolognesi pour la rédaction de quelques corrigés d'exercices.

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ANALYSE

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Université Mentouri ConstantineMr LATELI AhceneFonctions réelles d'une variable réelle

Octobre 20182.0

Légende

y Entrée du glossaire  Abréviation x Référence Bibliographique

M Référence générale

Table des

matières

I - Chapitre II :Limites et Continuité5 A. Limite d'une fonction.....................................................................................5

1. Théorème d'Encadrement...................................................................................................6

2. Formes indéterminées.......................................................................................................7

3. Cas d'une fonction bornée..................................................................................................7

4. Limite d'une fonction composée..........................................................................................7

B. Exercice.......................................................................................................7

C. Exercice.......................................................................................................8

D. Continuité d'une fonction...............................................................................8

1. La continuité à droite et à gauche........................................................................................8

2. Opérations sur les fonctions continues...............................................................................10

3. Continuité d'une fonction composée...................................................................................11

4. Prolongement par continuité.............................................................................................11

5. Théorèmes sur les fonctions continues...............................................................................12

6. Fonctions réciproques (ou inverses)...................................................................................16

E. Évaluation formative....................................................................................16

1. Calcule des limites...........................................................................................................16

2. La continuité..................................................................................................................16

3. Applications de continuité.................................................................................................17

Questions de synthèse19

Glossaire21

Bibliographie25

Webographie27

Mr. LATELI Ahcene

I - Chapitre II :

Limites et

ContinuitéI

Limite d'une fonction5

Exercice7

Exercice8

Continuité d'une fonction8

Évaluation formative16

A. Limite d'une fonction

Une partie est un voisinage de s'il contient un intervalle ouvert de contenant . Notons par ou l'ensemble des voisinages du point . Ainsi, on peut reformuler les termes de la définition précédente de la manière suivante :

Définition

On dit qu'une fonction définie au voisinage du point , sauf peut-être au point, admet une limite (finie) en , si :

On écrit dans ce cas, .

Remarque

1., c'est-à-dire .

2., c'est-à-dire .

3.Si est définie en alors .

Exemple

Considérons la fonction qui est définie sur . Au point , on a . En effet, pour tout , on a si l'on a,

Mr. LATELI Ahcene

5 à fortiori, . Le bon choix sera alors de prendre .

Complément:Unicité de la limite

Si admet une limite au point , cette limite est unique. Définition:Limite à gauche et limite à droite

Soit une fonction définie sur un intervalle .

On dit que admet une limite à gauche en si, et seulement si :

On note ou .

On dit que admet une limite à droite en si, et seulement si :

On note ou .

Remarque

Si et avec , alors n'admet pas de limite en . Si .

Exemple

Soit la fonction définie sur par .

On remarque que et , alors la limite de

quand tend vers n'existe pas.

Définition:Opérations sur les limites

Soient , et un point d'accumulation de .

Supposons que et , alors on a:

1.. 2..

3.Si de plus, et au, .

4., . 5..

1. Théorème d'Encadrement

Soient , et un point d'accumulation de .

Supposons que et , alors on a :

1.Si alors .

2.Si sur et alors .

3.Si sur et alors .Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

2. Formes indéterminées

Dans le calcul des limites, on appelle Forme Indéterminée (on note ), toute situation qui conduit à un cas où les théorèmes portant sur les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure. Les formes indéterminées les plus courantes sont : , , , , , , , , etc...

3. Cas d'une fonction bornée

Théorème

Si on a et s'il existe un réel et un voisinage de tels que pour tout appartenant à ce voisinage (autrement dit si est bornéey sur un voisinage de ), alors .

4. Limite d'une fonction composée

Notations

On désigne par l'intervalle .

On considère une fonction admettant pour limite en . On considère d'autre part une partie non vide de et une fonction admettant pour limite en (cela suppose que tout voisinage de rencontre On suppose de plus que : la fonction composée est alors bien définie sur . On a alors

Définition:Composition des limites

Avec les notations introduites ci-dessus, supposons que et que . Alors .

B. Exercice

Trouver la limite suivante ou dire si elle n'existe pas. 0 n'existe pas -1

1Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

C. ExerciceLa limite est :

une forme indéterminée du type . 0 n'existe pas. 1

D. Continuité d'une fonction

Définition

Soit . On dit que la fonction est continue au point si tend vers , quand tend vers pour tout , ce qui s'écrit Si est continue en tout point de , nous dirons que est continue sur .

Remarque

Intuitivement, une fonction , définie sur un intervalle où et sont des réels tels que , est continue sur y si l'on peut tracer son graphey (sa courbe représentative) sans lever le crayon. La fonction est continue en si, et seulement si :

1. La continuité à droite et à gauche

1.On dit est continue à droite en si et seulement si :

2.On dit est continue à gauche en si et seulement si :

Remarque

1.On remarque que est continue en si et seulement si est continue à

droite et à gauche en .

2.On dit est continue sur l'intervalle si et seulement si est continue

en tout point de .

2. Opérations sur les fonctions continues

Soit , soient . Si et sont continues sur , alors les fonctions Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

8 , , pour tout , et sont continues sur . Si de plus, ne s'annule pas sur alors les fonctions et sont continue sur .

Exemple

1.La fonction est définie et continue sur .

2.Les fonctions polynômesy sont continues sur tout .

3.Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont continues sur .

3. Continuité d'une fonction composée

Soient et . On suppose que (de sorte que est

définie sur ). Soit . On suppose que est continue en et est continue en. Alors, est continue en .

4. Prolongement par continuité

Soit et un réel. Nous supposons que la fonction n'est pas définie en mais admet une limite en . Nous posons alors la fonction définie sur par : La fonction est continue en et s'appelle le prolongement par continuité de en .

Exemple

La fonction est définie sur , comme alors admet un prolongement par continuité définie sur par .

5. Théorèmes sur les fonctions continues

a) Théorème des valeurs intermédiaires

Définition:Théorème 1

Soit , et une fonction continuey de dans . Alors, la fonction prend toutes les valeurs comprises entre et , (c'est-à-dire que pour tout appartenant à l'intervalle dont les bornes sont et , il existe tel que ). ( Autrement dit : l'équation admet au moins une solution dans ).

Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

9 Définition:Théorème 2 ( Cas des fonctions strictement monotones Soit une fonction continuey et strictement monotoney sur un intervalle et avec . Pour tout réel compris entre et , il existe un unique réel de tel que . b) Théorème 3 ( Théorème de Bolzano )

Si la fonction est continue sur

l'intervalley et si , il existe alors au moins un point un tel que

Remarque

1.Si est strictement monotone sur , le point est unique.

2.Si est continue sur un intervalle , alors est un intervalle.

3.Si est continue sur un segment , alors est un segment.

Exemple

Montrez que l'équation admet au moins une solution entre 1 et 2. Posons , est une fonction de polynôme , donc elle est définie et continue sur . De plus on a . Dans ces conditions, le théorème de la valeur intermédiaire affirme l'existence d'un nombre entre et tel que . Autrement dit, l'équation a au moins une solution dans l'intervalle . c) Théorème 4 ( Théorème du point fixe ) Soit une fonction continue sur un intervalle . Si , alors admet (au moins) un point fixe sur . (C'est-à-dire : il existe (au moins) un réel de tel que ).

6. Fonctions réciproques (ou inverses)

Si est une fonction continuey et strictement croissantey (resp.Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

10Image 1 Bernhard Bolzano

strictement décroissantey), alors est une bijectiony de vers l'ensemble d'arrivéey (resp. ). La bijection réciproque est continue et strictement croissante (resp. décroissante).

E. Évaluation formative

Objectifs

Tester la compréhension

1. Calcule des limites

Compréhension

Q ue stio n

Trouver les limites suivantes ou dire si elles n'existent pas. 1.. 2.. 3.. 4..

2. La continuité

Compréhension

Q ue stio n 1

Étudier la continuité de fonction suivante en :

Q ue stio n 2

Étudier la continuité sur le domaine de définition de la fonction :

3. Applications de continuité

Prolongement par continuité

Montrer que les fonctions suivantes définies sur sont continues sur et dire si on peut les prolonger par continuité sur .

Q ue stio n 1

.Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

Q ue stio n 2

Théorème des valeurs intermédiaires

Q ue stio n 3

Montrer que l'équation : admet au moins une solution sur l'intervalle

Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

Questions de

synthèse Montrer que toute fonction polynôme de dans , de degré impair, s'annule en au moins un point. Montrer que l'équation admet une unique solution sur .

Mr. LATELI Ahcene

Glossaire

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Octobre 20182.0

Légende

M Référence générale

Table des

1. Théorème d'Encadrement...................................................................................................6

2. Formes indéterminées.......................................................................................................7

3. Cas d'une fonction bornée..................................................................................................7

4. Limite d'une fonction composée..........................................................................................7

1. La continuité à droite et à gauche........................................................................................8

2. Opérations sur les fonctions continues...............................................................................10

3. Continuité d'une fonction composée...................................................................................11

4. Prolongement par continuité.............................................................................................11

5. Théorèmes sur les fonctions continues...............................................................................12

6. Fonctions réciproques (ou inverses)...................................................................................16

1. Calcule des limites...........................................................................................................16

2. La continuité..................................................................................................................16

3. Applications de continuité.................................................................................................17

Questions de synthèse19

Glossaire21

Bibliographie25

Webographie27

Mr. LATELI Ahcene

I - Chapitre II :

Limites et

ContinuitéI

Limite d'une fonction5

Exercice7

Exercice8

Continuité d'une fonction8

Évaluation formative16

A. Limite d'une fonction

Définition

On écrit dans ce cas, .

Remarque

1., c'est-à-dire .

2., c'est-à-dire .

3.Si est définie en alors .

Exemple

Mr. LATELI Ahcene

Complément:Unicité de la limite

Soit une fonction définie sur un intervalle .

On note ou .

On note ou .

Remarque

Exemple

Soit la fonction définie sur par .

On remarque que et , alors la limite de

Définition:Opérations sur les limites

Soient , et un point d'accumulation de .

Supposons que et , alors on a:

3.Si de plus, et au, .

1. Théorème d'Encadrement

Soient , et un point d'accumulation de .

Supposons que et , alors on a :

1.Si alors .

2.Si sur et alors .

3.Si sur et alors .Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

2. Formes indéterminées

3. Cas d'une fonction bornée

Théorème

4. Limite d'une fonction composée

Notations

On désigne par l'intervalle .

Définition:Composition des limites

B. Exercice

1Chapitre II :Limites et Continuité

Mr. LATELI Ahcene

C. ExerciceLa limite est :

D. Continuité d'une fonction

Définition

Remarque

1. La continuité à droite et à gauche

1.On dit est continue à droite en si et seulement si :

2.On dit est continue à gauche en si et seulement si :

Remarque

1.On remarque que est continue en si et seulement si est continue à

2.On dit est continue sur l'intervalle si et seulement si est continue

2. Opérations sur les fonctions continues