[PDF] Détection de contours Dans cette technique de seuillage

View - Download Détection de contours

Previous PDF

Next PDF

JEAN-HUGH THOMASDétection de contours

Table des matières

Table des matières3

I - Cours5 A. Utilisation de l'opérateur Gradient.........................................................................................................................................

6 1. Principes..........................................................................................................................................................................

6 2. Quelques opérateurs gradient............................................................................................................................................

7 B. Méthodes de seuillage.............................................................................................................................................................

20 1. Seuillage global...............................................................................................................................................................

21 2. Seuillage global par histogramme....................................................................................................................................

21 3. Amincissement...............................................................................................................................................................

21 4. Seuillage local par hystérésis...........................................................................................................................................

23 5. Seuillage local par extraction des maxima du gradient dans une direction.......................................................................

23 C. Utilisation du calcul du Laplacien........................................................................................................................................

25 1. L'opérateur Laplacien....................................................................................................................................................

26 2. Remède contre la sensibilité au bruit...............................................................................................................................

33 3. Le filtre de Marr ou Laplacien de Gaussienne ou chapeau mexicain..............................................................................

33

II - Etude de cas45 A. Association opérateur gradient-type de seuillage...............................................................................................................

45 1. Récapitulatif : quelques modules de gradient...................................................................................................................

45 2. Seuillage par histogramme du module du gradient...........................................................................................................

46 3. Amincissement de contours.............................................................................................................................................

46 4. Seuillage par hystérésis...................................................................................................................................................

46 5. Seuillage des non maxima du gradient............................................................................................................................

46 6. Détection de contours par l'association filtrage de Canny-seuillage des maxima locaux....................................................

47 B. Association opérateur Laplacien-seuillage..........................................................................................................................

47 1. Seuillage des passages par zéro du Laplacien..................................................................................................................

47 2. Calcul du Laplacien par chapeau mexicain....................................................................................................................

47 C. Comparaison de contours.....................................................................................................................................................

47 1. Une association réussie...................................................................................................................................................

47

III - Exercices49 A. Critère de Canny de bonne décision....................................................................................................................................

49 B. Critère de Canny de bonne localisation...............................................................................................................................

50 C. Critère de Canny d'unicité de la réponse.............................................................................................................................

51 D. Filtre différence de Gaussiennes..........................................................................................................................................

52

Solution des exercices de TD553

Bibliographie63

4

I - CoursI

Utilisation de l'opérateur Gradient6

Méthodes de seuillage20

Utilisation du calcul du Laplacien25

La mise en évidence des points représentant les contours d'objets dans une image peut servir à reconnaître

des objets présents dans une scène, à différencier des zones de l'image, à faire de la segmentation d'images, à

extraire une information réduite souvent pertinente pour caractériser l'image.

Un contour se matérialise par une rupture d'intensité dans l'image suivant une direction donnée. Plusieurs

méthodes existent pour détecter cette rupture, les unes plus ou moins complexes, les autres plus ou moins

gourmandes en calculs. Dans la plupart des cas et en particulier pour ceux présentées ici, la même

méthodologie est employée. Elle s'applique en deux étapes : la première permet de localiser les contours à

partir d'un calcul de Gradient ou de Laplacien dans des directions privilégiées tout en quantifiant

l'importance du contour (voir figure ci-après). La seconde étape va permettre d'isoler les contours du reste de

l'image à partir d'un seuillage judicieux. Plusieurs méthodes permettent de déterminer le Gradient ou le

Laplacien d'une image. Il en est de même des techniques de seuillage. Ces deux étapes sont indépendantes, il

existe donc un grand nombre de combinaisons calcul de Gradient-opération de seuillage conduisant à la

mise en évidence des contours. Le rôle de l'ingénieur est souvent de choisir les opérateurs les mieux à même

de satisfaire les exigences associées à l'image à traiter. 5 Cours

L'objectif du cours est justement de permettre au lecteur de connaître plusieurs méthodes et de

savoir agir sur les paramètres de ces méthodes. Dans ce but, la première partie décrit des techniques de

calcul du Gradient (détecteurs par masques de Roberts, Prewitt, Sobel, Gradient boussole, filtrage de Canny).

La seconde partie focalise sur les types de seuillage pouvant être appliqués sur le module du gradient de

l'image. La troisième partie aborde les calculs de Laplacien (filtre laplacien, filtre " chapeau mexicain », filtre

différence de gaussiennes).

A. Utilisation de l'opérateur Gradient

1. Principes

En considérant l'image dans un repère orthogonal (Oxy) tel que (Ox) désigne l'axe horizontal et (Oy) l'axe

vertical, le Gradient de l'image (ou plutôt de la luminance f ) en tout point ou pixel de coordonnées (x,y)

est désigné par :

Le module du gradient permet de quantifier l'importance du contour mis en évidence, c'est-à-dire

l'amplitude du saut d'intensité relevé dans l'image : Principe de la détection de contour par gradient ou laplacien Gradf=∇f= ∂f ∂x ∂f ∂y6 Cours

La direction du gradient permet de déterminer l'arête présente dans l'image. En effet, la direction du

gradient est orthogonale à celle du contour :

Le principe de la détection de contours par l'utilisation du gradient consiste à calculer d'abord le gradient

de l'image dans deux directions orthogonales puis le module du gradient. Il s'agira ensuite d'effectuer une

sélection des contours les plus marqués, c'est-à-dire les points de plus fort contraste par un seuillage adéquat,

les directions des contours étant orthogonales à la direction α0 déterminée en tout pixel de l'image (voir ci-

dessous).

2. Quelques opérateurs gradient

a) Introduction

Ces opérateurs sont à considérer comme des filtres qui vont être corrélés à l'image. Les réponses

impulsionnelles de ces filtres peuvent se présenter sous la forme de fonctions analytiques souvent d'une seule

variable ou bien sous la forme de masques bi-dimensionnels. Dans les deux cas le filtrage a lieu en deux

étapes : un filtrage suivant les lignes de l'image puis suivant les colonnes dans le cas d'une expression

monodimensionnelle de la réponse impulsionnelle du filtre, une corrélation bi-dimensionnelle de l'image avec

deux masques modélisant deux contours dans des directions orthogonales dans l'autre cas. b) Opérateurs de gradient par masques i Introduction

Pour chaque opérateur, deux masques sont utilisés de façon à déterminer le gradient de l'image dans deux

directions orthogonales. Synoptique d'une détection de contours par gradient. Les contours sont finalement représentés par des pixels blancs sur fond noir. ∥∇f∥=∂f

∂x 2 ∂f ∂y 2 0=arctan∂f/∂y ∂f/∂x7 Cours ii Approximation de base Le masque le plus intuitif à mettre en oeuvre est un masque à deux éléments :

L'origine du masque est le point -1.

Dans le repère ci-dessus, la réponse impulsionnelle h(m,n) du masque est définie par : h(0,0) = -1 h(1,0) = 1 La corrélation de ce masque avec une image de luminance f(i,j) s'écrit :

Il s'agit bien d'un calcul de gradient suivant l'axe horizontal. En faisant subir une rotation de /2 au premier

masque, il apparaît le filtre suivant dont l'origine est le point 1 :

La réponse impulsionnelle est telle que :

h(0,0) = 1 h(0,-1) = -1

La corrélation de ce masque avec l'image f(i,j) permet bien d'implanter un gradient dans la direction verticale :

La figure suivante propose une illustration de l'application de ces masques. 1 -1 ∑m=0 1 ∑n=0 ∑m=0 ∑n=-1 0 Cours iii Opérateur de Roberts Ce masque proposé en 1965 permet de calculer un gradient le long des diagonales de l'image : L'origine est le point 1 tandis que la réponse impulsionnelle s'écrit : h(0,0) = 1 h(-1,-1) = -1

La sortie obtenue après filtrage est :

Le deuxième masque se déduit du premier par rotation de /2 : L'origine est le point du haut à droite si bien que la réponse impulsionnelle est telle que : h(-1,0) = 1 h(0,-1) = -1

La sortie obtenue après filtrage est :

La figure suivante propose une illustration de l'application de ces masques.

Exemple d'application de l'approximation de base

01 -10 10 0-1 ∑m=-1 0 ∑n=-1 0 Cours

Le majeur inconvénient de ces masques réside dans leur forte sensibilité au bruit du fait de l'implantation de la

dérivation qui se traduit par un filtrage passe-haut. D'autres masques ont ainsi été proposés afin de rendre le

filtrage moins sensible au bruit. iv Opérateurs de Prewitt et Sobel

Le calcul de gradient est mené par l'intermédiaire de deux masques, le premier effectuant un gradient

horizontal, le second un gradient vertical. Là encore, le deuxième masque se déduit du premier par une

rotation de /2 . Les masques sont donnés ci-dessous pour les contours horizontaux puis verticaux.

Chaque pixel des masques est normalisé par

Lorsque c=1, il s'agit des opérateurs de Prewitt, lorsque c=2, de ceux de Sobel. Par rapport aux précedents,

ces masques ont l'avantage de produire deux effets. Outre le calcul du gradient dans une direction, ces

masques effectuent un lissage dans la direction orthogonale. Ce lissage rend ces masques un peu moins

sensibles au bruit que les précédents.

L'origine de ces masques est toujours le pixel central. La réponse impulsionnelle h(m,n) des filtres de Prewitt

et Sobel pour la mise en évidence des contours horizontaux est telle que : h(-1,1) = h(1,1) = 1 h(-1,-1) = h(1,-1) = -1 h(0,1) = c h(0,-1) = -c

La sortie obtenue après filtrage est :

Exemple d'application de l'opérateur de Roberts

1c1-101

000-c0c

-1-c-1-101 1 c210 Cours

L'équation laisse apparaître la double action avec un moyennage horizontal sur trois pixels sur les lignes au

dessus et au dessous du pixel central et un calcul de gradient vertical entre les deux lignes.

Pour la mise en évidence des contours verticaux, c'est l'autre masque qui est utilisé. La sortie obtenue après

filtrage peut se mettre sous la forme :

Cette écriture permet elle aussi de mettre en évidence la double action : un gradient horizontal est en effet

calculé sur trois lignes puis un lissage vertical est opéré.

Les deux écritures employées montrent bien que les deux actions, lissage et dérivation, du filtrage de Prewitt

ou de Sobel sont séparables. La figure suivante propose une illustration de l'application des masques de Sobel.

Il existe bien sûr beaucoup d'autres masques utilisés pour déterminer le gradient d'une image (Frei-Chen, ...). Exemple d'application de l'opérateur de Sobel ∑m=-1

1 ∑n=-1 1 1 1 ∑m=-1 1 ∑n=-1 1 -1 ∑m=-1 1 ∑n=-1 1 1 1 Cours

Le lecteur intéressé pourra consulter l'ouvrage [3] [1] qui entreprend des études comparatives de plusieurs

masques à partir d'images de test.

Le principal intérêt de ces masques est leur facilité de mise en oeuvre ainsi que la rapidité de leur traitement.

Leur inconvénient est leur grande sensibilité au bruit. De plus les contours obtenus sont souvent assez larges.

D'après l'ouvrage [2] [2] [2] , le filtre de Sobel est le plus utilisé dans les applications industrielles nécessitant

des contraintes temps-réel. v Opérateur gradient boussole

Les opérateurs dits boussole mesurent le gradient dans des directions sélectionnées. L'image est

successivement filtrée par un ensemble de masques mk(i,j) dont chacun représente une approximation discrète

d'un contour idéal dans une orientation spécifique (voir figure ci-après). Le résultat du filtrage de l'image f(i,j)

avec le kième masque est gk(i,j).

Il s'agit alors de garder les contours correspondant à l'orientation du masque ayant conduit au maximum des

fonctions gk(i,j) avec k allant de 0 à 7, représentatif des huit principales directions d'une boussole. Un autre

critère possible revient à chercher le masque correspondant à la direction du contour dont le coefficient de

corrélation avec l'image initiale est le plus fort. Il s'agit de minimiser rk(i,j) l'inverse du coefficient de

corrélation. critère 1 : critère 2 : avec

Plusieurs masques peuvent être utilisés. La démarche consiste à choisir un type de masque puis à effectuer des

permutations circulaires dans les huit directions possibles du gradient. Des exemples d'opérateurs gradient

boussole dans la direction Nord sont présentés ci-dessous en recourant aux masques de Prewitt, de Kirsch, de

Robinson de niveau 3 ou 5. Le terme de niveau désigne le nombre de valeurs différentes présentes dans le

masque. -101555111121 -c0c-30-3000000 -101-3-3-3-1-1-1-1-2-1

PrewittKirschRobinsonRobinson

(niveau 3)(niveau 3)(niveau 5) 1

151

51

31

4

Maxk ∣gki,j∣ Mink ∣rki,j∣ rki,j=∑i,j f2i,j∑i,j mk

2i,j

∑i,j fi,jmki,j12 Cours c) Filtrage de Canny i Principe

Les approches précédentes par masques étaient basées sur une modélisation assez simple d'un contour idéal.

Pour le calcul du filtre de Canny, une approche analytique plus élaborée est employée. Il s'agit d'une technique

de filtrage optimal. Canny a en effet cherché à déterminer de façon analytique en 1986 un filtre à partir de

trois critères :

un critère de bonne détection garantissant une réponse forte en sortie du filtre même en présence de

faibles contours sur l'image d'entrée, un critère de bonne localisation du contour,

un critère d'unicité de la réponse permettant d'assurer une seule détection pour un contour et ainsi

d'éviter les effets de rebond.

Canny définit ces trois critères de façon mathématique. L'optimisation des trois critères proposés permet de

définir le filtre linéaire optimal pour la détection d'une marche d'escalier sous l'hypothèse d'un bruit additif

indépendant du signal. Il s'agit de trouver la réponse impulsionnelle h(x) du filtre optimal qui permet

d'obtenir une valeur maximum en sortie lorsqu'un contour est présenté en entrée. Canny souhaite un filtre à

réponse impulsionnelle finie. Le modèle de contour utilisé est une marche d'escalier :

où A représente l'amplitude du saut d'intensité, n(x) un bruit blanc additif indépendant de l'arête et Y(x) la

fonction d'heaviside définie telle que :

La définition de l'arête est telle que le saut d'intensité se situe en x=0. Les hypothèses concernant le bruit

additif sont : où E[.] désigne l'espérance mathématique.

La moyenne des échantillons est nulle et les échantillons sont décorrélés. La sortie g(x) s'écrit comme la

convolution de l'entrée e(x) par la réponse impulsionnelle du filtre recherché h(x) :

Exemple d'opérateurs Gradient boussole avec le masque de Robinson de niveau 3 ex=AYxnx

Yx={1six0

0 sinon

{E[nx]=0

E[nxny]=0

2x-y

hyex-ydy13 Cours or d'où

Le premier terme correspond au signal utile, le second au bruit. Du premier terme, on déduit : g'x≈hx

Le filtre est donc un dérivateur.

Or pour mettre en évidence le contour, la sortie g(x) doit être maximale à l'endroit du contour, c'est-à-dire en

x=0. Cette sortie sera donc paire et on en déduit que la réponse impulsionnelle h(x) du filtre optimal est

impaire. ii Critère de bonne décision

Le premier critère choisi par Canny est celui de bonne décision qui consiste à maximiser le rapport signal à

bruit (RSB) en sortie du filtre même en cas de contour faible. Il est défini à l'endroit du contour en x=0

comme le rapport du maximum de la réponse due au signal sur la valeur efficace du bruit :

Canny obtient le critère suivant à maximiser (cf exercice " Critère de bonne décision ») :

Principe de critère de bonne décision.

gx=∫-∞ hynx-ydy

Yx-y={1siyx

0sinon

gx=∫-∞ x

Ahydy∫-∞

hynx-ydy

RSBx=0=amplitudedusignal

variancedubruit A 0 h14 Cours avec iii Critère de bonne localisation

En présence d'un contour noyé dans du bruit, il est probable que la sortie du filtre soit maximum en x=x0 et

non pas en x=0. Soit X0 la variable aléatoire correspondant à la distance entre le maximum de la réponse g(x)

et la position réelle de la transition (x=0). Le second critère à maximiser proposé par Canny est l'inverse de

l'écart-type de la variable aléatoire X0 :

Canny cherche donc bien à minimiser la variance de l'écart entre la position du maximum en sortie de filtrage

et la position réelle du contour. Le critère s'écrit finalement (cf exercice "Critère de bonne localisation»)

avec iv Critère d'unicité de la réponse

Canny cherche à obtenir une faible multiplicité des maxima dus au bruit en décidant de maximiser la distance

entre deux maxima de la sortie. Principe du critère de bonne localisation h=∫-∞ 0 hydy h2ydy 1 E[X0 2] A 0 h h'2ydy15 Cours

La distance à maximiser est donnée par x sur la sortie g(x), ce qui équivaut à 2 xmoy sur la sortie g'(x).

Le troisième critère s'écrit :

L'exercice "Critère d'unicité de la réponse » permet d'obtenir le critère à partir de l'illustration.

v Obtention de la réponse impulsionnelle optimale

Complément

Le filtre est obtenu par optimisation des trois critères précédents : le premier Σ consiste à maximiser le

rapport signal sur bruit et à garantir une réponse forte en sortie du filtre même en cas de contours faibles, le

second Λ assure que les contours détectés par l'opérateur sont bien localisés sur les vrais contours, le

troisième x vise à l'obtention d'une réponse unique pour un contour en évitant de multiples détections. Canny

impose à la réponse impulsionnelle recherchée h(x) d'être à support borné sur l'intervalle [-w, w].

Le problème d'optimisation consiste à majorer le produit sous la contrainte x=kw avec :

et En considérant que h(x) est une fonction impaire : le problème d'optimisation devient un problème de minimisation de ∫-w 0 h2ydysous les différentes contraintes : Principe du critère d'unicité de la réponse x=2∫-∞ h'2ydy h''2ydy1/2 =∫-w 0 hydy ∫-w w h2ydy ∣h'0∣ ∫-w w h'2ydy x=2∫-w w h'2ydy ∫-w w h''2ydy1/2 =kw ∫-w w h2ydy=2∫-w 0 h2ydy16 Cours Il s'agit alors de minimiser la fonctionnelle suivante : où 1,2,3 sont des multiplicateurs de Lagrange (réels).

En utilisant l'équation d'Euler :

il vient : L'équation différentielle résultante à résoudre est :

La solution de cette équation s'écrit pour

x∈[-w,0]:

L'extension de la réponse impulsionnelle sur l'intervalle [-w, w] se déduit aisément du fait du caractère impair

du filtre. Le détecteur de contour obtenu par Canny conduit à un produit =1,12sous la contrainte maximal

x=kw . Les paramètres optimisés sont les suivants : α = 2,05, β = 2,92, ω =1,57, k = 0,58 , C=1 et x= 1,2. Les

coefficients a1, a2, a3 et a4 de la réponse impulsionnelle h(x) sont des fonctions assez complexes de α, β et ω

explicitées dans l'article [ [3] ] de Canny. A partir des paramètres donnés précédemment, on obtient les

coefficients suivants : a1=-0,15, a2 =-0,21, a3=1,24 et a4=-0,79.

Pour faciliter la mise en oeuvre du détecteur de contour, Canny suggère le cas échéant de remplacer la

c1=∫-w 0 hydy c2=∫-w 0 h'2ydy c3=h'0 c4=∫-w 0 h''2ydy ∫-w 0 h,h',h'' ∂h-d dy ∂h'd2 dy2 ∂h''=0 ∂h=2h1 ∂h'=22h' ∂h''=23h'' Cours

réponse impulsionnelle optimale h(x) par celle de la dérivée d'une Gaussienne notée hG(x) :

En effet, la forme de la dérivée de Gaussienne s'approche assez bien de celle du filtre optimal pour une valeur

du critère =0,92avec k = 0.51 et une performance moindre de 20 %. vi Interprétation

La détection de contour par calcul du gradient est sensible au bruit. Une idée avancée permettant d'atténuer

ce problème consiste à filtrer passe-bas l'image avant d'appliquer l'opérateur Gradient. Mathématiquement

cela revient à convoluer l'image initiale inchangée f(x,y) avec la dérivée de la réponse impulsionnelle h(x,y) du

filtre passe-bas comme le montre l'écriture suivante dans le cas monodimensionnel :

Il reste à déterminer le filtre passe-bas pour h(x,y). Dans le cas d'un filtre gaussien, l'application du gradient

consiste finalement à filtrer l'image initiale par une dérivée de Gaussienne hG(x) . C'est en fait à peu de chose

près l'approche du filtrage de Canny. vii Étapes d'une détection de contours par filtrage de Canny

L'objectif est bien de calculer le module du gradient de l'image analysée. Souvent avant d'appliquer le filtre de

Canny, un filtrage préalable est opéré sur l'image au moyen d'un filtre gaussien. Les différentes étapes sont

énumérées ci-après :

convolution de l'image initiale avec un filtre passe-bas gaussien bi-dimensionnel (ou convolution 1D

dans chacune des deux directions),

convolution de l'image lissée avec le filtre de Canny ou la dérivée de gaussienne dans les directions

horizontale et verticale,

calcul du module du gradient à partir des deux images représentant les gradients de l'image filtrée

passe-bas dans les directions horizontale et verticale.

Comparaison des réponse impulsionnelles de Canny et de la dérivée de gaussienne sur 20 échantillons

hGx=-x 2e-x2/22 ∂x18 Cours

B. Méthodes de seuillage

Les méthodes précédentes ont permis de déterminer le module du gradient d'une image qui permet

effectivement de mettre en évidence les contours présents. A ce niveau, l'image obtenue s'exprime en niveaux

de gris indiquant ici l'importance de chaque rupture d'intensité. Une nouvelle étape est alors nécessaire de

façon à aboutir à une information plus tranchée : y-a-t-il présence de contours ou non ? L'image Ib(i,j)

résultant de ce traitement est en noir et blanc. Les pixels blancs (de valeur 1) attestent de la présence d'un

contour, les pixels noirs (de valeur 0) de l'absence. Le traitement permettant de sélectionner les contours les

plus significatifs dans l'image représentant le module du gradient est le seuillage. Il s'agit de binariser l'image

IM(i,j) du module du gradient. Cette opération nécessite le réglage d'un paramètre : le seuil S. Si la valeur du

module du gradient en un pixel de l'image dépasse le seuil fixé, la valeur résultante du pixel est 1. Dans le cas

contraire, la valeur du pixel est fixée à 0 :

1. Seuillage global

La première solution pour fixer le seuil est de procéder par tâtonnement à partir de l'image en noir et blanc

résultante censée mettre en évidence les contours. Le seuil correspond à une valeur réelle dans l'intervalle

[0,1]. Au préalable, il est nécessaire de normaliser l'image du module du gradient afin que tous les pixels se Exemple d'application du filtrage de Canny

Obtention du module du gradient par filtrage de Canny Ibi,j={1siIMi,jS

0sinon19

Cours

trouvent également dans l'intervalle [0, 1]. Cette méthode est très simple mais peu efficace.

2. Seuillage global par histogramme

La valeur du seuil S est alors déterminée en tenant compte de l'histogramme de l'image, c'est-à-dire de la

distribution des différentes valeurs des pixels de l'image du module du gradient. L'idée est de sélectionner un

pourcentage des contours les plus significatifs. Par exemple, on peut désirer garder 20 % des contours les plus

forts. Dans ce cas, en déterminant l'histogramme cumulé du module du gradient, le choix d'un pourcentage

de pixels et donc des contours les plus significatifs conduit à la valeur du seuil S à utiliser dans la binarisation

de l'image.

Remarque

Une animation dans l'étude de cas permet de montrer l'influence du seuil choisi sur les contours représentés

dans l'image résultante.

3. Amincissement

L'objectif de cette technique est d'amincir les contours. La définition d'un contour n'est plus uniquement

subordonnée au dépassement d'un seuil mais dépend des voisins. Dans une zone où les valeurs de plusieurs

pixels (et donc des modules du gradient) sont supérieures au seuil, seul le maximum de ces pixels pour une

direction donnée du gradient est conservé.

Exemple de seuillage par histogramme

20 Cours

Remarque

Les amincissements des modules de gradient peuvent être observés en fonction du seuil choisi dans une

animation de l'étude de cas. Amincissement des contours horizontaux

Amincissement des contours verticaux

Exemples d'amincissement à partir de modules de gradient obtenus par filtrage de Sobel ou de Canny

21
Cours

4. Seuillage local par hystérésis

Dans cette technique de seuillage contrairement aux précédentes, le traitement n'est pas identique en tout

point de l'image. On s'intéresse ici aux pixels avoisinant les contours les plus significatifs de l'image. L'idée est

de garder les contours les plus forts de l'image mais en essayant d'assurer leur continuité. Deux seuils sont

nécessaires pour implanter la technique : un seuil haut Sh et un seuil bas Sb. Le seuil haut va servir à

sélectionner les contours les plus significatifs dans l'image du module du gradient. Ces contours sont

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] detective stories anglais seconde

[PDF] detendeur 9414532

[PDF] determinacion de yodo en sal

[PDF] déterminant d'une matrice triangulaire

[PDF] determinant de l investissement definition

[PDF] determinant de vandermonde recurrence

[PDF] déterminant matrice 2x2

[PDF] determinant matrice 3x3

[PDF] determinant matrice 4*4

[PDF] déterminant matrice 5x5

[PDF] determinant matrice exercices corrigés

[PDF] determinant matrice propriété

[PDF] déterminant sociologique définition

[PDF] déterminants taux de change

[PDF] détermination de la dureté de l'eau par complexométrie